精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

哈三中2026—2027学年度上学期 高一学年10月月考数学试题 考试说明： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； 2.第I卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分）： （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b都是正数，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 10. 已知a，b都是正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知对任意集合，记，并称为集合A，B的对称差.则下列命题中，是真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 设，，若，则 D. 设，，若，则或 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知函数满足，则________. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 14. 已知都是正数，且，则的取值范围是______. 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）. 16. 已知集合，集合或. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 17. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，左右两侧力臂长度分别为厘米和厘米，且，一位顾客到店购买克黄金. （1）如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，当时，顾客得到多少克黄金? （2）如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.判断顾客购得的黄金是小于克，等于克，还是大于克?请说明原因. 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长 18. 已知函数，且不等式的解集为（-1，3）. （1）求关于的不等式的解集； （2）若，，求的取值范围； （3）讨论关于的不等式的解集. 19. 已知函数是定义在上的函数，并且，对于定义域内的任意自变量的值x，y，满足，，其中. （1）当时，求； （2）已知当时，有. （ⅰ）求； （ii）求函数的解析式（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2026—2027学年度上学期 高一学年10月月考数学试题 考试说明： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； 2.第I卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分）： （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数求值，从内向外逐层计算，代入时先判断自变量落在哪个区间. 【详解】因为， 所以，. 4. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 5. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】p：，q：，由p是q的充分不必要条件， 得真包含于，则， 所以实数m的取值范围是. 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把目标式拆成两个已知不等式的线性组合，再利用不等式同向可加性即可求得. 【详解】设，则， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，即. 7. 若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，分，和三种情况，结合根的判别式进行求解 【详解】，，即， 若，则，解得，满足题意， 当时，开口向上，满足要求， 若，开口向下，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为 8. 已知a，b都是正数，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将，转化为，利用基本不等式求解. 【详解】设， 所以， 所以， 当且仅当时取等号. 所以的最大值是. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10. 已知a，b都是正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用求解判断BCD. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确. 11. 已知对任意集合，记，并称为集合A，B的对称差.则下列命题中，是真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 设，，若，则 D. 设，，若，则或 【答案】AD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，利用的定义即可求解；对于D，转化为即可求解. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，因为，，且，， 当时，，当时，，故C错误； 对于D，由于，， 要使，则， 所以，或，解得：或，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知函数满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先用替换原式中的，联立求出的表达式，代入求出的值即可. 【详解】由①，可得②， 联立①②，解得，所以. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由的定义域为可知，结合二次根式及分式的意义，即可求出定义域. 【详解】由的定义域为，则函数的定义域满足，则， 解得，所以函数的定义域为. 14. 已知都是正数，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】对左侧代数式分组提取公因式，将式子整理为含有的形式，结合基本不等式得到与的不等关系；设，代入求解不等式得出的取值范围即的取值范围. 【详解】已知，由得， 整理得， 因为，所以， 因为，得，将化简得 令，则，即 解得，即， 所以的范围是. 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将所求不等式变形为，结合分式不等式的解法解之即可； （2）根据绝对值的性质得出，解之即可. 【小问1详解】 由可得， 等价于，解得， 故原不等式的解集为. 【小问2详解】 已知，则，解得， 故原不等式的解集为. 16. 已知集合，集合或. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合，利用交集和补集的定义可得出集合； （2）求出集合，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合，或， 则或. 又因为，故. 【小问2详解】 因为集合或，所以，且. ①若，则，解得； ②若，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，左右两侧力臂长度分别为厘米和厘米，且，一位顾客到店购买克黄金. （1）如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，当时，顾客得到多少克黄金? （2）如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.判断顾客购得的黄金是小于克，等于克，还是大于克?请说明原因. 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长 【答案】（1）克 （2）顾客购得的黄金大于，理由如下： 由题可知，天平两臂不等长，则，，， 设先称得黄金为，后称得黄金为，则，. ∴，∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立， 但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 【解析】 【分析】（1）由题意得到方程，代入求出答案； （2）设先称得黄金为，后称得黄金为，从而得到方程，结合基本不等式求出，得到答案 【小问1详解】 设顾客得到克黄金，由题意知，. 将代入得到，解得克. 【小问2详解】 略 18. 已知函数，且不等式的解集为（-1，3）. （1）求关于的不等式的解集； （2）若，，求的取值范围； （3）讨论关于的不等式的解集. 【答案】（1）. （2）. （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】由的解集为，确定且为方程的两根，进而将所求不等式化为一个确定的一元二次不等式. 由，将恒成立转化为其最小值大于. 先化简分式不等式并保留，再比较零点与的大小，按的范围分类讨论. 【小问1详解】 因为的解集为，所以，且是方程的两根. 由韦达定理得，，所以，. 原不等式化为. 因为，所以，即. 解得，故解集为. 【小问2详解】 由，得. 配方得. 因为，所以的最小值为. 由对任意恒成立，得. 结合，得. 【小问3详解】 由， 由于，且，原不等式等价于. 整理得，其中. 当时，，解得：. 当时，不等式化为，解得. 当时，，解得：或. 当时，，结合，解得或. 当时，，结合，解得，或，或. 19. 已知函数是定义在上的函数，并且，对于定义域内的任意自变量的值x，y，满足，，其中. （1）当时，求； （2）已知当时，有. （ⅰ）求； （ii）求函数的解析式（用表示）. 【答案】（1）1 （2）（i）0；（ii） 【解析】 【分析】（1）令，并结合即可求得答案； （2）（i）令，则，再令，即可求得答案； （ii）先求得时，；再讨论时，根据，，再令，，得，进而得；令，得，进而得，两者结合即可求得时，，最后写成分段函数即可. 【小问1详解】 解：因为，对于定义域内的任意自变量的值x，y，满足， 所以，令，则， 因为，所以 【小问2详解】 解：（i） 令，因为，所以 所以有， 因为， 所以，令，，得. （ii）当时，令， . 当时，则有， 令，，则. 因为，所以有 则，即. 令 则. 所以有，可得 所以，当时，. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $