精品解析：辽宁沈阳市第一二六中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题（10月）

八年级数学10月检测 （满分：120分，时长：100分钟） 一、选择题（共10题，各3分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 0.213 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0.213，中，无理数是； 故选A． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 1，2，3 C. 4，6，8 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，不符合题意； D.，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，运算正确，该选项符合题意； B、2与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，该选项不符合题意； C、，原运算错误，该选项不符合题意； D、，原运算错误，该选项不符合题意． 4. 如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作三个正方形，若其中两个正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出，，再由正方形的面积等于边长的平方，得，，可求出，即为正方形的面积． 【详解】如图， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是 B. 无限小数都是无理数 C. 带根号的数都是无理数 D. 有理数与数轴上的点一一对应 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根、无理数定义及实数与数轴的关系逐一判断选项正误． 【详解】解：A. ∵ ，∴ 4的平方根是，该选项正确； B. ∵ 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，∴ 无限小数不都是无理数，该选项错误； C. ∵ 带根号，但是有理数，∴ 带根号的数不都是无理数，该选项错误； D. ∵实数与数轴上的点一一对应，有理数与数轴上的点并非一一对应，该选项错误． 6. 如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与无理数，实数与数轴；先根据勾股定理求出三角形的斜边长，即可求出A点表示的数． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为和， 斜边长为：， 到的距离是，那么点所表示的数为：． 故选：A． 7. 若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（ ） A. 7 B. 49 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质与定义，熟练掌握平方根的性质与定义是解题的关键．利用正数的平方根互为相反数的性质，列出方程求解，再求平方根，最后得到这个正数。． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 化简得：， ∴， 则这个数的平方根为和， ∴这个正数为， 故选：D． 8. 2024年9月22日是第七届中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱形粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 即装饰带的长度最短为． 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，进而得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：由，得 ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 10. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ） A. 5尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】C 【解析】 【分析】此题是一道古代问题，属于对勾股定理的应用，找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．熟悉勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设水池的深度为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：，即：水池的深度为12尺． 故选：C． 二、填空题（共5小题，各3分） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 比较大小：______1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 利用夹逼法估算无理数的取值范围，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 即， 故答案为：． 13. 如果，，那么的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的性质．根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就移动一位，即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 14. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有________款扫地机可以购买． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴ ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款， 故答案为：3． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 【答案】或10． 【解析】 【分析】由矩形的性质得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根据已知条件得到AM=BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根据折叠的性质得到DC′=DC=5，C′E=CE，根据勾股定理得到C′M=，根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6， ∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2， ∴AM＝BN， ∵AM∥BN， ∴四边形ABNM的矩形， ∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5， ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E， ∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE， ∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， 如图1， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°， NE＝CN﹣CE＝4﹣CE， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（4﹣CE）2+22＝CE2， 解得：CE＝． 如图2， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°， NE＝CE﹣CN＝CE﹣4， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（CE﹣4）2+82＝CE2， 解答：CE＝10， 故答案为或10． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（共7题，16，17题10分，18题12分，19题8分，20题10分，21题12分，22题13分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 按要求解答下列各题： （1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． ①求a，b，c的值； ②求的平方根． （2）已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 【答案】（1）①，，； ②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据立方根、算术平方根的定义，无理数的估算方法作答即可； ②将a，b，c代入计算，再计算的平方根即可； （2）先根据无理数的估算方法求出m、n的值，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：①∵的立方根是3，， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4，， ∴， ∴， ∵c是的整数部分，即， ∴； ② ， ∴的平方根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴它的整数部分， ∵， ∴， ∴它的小数部分， ∴． 19. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于多少米? 【答案】卡车的外形高必须低于米 【解析】 【分析】由题意可得欲通过隧道，只要距隧道中线米处的高度大于车高，再由勾股定理计算得出米，求出的长，从而即可得出结果． 【详解】解：∵一辆装满货物，宽为2.4米的卡车， ∴欲通过隧道，只要距隧道中线米处的高度大于车高， 在中，由勾股定理可得（米）， ∴（米）， ∴卡车的外形高必须低于米． 20. 材料一：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 。 材料二：根式化简，例如： ； ； 材料三： 根据以上材料，请完成下列问题： （1）_______________（直接写结果）； （2）计算：； （3）计算： （4）计算： （直接写结果）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）用有理化因式直接写结果． （2）裂项相消求和． （3）仿照材料二裂项相消． （4）分母因式分解后裂项相消． 【小问1详解】 解：， ∴． 【小问2详解】 解：， ∴原式 ． 【小问3详解】 解：， ∴． ∴原式 ． 【小问4详解】 解：， ∴． 同理，其余各项裂项后中间全部相消， ∴原式． 【点睛】本题考查二次根式的运算与裂项相消：利用平方差构造有理化因式（材料一），分母因式分解后裂项（材料二、三）；裂项时每项拆成两项的差，首尾保留、中间相消，从而求出结论． 21. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例如：直角三角形中，，则所对的边. 可以解决下列问题 【问题引入】 （1）如图①，将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，若，求的长； 【衍生拓展】 （2）如图②，在中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，时，求的长； 【深入探究】 （3）如图③，在边长为6的等边三角形中，D是的中点，E是所在直线上一动点，连接，将线段绕点D按逆时针方向旋转得到线段，连接、，在点E运动的过程中，当点A、D、F在同一直线上时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知，，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于，证明垂直平分得，，然后利用勾股定理依次求出，即可； （3）连接并延长，在的延长线上取点，使得，连接，由旋转的性质可知，，，证明得，点在与夹角为的直线上运动．过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值．延长与的延长线交于点，当点、、在同一直线上时，点与点重合，可求，在中求出，，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：将绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，延长交于， 由旋转得，， 是等边三角形， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：在边长为6的等边三角形中，D是的中点， ，， 如图，连接并延长，在的延长线上取点，使得，连接， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中，， ， ， 则点在与夹角为的直线上运动， 过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值．延长与的延长线交于点， 当点、、在同一直线上时，点与点重合， ，， ， 在中，， ， ， ∴当点、、在同一直线上时，． 22. 我们新定义一种三角形：一条边平方与另一边的平方的2倍之和等于第三边平方的6倍的三角形叫做“126三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，和2，因为，所以这个三角形是“126三角形”． （1）若三边长分别是2，4和，则此三角形_______“126三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若是“126三角形”，则此三角形的三边长之比为_______（结果请用最简比表示并按从小到大排列）； （3）如图，中，，点D为的中点，，连接，若是“126三角形”，求的面积． 【答案】（1）是 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）直接根据定义判断即可； （2）设直角三角形直角边长为a、b且，斜边长为c，可知，分6种情况分别讨论即可； （3）设，则，已知，是“126三角形”，分6种情况分别列方程求解，结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：， 即此三角形是“126三角形”； 【小问2详解】 解：设直角三角形直角边长为a、b且，斜边长为c，可知， 若，代入得，化简得，不可能成立； 若，代入得，化简得，可知，与冲突，不可能成立； 若，显然左边小于，不可能成立； 若，代入得，化简得，此时，，即，，此三角形的三边长之比为； 若，代入得，化简得，可知，与冲突，不可能成立； 若，代入得，化简得，此时，，即，，此三角形的三边长之比为； 综上所述，此三角形的三边长之比为或； 【小问3详解】 解：设，则，已知，是“126三角形”， 若，则，解得：（负值舍去）， 此时， ∴， ∴； 若，则，解得：（负值舍去）， 此时， ∴， ∴； 若，同； 若，同； 若，则，解得：（负值舍去）， 此时，不成立； 若，同； 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学10月检测 （满分：120分，时长：100分钟） 一、选择题（共10题，各3分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 0.213 D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 1，2，3 C. 4，6，8 D. 6，8，10 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作三个正方形，若其中两个正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是 B. 无限小数都是无理数 C. 带根号的数都是无理数 D. 有理数与数轴上的点一一对应 6. 如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（ ） A. 7 B. 49 C. 3 D. 9 8. 2024年9月22日是第七届中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱形粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ） A. 5尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 二、填空题（共5小题，各3分） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 比较大小：______1（填“”“ ”或“”）． 13. 如果，，那么的值是__________． 14. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有________款扫地机可以购买． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 三、解答题（共7题，16，17题10分，18题12分，19题8分，20题10分，21题12分，22题13分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程： （1） （2） 18. 按要求解答下列各题： （1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． ①求a，b，c的值； ②求的平方根． （2）已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 19. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于多少米? 20. 材料一：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 。 材料二：根式化简，例如： ； ； 材料三： 根据以上材料，请完成下列问题： （1）_______________（直接写结果）； （2）计算：； （3）计算： （4）计算： （直接写结果）． 21. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例如：直角三角形中，，则所对的边. 可以解决下列问题 【问题引入】 （1）如图①，将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，若，求的长； 【衍生拓展】 （2）如图②，在中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，时，求的长； 【深入探究】 （3）如图③，在边长为6的等边三角形中，D是的中点，E是所在直线上一动点，连接，将线段绕点D按逆时针方向旋转得到线段，连接、，在点E运动的过程中，当点A、D、F在同一直线上时，直接写出线段的长． 22. 我们新定义一种三角形：一条边平方与另一边的平方的2倍之和等于第三边平方的6倍的三角形叫做“126三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，和2，因为，所以这个三角形是“126三角形”． （1）若三边长分别是2，4和，则此三角形_______“126三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若是“126三角形”，则此三角形的三边长之比为_______（结果请用最简比表示并按从小到大排列）； （3）如图，中，，点D为的中点，，连接，若是“126三角形”，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $