精品解析：辽宁沈阳市第七中学2026-2027学年八年级上学期 初学情调研 数学试题

2026—2027学年度上学期八年级学期初学情调研 数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 七中有主校区和南部校区，下列表达最准确的是（ ） A. 南部校区在主校区的南面 B. 南部校区距主校区 C. 南部校区在翠湖园小区东侧米 D. 南部校区在南塔街道办事处附近 4. 下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 以下条件中，不能形成直角三角形的是（　　）． A. ，， B. ，， C. D. ， 7. 用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： 根据表中的信息判断下列结论中，不正确的是（ ） A. 的平方根是 B. C. 的算术平方根比大 D. 只有个正整数满足 8. 如图，某款自动感应水龙头的水管竖直安装，端在洗手台台面上，点在上且到台面的距离为．出水口通过横管与水管相连，红外感应装置安装在上的点处，且点位于点与台面之间．已知，，则红外感应装置到洗手台台面的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 10. 如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则( ) A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 12. 比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 13. 若平面内有两点、，且，则的值为________． 14. 如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的长为__________． 15. 如图，点，，连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交轴于点．则点的坐标为________． 三．解答题（16题12分，17题6分，18，19，20，21各8分，22题12分，23题13分） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形都是正方形，阴影部分为长方形，已知正方形的面积分别为和． （1）正方形的边长为________，正方形的边长为________，正方形的边长为________， （2）求图中阴影部分的面积．（直接列式，结果化简保留根号） 18. 已知点，请分别根据下列条件，直接写出点的坐标： （1）点的纵坐标比横坐标大； （2）点在过点且与轴平行的直线上； （3）点到两坐标轴的距离相等； （4）点到轴的距离为． 19. 校园内要规划一块等腰三角形绿地，其中，底边．打算在边上的点处安装喷灌龙头，测得，． （1）求的长； （2）求中边上的高． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标：________； （2）的面积是________； （3）已知为轴上一点，若的面积为，则点的坐标是________； （4）已知为轴上一点，若，则点的坐标是________． 21. 【阅读材料】：和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 【探究方法】：若和为相邻的两个整数，其中，则有．证明如下： 根据题意得，移项得． 根据二次根式的性质________， 可以将等式两边同时平方，得．即________， 移项整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）在横线上填入适当的代数式． （2）若和为两个相邻整数，利用结论求的值． 【归纳总结】： 若，，且（、、为正整数），则 （3）若和为两个整数，且它们的差不超过，直接写出所有满足条件的的值． 22. 定义：如图，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【概念理解】 （1）如图，在中，，点是的中点，连接并延长到点使．求证：点是关于点的勾股点． 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，若，，如图，点在边上，连接，过作交延长线于，若为关于点的勾股点，当时，求的长． 23. 按要求完成以下问题 【方法感知】 （1）如图，在中，，，点在上，且于，于．设，，，则下列成立的等式为________． A． B． C． D． 【探寻规律】 平面直角坐标系中点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，． （2）如图，当时，的坐标为________；当时，的坐标为________；当时，的坐标为________． 【拓展能力】 （3）如图，过作轴的平行线，过作轴平行线，两直线交于点，点在直线下方时，点、、、为顶点的四边形面积是面积的倍，直接写出点的坐标． （4）在（3）条件下，当点在第一象限时，过作交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期八年级学期初学情调研 数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选项． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是分数，属于有理数，不符合题意； D、3.14159是有限小数，属于有理数，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，，，故不是勾股数； B、，，，故不是勾股数； C、，，，故不是勾股数； D、，，，故是勾股数． 3. 七中有主校区和南部校区，下列表达最准确的是（ ） A. 南部校区在主校区的南面 B. 南部校区距主校区 C. 南部校区在翠湖园小区东侧米 D. 南部校区在南塔街道办事处附近 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、只有方向，没有距离，不能精准定位； B、只有距离，没有方向，不知道在哪个方位； C、有参照物，有方向，也有距离，可以准确确定位置； D、“附近”是模糊描述，没有精确距离，无法准确定位． 4. 下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意； B、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意； C、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值唯一，符合题意； D、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意 ． 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，根据平方根、算术平方根和立方根的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】A．∵，∴在实数范围内无意义，故原计算错误． B．，故原计算错误； C．，故原计算错误； D．，故原计算正确． 故选：D． 6. 