4.3 中心对称（第1课时）课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

第4章　图形的平移与旋转 4.3 中心对称（第1课时） 中心对称与作图 数学新教材鲁教版　八年级上册 情境引入 转过半圈，会发生什么？ 观察与思考 把图形绕O旋转，原来位于O一侧的点来到另一侧。每个点到O的距离保持不变，连线穿过O。 解释与结论 半圈旋转使对应点、中心三点共线；这个特殊关系使作图和证明都更简洁。 O A B C A′ B′ C′ 情境引入 两幅图，还是一幅图？ 观察与思考 一幅图旋转后可以与另一幅图重合；也可能整个图形转半圈后仍与自身重合。注意讨论对象的数量。 解释与结论 前者讨论两个图形的中心对称关系，后者讨论一个图形是否是中心对称图形，两者相关而不等同。 情境引入 从线段看半圈旋转 观察与思考 线段AB绕中点O转，A到B，B到A；两端交换后，整条线段与原来重合。 解释与结论 如果把中心选在不是中点的位置，线段一般不会与自身重合。中心的位置必须经过检验。 A O B 新知讲授 中心对称的含义 概念与性质 在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心（centre of symmetry）。两个图形上，经过旋转180°后重合的两个点叫做对应点。 解释与结论 中心O固定不动，其余点到相反方向的等距位置。作图时应把每对点与这个同一中心联系起来。 新知讲授 对应点连线经过中心 概念与性质 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 解释与结论 合起来，O是的中点。对图形中每一组对应点都成立，是识别和作图的直接依据。 新知讲授 画一个点的对称点 观察与思考 连接AO，并沿A到O方向继续延长，在O的另一侧取，使。不能在A的同侧截取。 解释与结论 如果A恰与O重合，对称点仍为O。中心本身是这一变换中的固定点。 O A A′ 新知讲授 画线段：确定两个端点 观察与思考 分别作A、B关于O的对称点、，再连接。不必逐点作出线段内部每一个点。 解释与结论 完成后，O应分别是、的中点，原线段与对应线段长度相等。 O A B A′ B′ 新知讲授 画三角形：三个顶点都要追踪 观察与思考 逐一作出、、，按照原来边的关系连接。中心可能在三角形内外，作法相同。 解释与结论 别把连接顶点和中心的辅助线当成新三角形的边。辅助线用于定位，新边连接的是对应顶点。 O A B C A′ B′ C′ 新知讲授 画组合图形：内部线也不能少 观察与思考 图形有多个三角形或内部线段时，除了外轮廓顶点，还要记录内部线端点及交点。 解释与结论 将这些点全部对称后按原结构连接。只画外轮廓可能遗漏题目要求的完整图形。 新知讲授 如何寻找未知的对称中心 观察与思考 已知两组对应点A、和B、，分别连接、。它们的公共中点就是可能的对称中心。 解释与结论 仅找到交点还不够，还需检验它能否同时平分两条线段；再用其他对应点检验整个图形。 新知讲授 关于原点的坐标规律 观察与思考 若O为坐标原点，A(x,y)的中心对称点为(−x,−y)。横、纵两项都变号，对应点位于相反方向。 解释与结论 例如A(,)对应(,)。只改变一项符号通常是关于坐标轴的轴对称，不能混淆。 新知讲授 中心对称保持边与角 观察与思考 中心对称属于旋转，所以图形的形状与大小保持不变。对应边相等，对应角相等。 解释与结论 相应边可平行或共线，但决定中心对称的关键还在于对应点连线被同一个中心平分。 新知讲授 判断要覆盖整个图形 观察与思考 验证一组对应点只能确定候选中心；要判断两个完整图形中心对称，还需检查所有关键点和连接关系。 解释与结论 如果其中一个顶点不符合中点条件，或内部线段不能重合，就不能认定整图具有中心对称关系。 例题讲解 例1 如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形，使它与四边形ABCD关于点O成中心对称。 答：分别连接AO、BO、CO、DO并延长，截取、、、，再顺次连接对应点。 O分别平分、、、。 每组对应点分居O两侧，最后按A、B、C、D的顺序连接。 注意对应关系与图中的点名保持一致。 新知应用 示例 如图，画出点A关于点O的对称点。 O A A′ 答：图中即为所求。 连接AO，并沿A到O的方向延长。 在O的另一侧取点，使。 关键条件是共线、反向、等距。 新知应用 示例 如图，画出已知图形关于点O成中心对称的图形。 O A B A′ B′ 答：图中带“”的对应点及连线即为所求。 连接各关键点与O，并延长到另一侧。 使O为每组对应点连线的中点。 按原连接顺序恢复全部线段。 关键条件是共线、反向、等距。 新知应用 示例 如图，画出已知图形关于点O成中心对称的图形。 O A B C A′ B′ C′ 答：图中带“”的对应点及连线即为所求。 连接各关键点与O，并延长到另一侧。 使O为每组对应点连线的中点。 按原连接顺序恢复全部线段。 关键条件是共线、反向、等距。 新知应用 示例 A、关于O中心对称， cm，求。 O A A′ 答： cm。 O在上且。 。 对应点位于中心两侧。 新知应用 示例 A(,)、(,)关于某点中心对称，这个点是哪里？ 答：坐标原点O。 对应的横坐标、纵坐标分别互为相反数。 O把平分。 候选中心由对应点中点确定。 课堂练习 随堂练习1 如图，画出关于点O成中心对称的三角形。 A B C A′ B′ C′ O 答：作、、使O分别为、、中点，再连接。 A、B、C都通过O到达另一侧，与O的距离各自保持不变。 三组点都以O为中点，故所得三角形与原图成中心对称。 注意对应关系与图中的点名保持一致。 课堂练习 随堂练习2 如图是由四个等腰直角三角形构成的图形，画出这个图形关于点O成中心对称的图形。 O 答：将所有折点及内部线端点关于O取对称点，按原连接关系连接；O不变。 各折点都绕O转，O自身保持不动。 外轮廓和内部线段都要对应，才能保留四个等腰直角三角形。 原图和新图的内部线段都要完整保留。 新知应用 示例 如图，画出已知图形关于点O成中心对称的图形。 O A B C D A′ B′ C′ D′ 答：图中带“”的对应点及连线即为所求。 连接各关键点与O，并延长到另一侧。 使O为每组对应点连线的中点。 按原连接顺序恢复全部线段。 关键条件是共线、反向、等距。 新知应用 示例 如图，画出已知图形关于点O成中心对称的图形。 O A B C A′ B′ C′ 答：图中带“”的对应点及连线即为所求。 连接各关键点与O，并延长到另一侧。 使O为每组对应点连线的中点。 按原连接顺序恢复全部线段。 关键条件是共线、反向、等距。 新知应用 示例 点A(,)关于原点O的中心对称点，小明写成(,)，正确吗？ 答：不正确，应为(,)。 两项都应变号。 只变横坐标是关于y轴的轴对称。 中心对称与轴对称的坐标规律不同。 新知应用 示例 把线段AB看成一个中心对称图形，它的对称中心一定在线段上吗？ 答：是，在AB中点。 绕中点时端点互换。 线段中点属于线段。 本题讨论线段自身的对称中心。 新知应用 示例 两幅图有一组对应点的连线被O平分，是否足以证明两图关于O中心对称？ 答：不够。 还需其他关键点也遵循同一规则。 整幅图的连接关系也要对应。 一个点对只能提供候选中心。 方法归纳 把方法用在具体对象上 识别中心 ① 连接对应点。 ② 检查公共中点。 完成作图 ① 在中心另一侧等距取点。 ② 按原图恢复连接。 新知讲授 180°是不可替换的条件 观察与思考 中心对称的旋转角固定为，不能把“转动某个角度能重合”当成同一个定义。正五角星绕其中心旋转后重合，但不成中心对称。 解释与结论 检验图形时真的想象转半圈，或把所有关键点逐对连线检查公共中点，不能依赖“看起来很规则”。 新知讲授 同一中心与等距必须同时成立 观察与思考 两组对应点连线可能相交，却没有被交点平分；也可能各有中点，但中点位置不同。两种情况都不能确定同一个中心对称。 解释与结论 有效条件是所有对应点连线共用一个中点。把“经过”与“平分”连起来理解，不能只记其中一个。 新知讲授 轴对称与中心对称的对应连线 观察与思考 轴对称中，对应点连线被对称轴垂直平分；中心对称中，对应点连线被一个点平分。对象分别是一条线与一个点。 解释与结论 中心对称不要求不同对应点连线平行，也不要求某条固定直线垂直于所有连线。 新知讲授 设计后仍须检验细节 观察与思考 若轮廓中心对称，但一侧增加了内部小图案，另一侧没有对应部分，整个图形就可能失去中心对称。 解释与结论 先确定本题讨论范围：只看轮廓还是包含内部线和颜色。再依同一标准对两侧进行检查。 课堂总结 中心对称与作图 动作 绕一点旋转 点的关系 连线经过中心且被平分 两种对象 两图中心对称；一图中心对称图形 作图 连接、延长、等距、连线 判断 所有关键点与细节均重合 针对训练 针对训练 A与关于O中心对称，，求OA。 答：。 O是中点。 。 中点条件转化为长度关系。 针对训练 针对训练 P(,)关于原点的对应点是什么？ 答：(,)。 横坐标变。 纵坐标变。 横纵都变号。 针对训练 针对训练 如图，画出已知图形关于点O成中心对称的图形。 O A B A′ B′ 答：图中带“”的对应点及连线即为所求。 连接各关键点与O，并延长到另一侧。 使O为每组对应点连线的中点。 按原连接顺序恢复全部线段。 关键条件是共线、反向、等距。 针对训练 针对训练 如图，画出已知图形关于点O成中心对称的图形。 O A B C A′ B′ C′ 答：图中带“”的对应点及连线即为所求。 连接各关键点与O，并延长到另一侧。 使O为每组对应点连线的中点。 按原连接顺序恢复全部线段。 关键条件是共线、反向、等距。 针对训练 针对训练 一个图形关于点O中心对称时，O的对应点在哪里？ 答：仍是O。 旋转中心固定。 O到自己的距离为。 中心是固定点。 针对训练 针对训练 正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，哪些是中心对称图形？ 答：正方形、正六边形。 它们的顶点可以关于中心两两互换。 奇数边的两种不能转重合。 检验规定的。 针对训练 针对训练 A、B、C三点的对应点为D、E、F。若原图有AB和BC两线段，新图应连接哪些线段？ 答：DE和EF。 A→D、B→E、C→F。 按原连接关系逐条恢复。 中心对称同时保持连接结构。 针对训练 针对训练 A与关于O中心对称，、，求x。 答：。 。 解得。 由中心等距条件列式。 针对训练 针对训练 设计师已在中心O左侧画一片叶子，想补成中心对称图案。叶尖A距O为 cm，其对应叶尖应画在哪里？ 答：在直线AO上O的另一侧，且 cm。 对应点连线经过O。 两侧到O距离相等。 先定位方向，再截等距。 针对训练 针对训练 舞台以坐标原点O为中心设置中心对称灯位，坐标单位为米。灯位A的坐标为，求它的对应灯位坐标；另一对中心对称灯位的连线长米，每盏距O多少米？ 答：另一灯位(,)米；每盏距O为米。 原点中心对称使两坐标变号。 中心平分灯位连线。 位置与长度都由中点条件确定。 方法归纳 本课方法归纳 判定图形 ① 只检验这一角度。 ② 检查轮廓及题目关注的细节。 求量方法 ① 利用中心平分连线。 ② 联系旋转的对应边角相等。 $