3.2 中位数与众数（第1课时）课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

第3章　数据的分析 3.2 中位数与众数（第1课时） 中位数与众数 数学新教材鲁教版　八年级上册 情境引入 同一家公司，三种工资说法 观察与思考 经理说月平均工资2700元；职员C说自己的1900元是中等收入；职员D说好几个人都是1800元。三句话会互相矛盾吗？ 关键认识 描述一组数据，可以从总量、排序中的位置、出现的次数等不同角度出发。本课寻找另外两个反映集中趋势的数。 情境探究 教材情境 某公司9名员工的月工资见表。经理说平均工资2700元，这句话正确吗？ 岗位 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 其余职员 D：1800 E：1800 F：1800 G：1200 共9人 答：正确。 全部工资总和为24300元。 24300÷9=2700元；它反映总工资平均分配后的水平。 平均数正确，不意味着大多数员工都拿2700元。 情境探究 教材情境 某公司9名员工工资为7000、4400、2400、2000、1900、1800、1800、1800、1200元。职员C收入1900元，为什么可说处于中间？ 答：按大小排列后，1900元位于第5个。 从小到大：1200，1800，1800，1800，1900，2000，2400，4400，7000。 前面4人，后面4人，1900元在中间位置。 先排序，再找位置。 情境探究 教材情境 某公司9名员工工资为7000、4400、2400、2000、1900、1800、1800、1800、1200元。职员D说好几个人都拿1800元，他抓住了什么特征？ 答：1800元出现3次，在所有工资数值中次数最多。 逐个统计相同工资出现的次数。 1800元出现3次，其他每种数值只出现1次。 关注出现最多的数值，不是最大的数值。 新知讲授 中位数 概念 一般的， 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数（median）。 读懂概念 关键词：排序、中间位置。数据个数为奇数取中间一个，为偶数取中间两个的平均数。 新知讲授 奇数个数据：取中间的一个 观察与思考 5个数据按大小排好，左右各留2个，中间是第3个；9个数据排好，中间是第5个。 关键认识 若个数为奇数n，中间位置可写成(n+1)÷2。注意算出来的是位置编号，还要回到数列读取对应数值。 课堂练习 练习 8，3，6，9，4，求中位数。 答：6。 排序为3，4，6，8，9。 共有5个数，取第3个6。 题目书写顺序通常不是大小顺序。 新知讲授 偶数个数据：取两个的平均数 观察与思考 6个数据排好，没有唯一的中间一个，最中间是第3和第4个；8个数据的中间是第4和第5个。 关键认识 把中间两个数相加除以2，得到中位数。这个结果可能不是原数据中的一个数，也可能不是整数。 课堂练习 练习 9，4，2，7，求中位数。 答：5.5。 排序为2，4，7，9。 中间两数为4和7，中位数(4+7)÷2=5.5。 偶数个数据不能只取靠左或靠右的一个。 新知讲授 众数 概念 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数（mode）。 读懂概念 出现次数最多是判断标准。众数不是数值最大的数，也不是出现次数本身。可能有不止一个数并列出现最多。 课堂练习 练习 2，4，4，4，7，7。众数是多少？它出现几次？ 答：众数4，出现3次。 数值4出现3次，7出现2次，2出现1次。 最多次数是3，对应的数值4才是众数。 “众数4”和“频数3”是两个不同的量。 课堂练习 示例 一组数据为1.5，1.5，1.6，1.65，1.7，1.7，1.75，1.8。求中位数和众数。 答：中位数1.675；众数1.5和1.7。 8个数据已排序，中间两数1.65和1.7，平均1.675。 1.5和1.7各出现2次，并列最多，都应写出。 并列最多的数都写出，不把它们再平均。 新知讲授 如果每个数据只出现一次 观察与思考 例如2、4、7、9互不相同，没有哪个数比其他数出现得更频繁。这时没有突出的众数，众数不能提供有用的典型信息。 关键认识 求中位数仍然可以排序取中间两个的平均数。不同统计量回答不同问题，不能因为一个不适用就放弃所有分析。 新知讲授 集中趋势 概念 平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量。 读懂概念 平均数从总和出发，中位数从排序位置出发，众数从出现次数出发。三个角度可以互相补充，不能彼此替代所有用途。 课堂练习 议一议（1） 对工资7000、4400、2400、2000、1900、1800、1800、1800、1200元，平均数2700、中位数1900、众数1800。用哪个表示普通员工收入更合适？ 答：可优先用中位数1900元，也可结合众数1800元。 大多数员工工资在1800元附近，2700元高于多数人的收入。 若计算公司工资总额，则平均数2700元有直接用途。 先说清描述目的，再选择统计量。 课堂练习 议一议（2） 同一公司平均工资2700元，中位数1900元。为什么平均数明显更高？ 答：7000元、4400元两个较高数值拉高了平均数。 平均数计算使用所有工资的实际数值。 中位数只由排序中间位置的数决定，尾部较高值影响较小。 不要把“平均工资高”解释成“人人工资高”。 新知讲授 平均数的特征 概念 计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响。 读懂概念 例如把工资中最大值再提高，平均数就会随之上升，即使其余多数人的收入完全未变。 新知讲授 中位数的特征 概念 中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息。 读懂概念 若5个数由1、2、3、4、5变成1、2、3、4、50，中位数仍为3。这里仅改变了最大值，排序中间位置没有变化。 新知讲授 众数在重复数据中的价值 概念 一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量。 读懂概念 鞋码、服装型号等进货问题关心哪个需求最多；频数表能提供依据。若各数据重复次数大致相等，众数往往没有特别意义。 课堂练习 做一做（1） 冠军队15人身高为188、175、190、188、196、206、195、209、204、185、204、195、211、202、227 cm。求平均数、中位数和众数。 答：平均数约198.33 cm，中位数196 cm，众数188、195、204 cm。 总和2975，2975÷15≈198.33；排序后第8个是196。 188、195、204各出现2次，并列最多。 多个众数都保留单位，不遗漏并列情况。 课堂练习 练习 冠军队身高175、185、188、188、190、195、195、196、202、204、204、206、209、211、227 cm已排序，说明怎样定位中位数。 答：第8个数196 cm。 数据共有15个，(15+1)÷2=8。 第8个左侧7个、右侧7个，因此它是中间位置。 位置是8，数值是196，二者不能混写。 课堂练习 做一做（2） 你课前所调查的50名男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数和众数分别是多少？学校商店应多进哪种尺码的运动鞋？ 答：数值由实际调查决定；通常参考众数对应的尺码。 平均数=所有尺码总和÷50；排序后第25、26个平均得到中位数。 统计各尺码人数，频数最多的尺码可适当多进，同时兼顾其他需求。 没有真实数据时不能编造本班调查结论。 课堂练习 练习 10人鞋码为37、38、38、39、39、39、39、40、40、41。求三种统计量并提出进货建议。 答：平均39，中位39，众数39；39码可适当多进。 总和390，共10人；中间第5、6个均为39。 39出现4次最多，但其余6人的尺码需求也应考虑。 示例练习不能代替真实50人调查。 课堂练习 题组 判断并说明理由。 （1） 中位数就是把最大值和最小值平均。 错 中位数取排序中间位置。 （2） 一组数据只能有一个众数。 错 如1、1、2、2有两个众数。 （3） 改变最大值，一定改变中位数。 错 如1、2、3、4、5的5改50，中位仍3。 每个判断都回到对应定义。 课堂练习 练习 校服商店要决定哪一种尺码多备货；学校要核算所有校服的平均花费。两种目的分别优先看什么？ 答：备货优先看尺码众数及频数；平均花费看平均数。 最常见尺码反映集中需求。 平均费用×购买件数能够恢复总费用。 统计量的选择取决于要解决的问题。 方法归纳 中位数与众数的操作路线 求中位数 ① 先按大小排序，再数清总个数。 ② 奇数取中间一个，偶数取中间两个的平均数。 求众数 ① 整理各取值的出现次数。 ② 找次数最多对应的数，遇到并列全部保留。 课堂练习 练习 练习用示例数据2、3、3、4、8，把8改成18。比较平均数、中位数、众数。 答：平均数由4变6，中位数与众数都仍为3。 总和增加10，5个数平均增加2。 排序中间数及出现最多的数都未改变。 改变一个极端值时，三个统计量反应可能不同。 回到情境 三种说法可以同时正确 观察与思考 公司平均数2700、中位数1900、众数1800，分别来自总量、位置和频数；它们并不矛盾。 关键认识 讨论“普通员工收入”时中位数更贴近问题；讨论“工资支出”时平均数有用。说明选用理由比只报一个数更重要。 课堂练习 练习 1、2、2、4、6，求平均数、中位数、众数。 答：平均数3；中位数2；众数2。 总和15，共5个数，平均3。 已排序的第3个为2；2出现2次最多。 同一组数据的三种统计量可以不同。 课堂总结 数据的集中趋势 平均数 使用全部数值，易受极端值影响 中位数 排序后取中间，奇偶分情况 众数 次数最多对应的数，可不唯一 步骤 明确目的→整理数据→计算 注意 位置与数值、众数与频数要区分 针对训练 原创训练 示例数据9，1，7，3，5的中位数是？A.1　B.3　C.5　D.7。 答：C，5。 排序1、3、5、7、9，取第3个。 先排序，不能取原书写顺序的中间数。 针对训练 原创训练 示例数据2，5，8，9的中位数是____。 答：6.5。 中间两数5和8，(5+8)÷2=6.5。 中位数可以不是原数据。 针对训练 原创训练 判断下列说法。 （1） 众数是出现次数最多的数值。 对 定义关注频数最高对应的取值。 （2） 6个数的中位数是第3个数。 错 排序后第3、4个的平均数。 （3） 每组数据的平均数与中位数一定相同。 错 1、2、9平均4，中位2。 判断中位数前补上“排序”条件。 针对训练 原创训练 示例数据4，6，4，7，6，9。求众数与中位数。 答：众数4和6；中位数6。 排序4、4、6、6、7、9，中间两数均6。 4与6各2次，并列最多。 众数并列不取平均，直接列出。 针对训练 原创训练 示例数据2，3，3，7，10，求平均数、中位数、众数。 答：平均数5；中位数3；众数3。 总和25，共5个数，平均5。 排序第3个3，3出现2次最多。 每种统计量都使用自己的算法。 针对训练 原创训练 一组已排序示例数据2、5、x、9、12的中位数为7，求x。 答：x=7。 5个数据已排序，中位数是第3个。 所以x=7，且符合5≤7≤9。 已排序是本题直接定位的关键条件。 针对训练 原创训练 示例数据1、2、2、3、7，将7改为27。平均数、中位数、众数各怎样变化？ 答：平均数3变7；中位数、众数仍为2。 总和增加20，5个数平均增加4。 中间位置和出现最多的取值没有改变。 不要把某一种统计量的变化套到其他统计量上。 针对训练 原创训练 读书1本2人，2本5人，3本3人。求平均数、中位数、众数。 答：平均2.1本；中位2本；众数2本。 10人总读书21本；第5、6个位置都属于2本。 2本对应5人，频数最多。 累计频数用于定位中位数。 针对训练 原创训练 商店售出300 mL杯5个、400 mL杯12个、500 mL杯3个。若参考销量安排下一批进货，应多进哪种？平均售出容量是多少？ 答：多进400 mL；平均390 mL。 400 mL销量最多，是容量众数。 (300×5+400×12+500×3)÷20=390 mL。 进货选规格时不能直接采用不存在的平均规格。 针对训练 原创训练 5名兼职人员报酬为100、100、120、130、550元。求三种统计量，并说明哪个更适合描述一般水平。 答：平均200元，中位120元，众数100元；一般水平可用中位数并结合众数。 总和1000，平均200；排序中间120，100出现2次。 550明显较高，拉高平均数，200不能代表多数人的报酬。 算出数据后，还要解释统计量是否贴合描述目的。 方法归纳 准确计算，合理表达 位置与频数分开处理 ① 求中位数先排序，按奇偶确定中间位置。 ② 求众数看重复次数，并列最多的取值都列出。 按问题选择代表量 ① 核算总量常用平均数，描述中间水平常用中位数。 ② 了解最常见需求看众数，同时说明数据来源和局限。 $