以下条件中，不能形成直角三角形的是（　　）． A. ，， B. ，， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、等腰三角形性质和勾股定理逆定理，逐个判断各选项能否判定为直角三角形即可． 【详解】选项A：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴不能构成直角三角形，符合题意； 选项B：∵，，， ∴，，， ∵， ， ∴能构成直角三角形，不符合题意； 选项C：∵，， ∴，得， ∴能构成直角三角形，不符合题意； 选项D：∵，， ∴， ∴， ∴能构成直角三角形，不符合题意． 7. 用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： 根据表中的信息判断下列结论中，不正确的是（ ） A. 的平方根是 B. C. 的算术平方根比大 D. 只有个正整数满足 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义以及平方根的定义，并结合表格数据分析即可得出结果． 【详解】解：由表格可得， 由平方根的定义可得的平方根是，故A选项正确，不符合题意； 由表格可得，则，故B选项正确，不符合题意； 由表格可得， ∵， ∴的算术平方根比小，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴可以取，，，，共个，故D选项正确，不符合题意． 8. 如图，某款自动感应水龙头的水管竖直安装，端在洗手台台面上，点在上且到台面的距离为．出水口通过横管与水管相连，红外感应装置安装在上的点处，且点位于点与台面之间．已知，，则红外感应装置到洗手台台面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外感应装置到洗手台台面的高度的长为． 9. 如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在上取一点，使得，连接，则，得到，因此，的最小值为的长．过点C作于点H，则当点与点H重合时，取得最小值，为的长．根据勾股定理求出，再利用的面积即可求解． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长． 过点C作于点H，则当点与点H重合时，取得最小值，为的长． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为． 10. 如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， ∵在中，，即， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，按照一次函数一般形式判定是解决问题的关键．依据一次函数的定义，按照形如的函数，逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是正比例函数，也是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④不是一次函数； 综上所述，是的一次函数的有①②， 故答案为：①②． 12. 比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较两个数的大小，通过平方比较无理数的大小，进而得到答案． 【详解】解：计算两个数的差得， ，且， ， 则，即， ． 13. 若平面内有两点、，且，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得或， 故的值为或． 14. 如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接．根据正方形的面积得出，，进而求得，证明，得出，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接． ∵，，， ， ，， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴， ． 15. 如图，点，，连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交轴于点．则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和角平分线的性质，由勾股定理即可求出的长度，再根据角平分线的画法得是的角平分线，由角平分线的性质得，从而得到的长度，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点，， ∴， 由作图过程可知是的平分线， 设点到的距离为，， ∴， ∴， 即， 解得， 则点 ． 三．解答题（16题12分，17题6分，18，19，20，21各8分，22题12分，23题13分） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先把各个二次根式化简成最简二次根式，按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序运算；遇到绝对值、零指数幂、立方根要单独化简处理． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 ． 17. 如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形都是正方形，阴影部分为长方形，已知正方形的面积分别为和． （1）正方形的边长为________，正方形的边长为________，正方形的边长为________， （2）求图中阴影部分的面积．（直接列式，结果化简保留根号） 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求出正方形的边长，再求出正方形的边长； 求出阴影部分长方形的两边长，利用长方形的面积计算公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长分别为和， ∴正方形的边长为； 【小问2详解】 解：图中阴影部分的面积为 ． 18. 已知点，请分别根据下列条件，直接写出点的坐标： （1）点的纵坐标比横坐标大； （2）点在过点且与轴平行的直线上； （3）点到两坐标轴的距离相等； （4）点到轴的距离为． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据点的纵坐标比横坐标大列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据与轴平行的直线上所有点的横坐标相等计算即可得出结果； （3）点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，由此计算即可得出结果； （4）点到轴的距离为纵坐标的绝对值，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵点的纵坐标比横坐标大， ∴， 解得， ∴，， ∴此时点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 当时，解得，此时，，即此时点的坐标为， 当时，解得，此时，，即此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； 【小问4详解】 解：∵点到轴的距离为， ∴， 当时，解得，此时，即此时点的坐标为， 当时，解得，此时，即此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 19. 校园内要规划一块等腰三角形绿地，其中，底边．打算在边上的点处安装喷灌龙头，测得，． （1）求的长； （2）求中边上的高． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理可得是直角三角形，，故有，设，则，最后通过勾股定理即可求解； 过作于点，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 过作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴中边上的高为． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标：________； （2）的面积是________； （3）已知为轴上一点，若的面积为，则点的坐标是________； （4）已知为轴上一点，若，则点的坐标是________． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可得，； （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（）根据轴对称的性质确定点关于轴的对称点，然后顺次连接即可完成作图，再根据图形写出点的坐标即可； （）利用割补法解答即可； （）设点的坐标为，则，根据面积得，解方程求出的值，即可确定点的坐标． （4）由M在x轴上设坐标为，根据，根据勾股定理表示出，，两边同时平方去掉根号，建立关于的一元一次方程，解方程求出，就能写出点M的坐标． 【小问1详解】 作图：略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设点的坐标为，则， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【小问4详解】 解：设， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ， 整理得， 解得， ∴． 21. 【阅读材料】：和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 【探究方法】：若和为相邻的两个整数，其中，则有．证明如下： 根据题意得，移项得． 根据二次根式的性质________， 可以将等式两边同时平方，得．即________， 移项整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）在横线上填入适当的代数式． （2）若和为两个相邻整数，利用结论求的值． 【归纳总结】： 若，，且（、、为正整数），则 （3）若和为两个整数，且它们的差不超过，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）； （2） （3）所有满足条件的的值为，， 【解析】 【分析】（1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出， 求出的值即可； （3）设，，且（、、为正整数），得到，根据为整数，为正整数，逐个代入求解可得满足条件的的值． 【小问1详解】 解：根据题意得，移项得． 根据二次根式的性质， 可以将等式两边同时平方，得．即， 移项整理得． 【小问2详解】 解：∵和为两个相邻整数， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设，，且（、、为正整数）， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴令，得，不是整数，故舍去； 令，得，是整数，符合题意，则， 令，得，不是整数，故舍去； 令，得，是整数，符合题意，则， 令，得，不是整数，故舍去； 令，得，是整数，符合题意，则， ∴所有满足条件的的值为，，． 22. 定义：如图，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【概念理解】 （1）如图，在中，，点是的中点，连接并延长到点使．求证：点是关于点的勾股点． 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，若，，如图，点在边上，连接，过作交延长线于，若为关于点的勾股点，当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得， ∴， ∴， ∴点是关于点的勾股点． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，得到，勾股定理得到，证明，得到，进而得到，即可得证； （2）延长至点，交于点，使，证明，进而得到，得到，再证明，得到，再证明，得到，设，利用勾股定理列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长至点，交于点，使， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为关于点的勾股点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴. 23. 按要求完成以下问题 【方法感知】 （1）如图，在中，，，点在上，且于，于．设，，，则下列成立的等式为________． A． B． C． D． 【探寻规律】 平面直角坐标系中点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，． （2）如图，当时，的坐标为________；当时，的坐标为________；当时，的坐标为________． 【拓展能力】 （3）如图，过作轴的平行线，过作轴平行线，两直线交于点，点在直线下方时，点、、、为顶点的四边形面积是面积的倍，直接写出点的坐标． （4）在（3）条件下，当点在第一象限时，过作交于点，求的长． 【答案】（1）C （2）；； （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，勾股定理得到； （2）构造一线三垂直全等三角形，求出点坐标即可； （3）分2种情况，根据点、、、为顶点的四边形面积是面积的倍，列出方程进行求解即可； （4）易得垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵于，于， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，则， 如图，作轴，轴，则，， ∵等腰直角三角形，， ∴， 同（1）法可得， ∴， ∴； 当时，则， 如图，作轴，轴，则， 同法可得， ∴， ∴； 当时，同法，可得； 【小问3详解】 解：当点在第一象限时，设直线交轴于点，直线交轴于点， 则点在第二象限， ∵， ∴， 同法可得， ∴， ∴，， ∵点、、、为顶点的四边形面积是面积的倍， ∴， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴； 当点在第四象限时，如图， 同法可得，， ∴； 综上：或； 【小问4详解】 解：由（3）可知，当点在第一象限时，， ∴，， ∵等腰直角三角形， ∴， ∵过作交于点， ∴垂直平分， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $