广东省广州市第二中学2026-2027学年高一上学期月考（一）数学试题

广州市第二中学2026学年第一学期月考（一） 高一数学 命题：李凌崤 何梅 审校：胡守标 本试卷共4页，19小题，满分为150分。考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中选择最符合题目要求的． 1．若，则a的值为（   ） A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2 2．已知命题，则命题为（   ） A． B． C． D． 3．若集合内的元素个数为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 8．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（    ） A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17 C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则________． 13．若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________． 14．已知函数，定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，则实数的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．已知函数是定义在上的函数，且． (1)求出的值并写出函数的解析式； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 17．某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 18．已知函数. (1)解关于的不等式； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不同的实数，，满足，求证：； (3)若存在两个不同的实数，，满足，求的取值范围． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2026学年第一学期月考（一）高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C D A C BCD ABC 题号 11 答案 ACD 1．D 2．B 3．C 【详解】若，则，不符合题意； 若，则， 所以集合中的元素为、、、、， 故集合中的元素个数为，解得，符合题意. 综上所述，. 4．C 【分析】根据分式、偶次根式有意义，结合定义域可求得结果. 【详解】由得：，又的定义域是， 的定义域为. 故选：C. 5．C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 6．D 【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】选项A，若，只有当时，，当时，，故A错误； 选项B，若，则，或，或，故B错误； 选项C，若，当时，，故C错误； 选项D，若，则，则，故D正确. 故选：D. 7．A 【分析】由已知不等式的解集，求出，再得出新不等式，求解即可. 【详解】依题意，是方程的两个实根，且， 于是，且，解得. 不等式化为，解得， 故解集为. 故选：A 8．C 【分析】将问题转化为圆上的点与连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求得斜率的取值范围，进而得到最大值. 【详解】由得：， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的几何意义为该圆上的点与连线的斜率，    当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切； 设过点的圆的切线为，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，则的最大值为. 故选：C. 9．BCD 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 10．ABC 【分析】利用基本不等式可判断A选项；由结合二次函数的基本性质可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，即，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B正确； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，故的最小值为，C正确； 对于D选项， ， 当且仅当，该方程组无解，不符合题意，故等号不成立，D错误. 11．ACD 【分析】用表示有限集的元素个数,由题意，知非空集合满足,,得到或，根据集合的定义利用分类讨论结合举反例及穷举法对各选项逐一验证即可. 【详解】用表示有限集的元素个数,由题意，知非空集合满足,, 对于A，由，得或，因为， 当时，； 当时，，故A正确； 对于B，当，，此时，则，故B不正确； 对于C，∵中元素最大为，最小为，∴，，当取等号时，必有，而2只能为，只能为，故，这与矛盾.所以， 当，可使得，即的最大值为18，故C正确； 对于D，∵非空，且，∴且中至少有1个元素不在中，∴，当，时取等号，所以D正确. 故选：ACD. 12． 【详解】令，则， 所以，， 所以. 13． 【详解】 因为所有三元子集中每个元素共出现3次， 所以所有三元子集的元素之积， 所以， 用120分别除以中的元素即得． 14．4 【详解】对于， 函数图像抛物线开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： ①当时，在上单调递增， 可得 ， ∴，得 ②当时， 在上单调递减，在上单调递增， 结合，可得函数在区间上的最大值为 ，最小值为 ， 可得， ∵，有，，∴，. 综上可得，正数最小值为4. 15．(1)，； (2). 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【详解】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，且等号不同时成立，解得， 综上可得. 16．(1)，，， (2) 对，且， . 其中，，.                      因此，，即对且，有. 所以函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）由，列出方程求解即可； （2）由减函数的定义即可求证； （3）由函数单调性去“”即可求解. 【详解】（1）因函数 是定义在上的函数， 由于，故，即. 又因为，所以，即.   故函数的解析式为，. （2）略 （3）因，有意义，所以，，解得； 因为，函数在上单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 17．(1) (2)该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元. 【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可； （2）利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意知，当时，， 则，解得， 所以. 因为每件产品的销售价格为元， 所以2025年该产品的利润 , 即. （2）因为当时，. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元. 18．(1)等价于， 即， (1)当时，不等式化为：，解得； (2)当时，不等式化为： i.当时，因，解得， ii.当时，，不等式化为， ①若，即时，解得或； ②若即时，不等式化为，解得； ③若即时，解得或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. (2)，故 令，设 故 函数在递减，递增。 又 故，故 (3) 看成关于的一次函数 要求对恒成立，只需两个端点都小于0，即 解得 19．(1)单调递减区间是；递增区间是，． (2)由题可知当时，单调递增且；当时，， 故，均小于0， 且由单调性不妨设，故， 故， 要证，只要证， 只要证：，① 注意到， 当时，，， 故①成立，结论获证． (3) 【分析】（1）通过简单函数的性质判断单调性即可. （2）通过初步判断自变量范围后代入，利用等量关系求解. （3）对范围分类讨论，通过函数单调性的特点求解范围. 【详解】（1）对于，因为对称轴为，所以时函数单调递减. 对于，易知，单调递增， 所以综上所述，单调递减区间是；递增区间是，． （2）略 （3）不妨设， ①当时，， 此时，故不成立. ②当时，此时，若， 可知，且有， 注意到，故即， 故. 当且仅当时，取等号 即 ③当时，此时，，又当时，单调递增， 故，即，且， 故，又， 故，当且仅当时取等号， 故， 综上：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $