25.2.3　因式分解法 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦因式分解法解一元二次方程，通过对比直接开平方法、配方法、公式法的特点，明确因式分解法的定义及“若ab=0则a=0或b=0”的依据，搭建前后知识联系的学习支架。 资料以典例研析和对点小练夯实运算能力，通过解法选择培养抽象能力与创新意识，拓展十字相乘法提升应用意识，技法点拨提供四步骤解题框架，助力学生高效掌握并灵活选用恰当方法解方程。

25.2.3　因式分解法 【课时目标】 1.理解因式分解法解方程的依据.(抽象能力) 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(运算能力) 3.会根据方程的特点选择恰当的方法解一元二次方程.(抽象能力、创新意识) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.因式分解法 (1)定义:通过因式分解使一元二次方程化为两个 的乘积等于0的形式,再使这两个 分别等于0. 　　　　　 等号右边必须为0 (2)依据:若a·b=0,则 或 . 1.(1)判断(对的画“√”,错的画“×”). ①由(2x-2)(3x-4)=0,可得:2x-2=0或3x-4=0.(　) ②由(x-2)(x-3)=2×3,可得:x-2=2或x-3=3.(　) (2)一元二次方程x2=2x的根是 . 2.一元二次方程各种解法的对比 基本思想都是降次转化 解法 特点 直接开平方法 直接利用平方根的意义 配方法 先 ,再 公式法 直接利用 解方程 因式分解法 一边化为两个 相乘,另一边为 ,再分别使各 等于0  2.(1)解方程(5-x)2=7(x-5),选择相对合适的方法是( ) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 (2)下列方法中,最适合用于解方程x2-x-3=0的是( ) A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法 重点　典例研析　启思凝智　 重点1　用因式分解法解一元二次方程(抽象能力、运算能力) 【典例1】用因式分解法解下列方程: (1)x+1=x(x+1); (2)(2x-1)2-x2=0. 举一反三 　用因式分解法解下列方程: (1)x2-6x=0;　　(2)(x+1)2=(2x-1)2. 【解析】(1)因式分解,得x(x-6)=0, ∴x=0或x-6=0,解得:x1=0,x2=6; (2)(x+1)2-(2x-1)2=0, 因式分解,得(x+1+2x-1)(x+1-2x+1)=0, ∴3x=0或-x+2=0, 解得:x1=0,x2=2. 技法点拨 用因式分解法解一元二次方程的四步骤 重点2　一元二次方程解法的恰当选择(运算能力) 【典例2】用适当的方法解下列方程: (1)(6x-1)2=25;　 (2)x2-2x=2x-1; (3)x2-x=2;(4)x(x-7)=8(7-x). 举一反三 1.解下列方程:①2x2-18=0;②2x2-12x-782=0;③3x2+10x+1=0;④2(5x-1)2=2(5x-1).用较简便的方法依次是( ) A.①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法 B.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法 C.①因式分解法,②公式法,③配方法,④因式分解法 D.①直接开平方法,②③公式法,④因式分解法 2.用适当的方法解下列一元二次方程: (1)3x(x+2)=5(x+2); (2)2x2+7x+4=0; (3)16(3x-2)2=(x+5)2. 技法点拨 选择一元二次方程解法的技巧 1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法(或配方法). 2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法. 3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法. 4.若方程一次项系数是二次项系数的偶数倍,可用配方法. 5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法. 素养　思维提升　入境深探　 新知拓展 十字相乘法 　阅读材料:解方程x2+2x-35=0,我们可以按下面的方法解答: (1)分解因式x2+2x-35 ①竖分二次项与常数项:x2=x·x,-35=(-5)×(+7) ②交叉相乘,验中项: ③横向写出两因式:x2+2x-35=(x-5)(x+7) (2)根据乘法原理,若ab=0,则a=0或b=0,则方程x2+2x-35可以这样求解: 方程左边因式分解得(x-5)(x+7)=0, ∴x-5=0或x+7=0, ∴x1=5,x2=-7 试用上述十字相乘法解下列方程: (1)x2+5x+4=0;　(2)2x2+x-10=0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.3　因式分解法 【课时目标】 1.理解因式分解法解方程的依据.(抽象能力) 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(运算能力) 3.会根据方程的特点选择恰当的方法解一元二次方程.(抽象能力、创新意识) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.因式分解法 (1)定义:通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0. 　　　　　 等号右边必须为0 (2)依据:若a·b=0,则a=0或b=0. 1.(1)判断(对的画“√”,错的画“×”). ①由(2x-2)(3x-4)=0,可得:2x-2=0或3x-4=0.(√) ②由(x-2)(x-3)=2×3,可得:x-2=2或x-3=3.(×) (2)一元二次方程x2=2x的根是x1=0,x2=2. 2.一元二次方程各种解法的对比 基本思想都是降次转化 解法 特点 直接开平方法 直接利用平方根的意义 配方法 先配方,再降次 公式法 直接利用求根公式解方程 因式分解法 一边化为两个一次因式相乘,另一边为　0　,再分别使各一次因式等于0  2.(1)解方程(5-x)2=7(x-5),选择相对合适的方法是(D) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 (2)下列方法中,最适合用于解方程x2-x-3=0的是(B) A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法 重点　典例研析　启思凝智　 重点1　用因式分解法解一元二次方程(抽象能力、运算能力) 【典例1】用因式分解法解下列方程: (1)x+1=x(x+1); (2)(2x-1)2-x2=0. 【自主解答】(1)x+1=x(x+1), 方程变形为(x+1)(1-x)=0, ∴x+1=0或1-x=0,解得:x1=-1,x2=1. (2)(2x-1)2-x2=0, (2x-1+x)(2x-1-x)=0, ∴3x-1=0,x-1=0,解得:x1=,x2=1. 举一反三 　用因式分解法解下列方程: (1)x2-6x=0;　　(2)(x+1)2=(2x-1)2. 【解析】(1)因式分解,得x(x-6)=0, ∴x=0或x-6=0,解得:x1=0,x2=6; (2)(x+1)2-(2x-1)2=0, 因式分解,得(x+1+2x-1)(x+1-2x+1)=0, ∴3x=0或-x+2=0, 解得:x1=0,x2=2. 技法点拨 用因式分解法解一元二次方程的四步骤 重点2　一元二次方程解法的恰当选择(运算能力) 【典例2】用适当的方法解下列方程: (1)(6x-1)2=25;　 (2)x2-2x=2x-1; (3)x2-x=2;(4)x(x-7)=8(7-x). 【自主解答】(1)(6x-1)2=25, 6x-1=±5, 6x=1±5, x=,即x1=1,x2=-; (2)x2-2x=2x-1, x2-4x=-1, x2-4x+4=-1+4, (x-2)2=3, x-2=±, x=2±, 即x1=2+,x2=2-; (3)化为一般形式为x2-x-2=0, ∵a=1,b=-,c=-2, ∴Δ=b2-4ac=-4×1×(-2)=10>0, ∴x===, ∴x1=,x2=; (4)x(x-7)=8(7-x), x(x-7)-8(7-x)=0, (x+8)(x-7)=0, 即x-7=0或x+8=0,∴x1=7,x2=-8. 举一反三 1.解下列方程:①2x2-18=0;②2x2-12x-782=0;③3x2+10x+1=0;④2(5x-1)2=2(5x-1).用较简便的方法依次是(A) A.①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法 B.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法 C.①因式分解法,②公式法,③配方法,④因式分解法 D.①直接开平方法,②③公式法,④因式分解法 2.用适当的方法解下列一元二次方程: (1)3x(x+2)=5(x+2); (2)2x2+7x+4=0; (3)16(3x-2)2=(x+5)2. 【解析】(1)3x(x+2)=5(x+2), 3x(x+2)-5(x+2)=0, (3x-5)(x+2)=0, x+2=0或3x-5=0, ∴x1=-2,x2=; (2)2x2+7x+4=0,a=2,b=7,c=4, Δ=b2-4ac=72-4×2×4=17>0, ∴x==, ∴x1=,x2=; (3)16(3x-2)2=(x+5)2, 4(3x-2)=±(x+5), 4(3x-2)=x+5或4(3x-2)=-(x+5), ∴x1=,x2=. 技法点拨 选择一元二次方程解法的技巧 1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法(或配方法). 2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法. 3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法. 4.若方程一次项系数是二次项系数的偶数倍,可用配方法. 5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法. 素养　思维提升　入境深探　 新知拓展 十字相乘法 　阅读材料:解方程x2+2x-35=0,我们可以按下面的方法解答: (1)分解因式x2+2x-35 ①竖分二次项与常数项:x2=x·x,-35=(-5)×(+7) ②交叉相乘,验中项: ③横向写出两因式:x2+2x-35=(x-5)(x+7) (2)根据乘法原理,若ab=0,则a=0或b=0,则方程x2+2x-35可以这样求解: 方程左边因式分解得(x-5)(x+7)=0, ∴x-5=0或x+7=0, ∴x1=5,x2=-7 试用上述十字相乘法解下列方程: (1)x2+5x+4=0;　(2)2x2+x-10=0. 【解析】(1)x2+5x+4=0,(x+1)(x+4)=0, ∴x+1=0或x+4=0,∴x1=-1,x2=-4. (2)2x2+x-10=0,(2x+5)(x-2)=0, 2x+5=0或x-2=0,∴x1=-,x2=2. 学科网（北京）股份有限公司 $