3.1.1 第1课时函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1函数的概念（第1课时） 学习目标 1. 理解函数的概念，体会集合和对应关系在刻画函数概念中的作用 3. 能构造问题情境描述函数 2.掌握构成函数的三要素 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 初中学习的函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，那么函数概念是什么？ 一般地，在某一个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 例如：正方形的周长l与边长x的关系式是 l=4x，l是x的函数. 3 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 那么函数l=4x与正比例函数y=4x相同吗? 函数y=x与函数y=是否相同？ 要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念,接下来请分析以下四个问题. 4 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. 这里，t 和S是两个变量， 且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一确 定的值与之对应，故S是 t 的函数。 5 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 根据问题1的条件,我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况.所以上述说法不正确.其原因是没有关注到t 的变化范围。 有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗? 是否能用更精确的语言表示问题1中S与t 的对应关系？ 列车行进路程S与运行时间 t 的对应关系:S=350t,其中，t 的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. 对于数集A1中的任一时刻 t，按照对应关系S=350t，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应． 6 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：你认为该怎样确定一个工人的每周所得？一个工人的工资W（单位：元）是他工作天数的d 的函数吗？ 显然，工资W是一周工作天数d的函数，其对应关系:W=350d ,其中，d的变化范围是数集A2={1，2，3，4，5，6}，W的变化范围是数集B2={350，700，1050，1400，1750，2100}，对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系W=350d ，在数集B2中都有唯一确定的工资W与它对应. 7 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 问题1和2中函数有相同的对应关系，你认为它们是同一函数吗？为什么？ 不是同一个函数，因为自变量的取值范围不同. 8 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 问题3：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数(简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h的空气质量指数的值 I ?你认为这里的 I 是 t 的函数吗？ 9 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 从图中的曲线可知，t的范围变化是数集A3={t |0≤t≤24}，AQI的值I都在数集B3={I|0<I<150}中，对于数集A3中的任一时刻 t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．因此，这里的I是t的函数. 10 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 问题4：国际上常用恩格尔系数r()反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高.你认为按表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数? 11 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 这里，y的取值范围是数集A4={2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集B4={r|0<r≤1}，对于数集A4的任意一个年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应．所以，r是y的函数. 12 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 上述问题1--问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 上述问题的共同特征有： (1)都包含两个非空数集,用A,B来表示; (2)都有一个对应关系; (3)对应关系的表示方法不同，但都有如下的特征：对数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的y值与之对应. 对应关系的表示方法很多，为表示方便，我们引用符号f统一表示对应关系 13 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 显然，值域是集合B的子集． 函数的概念： 构成函数的要素：定义域、对应关系、值域 14 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 例1：用函数定义描述一次函数，二次函数 解：一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax+b． 题型一：函数的概念描述 15 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 题型二：函数的概念 解：对于A，当x=2时，对应的y=2不属于集合B，所以A错误； 对于B，当x=2时，对应的y=4不属于集合B，所以B错误； 对于C，当x=0,1,2时，对应的y分别为-1,1,3，所以C正确； 对于D，当x=2时，对应的y=7不属于集合B，所以D错误. C 判断函数的方法：确定非空集合A,B；对应关系应一对一或多对一 16 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 题型二：函数的概念 A. B. C. D. 解：对于A，定义域与题干矛盾，不合题意，对于D，值域与题干矛盾，不合题意，对于函数来说，对定义域内任意x，都有唯一确定的y与其对应，所以C错误，所以B选项正确. B 17 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 题型三：构建问题情境 例4：函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的,它所反映的两个量之间的对应关系,以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如, 正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系，圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式𝑦=𝑥(10−𝑥)来描述. 18 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 值域是𝐵={𝑦|𝑦≤25}, 对应关系𝑓把𝐑中的任意一个数𝑥,对应到𝐵 中唯一确定的数𝑥(10−𝑥). 如果对𝑥 的取值范围作出限制,例如𝑥∈{𝑥|0<𝑥<10},那么可以构建如下情境： 长方形的周长为20, 设一边长为𝑥, 面积为𝑦, 那么𝑦=𝑥(10−𝑥)， 其中, 𝑥 的取值范围是𝐴={𝑥|0<𝑥<10}, 𝑦 的取值范围是𝐵={𝑦|0<𝑦≤25}.  对应关系𝑓把每一个长方形的边长𝑥,对应到唯一确定的面𝑥(10−𝑥). 函数问题还原为实际问题，注意定义域 19 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 1.用函数定义描述反比例函数 解：反比例函数的定义域是,值域为，对应关系 f 把中的任意一个数x，对应到中唯一确定的数． 20 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 2.(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 解：按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． AD 21 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 3.构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式𝑦=a𝑥2来描述. 解：自由落体运动中，落体运动路程S是时间t的函数：S=. 22 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y＝f(x)，x∈A． 1.函数的概念： 2.函数的三要素： 定义域、对应关系、值域 23 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 作业：课本63页练习题 24 谢谢观看 $