山东省青岛第二中学2026-2027学年第一学期高三10月份阶段练习数学试题

青岛二中2026-2027学年高三10月阶段性练习 数学试题参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C B D B A A D AD BC ABD 二、填空题 12． 13．20 14． 三、解答题 15．（本题满分13分） （1）证明：取中点，连接，，因为，故为锐角，又，故即为异面直线与所成角，则，则，即 ， 因为直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，平面平面，平面，故平面，又，，即四边形为平行四边形，故，所以平面， 故以为坐标原点，，，为，，轴正方向建系， 则，，，，，，， 由于，可得， 则，，， 则，故，，，四点共面； （2）是线段靠近点的三等分点， . 16．（本题满分15分） （1），， ， ，， ，，，为直角三角形 （2），， 当且仅当，时取等号，所以最大值为. 17．（本题满分15分） （1）由题可知．当与轴垂直时，不妨设的坐标为， 所以，解得，. 所以椭圆的标准方程为 . （2）设的方程为，，， 联立得，易知恒成立， 由韦达定理得，， 由直线的斜率为， 得直线的方程为，当时，， 由直线的斜率为，得直线的方程， 当时，，若四边形为菱形， 则对角线相互垂直且平分，下面证， 因为， 代入韦达定理得， 所以，与相互垂直平分，所以为菱形． 18．（本题满分17分） （1）当时，，， ，，所以曲线在原点处的切线方程为． （2）法一：，若在上单调递增，则在上恒成立． ①当时，在上恒成立．令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取得最小值，最小值为1，所以， ，符合题意； ②当时，令，则 ． 因为在上单调递增，，所以当时，， 当时，，在上单调递减，在上单调递增． 要使得在上恒成立，则 ，解得，结合，得． 综上，的取值范围为． 法二：．若在上单调递增，则 在上恒成立． 由，得．令， 则，．令，则． 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，即． 当时，，，， 所以，即； 当时，，，， 所以，即． 在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，即的取值范围为． （3）证明：令，则． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，所以是增函数． 因为，所以在上恒成立， 即当时，在上恒成立． 令，则，所以是增函数． 因为，所以当时，，即． 因为，所以当时，，所以 ， 所以当时，． 19．（本题满分17分） （1）依题意，， 事件发生分两种情况，当测试失败的情况发生在第三阶段概率为， 由于前两个测试失败的概率相同，所以当测试失败的情况发生在前两个阶段概率为， 所以． （2）先求事件的概率，第次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，表示首次通过第一阶段 的测试发生在第次（），且首次通过第二阶段的测试发生在第次，对所有可能的求和得 到． 求事件发生分两步： 第一步，第次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，概率为， 第二步，第 次至 次进行逻辑门操作验证测试没有通过，第次通过，概率为 ； 由全概率公式得，， 设，则， 两式相减得，， 所以，所以． （3）依题意，，又因为， ， 所以 ， 令，则，因为， 所以，故数列在时递增，又，，故当，，时，，故， 当时，，故． 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中2026-2027学年第一学期10月阶段练习 高三试题（数学） 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据2，14，20，16，8的上四分位数为（ ） A．14 B．8 C．16 D．18 2．复数，则（ ） A． B．2 C． D．5 3．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.6 4．已知底面直径为2的圆锥，其侧面展开图是半圆，将这个圆锥放置在球内，则球的最小表面积为（ ） A． B． C． D． 5．若，的展开式中的系数为55，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（ ） A．， B．， C．， D．， 7．在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设为个矩阵构成的集合．从中随机取一个矩阵，定义随机变量如下：对于中的每个矩阵，令，则的数学期望为（ ） A． B． C．1 D．3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9．以下各组函数中，表示同一函数的有（ ） A．； B．； C．； D．； 10．已知正方形，是边的中点，将沿折起至，若为正三角形，下列说法中正确的是（ ） A．平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的大小为 11．已知是首项为1的等差数列，是首项为2的等比数列，满足，，成等差数列，．将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，在与之间插入项中的项，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，新数列中之前（不包括）所有项的和记为，若，符号表示不超过的最大整数，下列说法中正确的是（ ） A．， B． C． D．使得成立的最大正整数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的渐近线方程为                        ． 13．对函数的图象进行以下五种变换各一次： ①向左平移1个单位长度； ②向下平移1个单位长度； ③关于x轴对称； ④曲线上各点的横坐标变为原来的 倍； ⑤曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍； 要使得变换后的解析式为，则不同的变换顺序有                        种（用数字作答）． 14．函数与函数的图象仅有1个公共点，则参数的取值范围是                        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，异面直线与所成角为，点，分别为，的中点，点是线段靠近点的三等分点． （1）求证：，，，四点共面； （2）求三棱锥的体积． 16．（15分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且， （1）若，判断的形状； （2）求的最大值． 17．（15分）已知椭圆：的焦距为2，点为椭圆的右焦点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，当与轴垂直时，． （1）求椭圆的标准方程； （2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于，两点，证明：四边形为菱形． 18．（17分）已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 19．（17分）某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三个关键阶段：量子比特制备（第1阶段）、量子纠缠校准（第2阶段）和逻辑门操作验证（第3阶段）．测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶段测试通过后才能进入下一阶段．一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试流程．已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为，，，且每次测试相互独立．记事件为“该工程师第次测试后芯片合格”． （1）求，； （2）记“第次测试后恰好通过量子纠缠校准测试”为事件，记“第至次进行逻辑门操作验证测试没有通过且第次通过”为事件，求，并求的表达式； （3）比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $