第五章 综合与实践 平面图形的镶嵌（第1课时） 课件 2026--2027学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第5章　平行四边形 综合与实践 平面图形的镶嵌（第1课时） 平面图形的镶嵌 数学新教材鲁教版　八年级上册 情境引入 图案怎样铺满地面？ 观察与思考 观察地砖、窗格和布料图案：同一个基本单元不断重复，但重复并不自动意味着能铺满。边界要恰好接合，内部不能相互覆盖。 关键认识 今天从角度与边界两方面检查镶嵌，再用剪拼、旋转和平移设计自己的基本单元。 新知讲授 定义与定理 概念 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌。 读懂概念 读清条件与结论，结合图形标注对应的边、角或线段。使用时先确认条件是否全部成立。 课堂练习 题组 判断下列操作是否构成平面镶嵌，并说明理由。 （1） 相邻单元之间有窄缝。 不构成。 必须不留空隙。 （2） 用叠放遮住所有空白。 不构成。 还必须不重叠。 （3） 边界匹配的单元重复铺满。 构成。 同时满足覆盖与不重叠。 课堂练习 练习 如果只用一种多边形镶嵌整个平面，那么这样的多边形可能有哪些？它们是如何镶嵌而成的？请你试一试。 答：三角形、凸四边形可以；正三角形、正方形、正六边形都可以。 先用两块全等三角形拼成平行四边形。 平行四边形沿两组对边的方向重复平移。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 用全等三角形拼成平面镶嵌，说明一种可持续扩展的拼法。 答：两块先拼成平行四边形，再沿两个方向平移。 一块绕某边中点旋转，与另一块共边。 成对的平行四边形边界相合，可继续扩展。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 新知讲授 任意凸四边形也能铺 观察与思考 沿一条边中点把一块凸四边形旋转，得到相邻的一块。对其他边继续这样拼，接点处可以会合原四边形的四个内角。 关键认识 四个内角和为；对应边在半周旋转下重合。角度与边界都匹配，因此这种拼法可继续扩展。 课堂练习 练习 正三角形、正方形、正五边形、正六边形每角分别为、、、。各需几块围绕同一顶点？ 答：6、4、非整数、3。 用分别除以一个内角。 只有正五边形的商不是整数，不能这样单独平铺。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 把3块正五边形的一个顶点相接，空缺角是多少？增加到4块行不行？ 答：3块空缺；4块会重叠。 。 。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 （1）用图1中的若干正三角形和若干正六边形能镶嵌整个平面吗？如果能，请你试一试。如果用图2中的若干正三角形和若干正六边形呢？（2）用其他两种正多边形能镶嵌整个平面吗？ 答：两组都能；还可用正方形与正八边形。 分别核对图1、图2的边长。 拼图中既要检查角度，也要看一条长边能否由短边接合。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 （1）边长均为1 cm的正三角形和正六边形能镶嵌平面吗？（2）换成边长2 cm的正三角形和边长1 cm的正六边形呢？（3）其他哪两种正多边形也能镶嵌？请给出拼法。 答：图1能镶嵌，示意拼法如图。 每个接点有两个角和两个角。 各边同长，按图中的重复单元向两个方向扩展。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 （1）边长均为1 cm的正三角形和正六边形能镶嵌平面吗？（2）换成边长2 cm的正三角形和边长1 cm的正六边形呢？（3）其他哪两种正多边形也能镶嵌？请给出拼法。 答：图2也能，图中大三角形边长2 cm，小六边形边长1 cm。 每条大三角形边分成两段，与相邻图形的边界匹配。 按图中的周期拼法继续扩展；相同颜色不表示同一块。 边长关系必须保持；不能把2 cm三角形缩成1 cm再拼。 新知讲授 角度正确还要检查边界 观察与思考 围绕一点的角度和只能排除局部的角度空缺。完整镶嵌还要检查各边如何接合，以及这套拼法能否向整个平面重复。 关键认识 图2中，大三角形一条边可分两段接合。允许小图形顶点落在大图形边的中点，不能额外要求每块都整边对整边。 课堂练习 练习 （1）边长均为1 cm的正三角形和正六边形能镶嵌平面吗？（2）换成边长2 cm的正三角形和边长1 cm的正六边形呢？（3）其他哪两种正多边形也能镶嵌？请给出拼法。 答：能。每个接点会合一个正方形和两个正八边形。 。 八边形之间留下的空缺是正方形，填入后可重复扩展。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 用图3的两种图形若干，能镶嵌整个平面吗？请你试一试。 答：能，先拼成正方形。 曲边星形与四分之一圆的弧恰好匹配。 将4个圆扇形放入正方形四角，中央放星形。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 用对角线长2 cm的曲边星形与半径1 cm的四分之一圆拼图，给出一种镶嵌方式。 答：4个四分之一圆与1个星形组成边长2 cm的正方形。 四个角各放一个圆扇形，中央曲边完全吻合。 将拼好的正方形沿水平与竖直方向平移。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 （1）图4两种图形分别能镶嵌整个平面吗？与平行四边形的镶嵌有什么关系？（2）从中获得哪些启发？（3）设计一个自己喜欢的图形，构造镶嵌图案。 答：两种都能；对边作同样的切补后，仍能按原方向平移。 观察虚线表示的原平行四边形。 从一边剪下的部分平移到对边，使相邻单元边界继续吻合。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 从边长2的正方形右边剪去一个小三角形，将它水平平移到左边，能否连续镶嵌？ 答：能，水平与竖直两个方向的边界都能匹配。 左右轮廓是相同形状的平移，凹处与相邻凸处吻合。 上下边保持原直线段，按原边长平移即可。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 从面积4的正方形剪去一个小三角形，再将该三角形完整拼到对边，新单元面积是多少？为什么？ 答：仍为4。 剪去与添回的是同一块，面积相等。 整个切补过程中没有丢弃或重复覆盖的部分。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 拓展阅读 两类梯形的名称 等腰梯形 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 直角梯形 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 观察任务 梯形也可先组合成能够平移铺满的较大单元。下面分别观察特殊等腰梯形与直角梯形的拼法。 新知讲授 特殊等腰梯形的组合 观察与思考 图中的等腰梯形，上底与腰相等，下底是上底的2倍。它可以组合成正六边形、等边三角形、平行四边形等图形。 关键认识 选择能继续平移或拼合的较大单元，再重复铺开。大单元内部边界也要逐段吻合。 新知讲授 特殊直角梯形的组合 观察与思考 图中直角梯形的上底与高相等，下底是上底的2倍。通过旋转与拼接，可以组成正方形等较大的图形。 关键认识 组合成正方形后，再利用正方形的平移镶嵌。每块梯形仍保持相同形状与大小。 课堂练习 练习 为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示。（1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流；（2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面，设计一个可以随意拼接的桌面。 答：相邻桌面应旋转，使凹凸弧相接。 先找上下的凹弧与左右的凸弧。 相邻同向放置会凸对凸或凹对凹，需要改变方向。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示。（1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流；（2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面，设计一个可以随意拼接的桌面。 答：四桌按棋盘方式交替转，得到图示拼法。 左下与右上同向，另两张均转。 相邻公共边的凹凸弧完全吻合，四张桌面内部不重叠。 桌面与原图保持上下凹、左右凸；相邻桌旋转。 课堂练习 练习 为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示。（1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流；（2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面，设计一个可以随意拼接的桌面。 答：可从正方形右边切去三角形，再平移到左边，形成新桌面。 原桌面把上下剪去的等形弓形转放到左右。 新设计使用对边平移切补，水平、竖直重复即可。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 如图是一个学生的作品，你能说说他绘制图案的过程吗？ 答：从六边形出发，经三组对边切补得到鱼形，再平移着色。 每次将一边剪下的部分平移到相对边，保持相对轮廓匹配。 沿六边形原来的镶嵌方向重复，最后交错着色。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 请你仿照第2题图案的绘制方法设计一个平面镶嵌图，并写一篇小论文与同伴交流你的设计过程和原理。 答：示例：正方形经过左右切补，得到图中的箭头形单元与重复图案。 确定边长2的正方形；右边剪下三角形，完整移到左边。 左右轮廓平移重合，上下为等长直线，故能沿两方向铺满。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 请你仿照第2题图案的绘制方法设计一个平面镶嵌图，并写一篇小论文与同伴交流你的设计过程和原理。 答：题目：从正方形到箭头形镶嵌。 我把右边的小三角形移到左边。新单元面积不变，相邻凹凸部分形状与大小相同。 将新单元水平和竖直平移，边界恰好吻合；我用交替颜色区分单元。 说明原图形、变形步骤、边界匹配与重复方式，不能只写“很好看”。 课堂练习 练习 某同学算得几个角和，就断言这些图形能铺满平面。他还需要检查什么？ 答：边长与边界的匹配，以及拼法能否持续扩展。 尝试实际拼出多个相邻单元，查找边界空隙或重叠。 找到可重复的单元与方向，再向周围扩展。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂练习 练习 评价一张镶嵌设计，应检查哪四项？每项怎样观察？ 答：形状大小、边界接合、内部覆盖、持续扩展。 检查同一种图形是否全等；相邻边是否完全吻合。 标出基本单元及重复方向，检查扩大后是否仍无缝无重叠。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 课堂总结 平面图形 的镶嵌 定义 同形同大，不留空隙、不重叠 角度 围绕一点，局部角和 边界 检查凹凸与长短边的匹配 变换 平移、旋转与对边等形切补 验证 画出可重复图案并向外扩展 针对训练 原创训练 下列哪项必须满足？A.只有一种图形 B.都是正多边形 C.无空隙且无重叠 D.所有角相等。 答：C。 镶嵌可以用一种或几种图形，关键是无缝且不重叠。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 针对训练 原创训练 用边长相同的正三角形、正方形、正六边形分别单独铺面，一个顶点处各会合几块？ 答：6块、4块、3块。 分别计算、、。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 针对训练 原创训练 判断并说明理由。 （1） 同样的三角形可以镶嵌平面。 对 两块先拼成平行四边形，再平移。 （2） 只要一处角和就一定能镶嵌。 错 还需验证边界和持续扩展。 （3） 切下部分移到对边后面积不变。 对 切去与添回面积相同，且不重叠。 针对训练 原创训练 3个正五边形共顶点拼在一起，尚缺多少角度？ 答：。 一个内角。 。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 针对训练 原创训练 一个正方形和两个正八边形共顶点时，角度能否恰好填满？ 答：能，角度和。 正八边形内角。 ；仍应结合实际拼图检查边界。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 针对训练 原创训练 把两块全等三角形沿一条对应边拼成平行四边形，应如何移动其中一块？ 答：绕该边中点旋转。 旋转后这条边与原边重合。 另外两组边对应平行且相等，组合为平行四边形。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 针对训练 原创训练 正方形右边剪去一块，把它平移到左边。解释水平相邻单元为什么没有缝隙。 答：后一块的凹边恰好接住前一块的凸边。 切片形状大小不变。 两条对应轮廓相差一个正方形边长的平移。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 针对训练 原创训练 上下凹、左右凸的同款桌面水平相邻时，两桌能保持同方向吗？怎样改正？ 答：不能；后一桌旋转。 同向时两条相邻边都凸，会相互重叠。 转后一凸一凹，形状吻合。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 针对训练 原创训练 长6 m、宽4 m的矩形地面，用边长0.5 m的正方形地砖铺满，不计接缝与损耗，需要多少块？ 答：96块。 长边需块，宽边需块。 块；两方向均整除，无需切割。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 针对训练 原创训练 一个装饰单元由边长20 cm的正方形切补而成。用30个相同单元无缝且不重叠地拼板，总面积是多少平方米？ 答：。 每单元面积。 。 根据条件选用本课结论，写出相应等式。 方法归纳 先拼得上，再铺得开 检查局部匹配 ① 检查相接处角度和是否为。 ② 逐段核对边界长度、凹凸形状与方向。 建立重复方式 ① 选取可以持续重复的基本单元和移动方向。 ② 用多块实拼验证无空隙、无重叠，再解释切补与面积关系。 $