精品解析：江苏省扬州市广陵区扬州中学教育集团树人学校2026-2027学年高二上学期10月学情调研数学试题

树人学校2026一2027学年度第一学期学情调研 高二数学 2026.10 （满分：150分时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 的虚部为（ ） A. －5 B. －1 C. i D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】，所以虚部为1. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线化为斜截式：， 即斜率，设倾斜角为，则，又，故 3. 已知圆，则该圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 4. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 6. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 7. 已知点P在直线上,,则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点做关于直线的对称点,求出点坐标,则直线是线段的垂直平分线,则,的值即为所求. 【详解】解:由题知,过点做关于直线的对称点, 取直线上一点,连接, 连接交于点,连接,如图所示: 则有,解得,即, 因为关于直线对称, 所以直线是线段的垂直平分线, 所以,则, 当且仅当点运动到处时, 所以. 故选:D. 8. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立两直线方程求出点 的坐标，再利用点到直线的距离公式表示距离，转化为关于参数 的函数最值问题. 【详解】由 得 ，代入 ，得 . 所以 ，. 点 到直线 的距离为 . 又 ，当且仅当 时等号成立. 因此 . 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.错选不得分，部分选对得部分分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. ，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，，故C正确； 因为， 所以，故D正确. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【详解】直线在y轴上的截距是，故A正确； 直线，即经过第一、二、三象限，故B错误； 若过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为， 若不过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为，故C错误； 过点，且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 11. 已知直线，圆C：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆C恒相交 B. 当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 C. 若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则 D. 若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先得到直线过定点，结合点在圆C内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于B，当时，直线l被圆C截得的弦长最短，再求直线方程即可；对于C，由直线与圆的位置关系，可得圆心C到l的距离为1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离为，然后求直线方程即可；对于D，由题可知，再由的面积为即可求解． 【详解】圆C：，圆心，半径， 直线， 令， 所以直线l过定点，又点在圆C内部， 所以直线l与圆C恒相交，故A正确； 当时，直线l被圆C截得的弦长最短，又直线的斜率为， 故直线的斜率为1，所以直线的方程为，故B正确； 因为圆C的半径为，所以当且仅当圆心C到l的距离为1时， 圆C上恰有三个点到直线l的距离为， 此时直线l的斜率为0或不存在，所以或，故C错误； 设圆心C到l的距离为d，则，且， 又的面积为， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点A(1，－2)、B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是__________ 【答案】3 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求得A、B中点G的坐标，再由AB的垂直平分线经过G构造关于m的方程即可求得 【详解】由题意知A、B中点 又因为线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0 所以有， 解得 故答案为3 13. 若复数满足，且在复平面内对应的点在直线上，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据得到复数在复平面上的轨迹方程，通过与直线联立，即可求解得到复数的值. 【详解】由题意，设，则由可知， 满足方程. 联立可得，消去可得，解得或. 当时，. 当时，. 14. 已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线，得到，进而得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接，则， 又因为，所以，即， 即，即，因式分解得， 解得，即点横坐标的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为实数，求的值； （2）若z为纯虚数，求的值； （3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数表示实数列出方程求解即得； （2）根据复数表示纯虚数列出不等式组求解即得； （3）根据复数的几何意义列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 由z为实数，可得，解得或； 【小问2详解】 由z为纯虚数，可得，解得； 【小问3详解】 因复数z在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为. 16. 已知直线l的方程为 ． （1）若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； （2）若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； （3）已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 【答案】（1） （2）或. （3）2或 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直求得，进而将方程化为截距式； （2）根据方程求截距，结合题意运算求解即可； （3）根据点到直线的距离相等求直线方程，进而对比求解即可. 【小问1详解】 若直线l： 与直线m：垂直， 则，解得， 此时直线l：，即 . 【小问2详解】 因为直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍， 若，则直线l：与x轴无交点，不合题意； 若，则直线l： 在x轴、y轴上截距分别为、， 则，整理可得，解得或， 所以直线l的一般式方程为或. 【小问3详解】 设到直线：，：的距离相等， 则，整理可得或， 可知直线l的方程为或， 若直线l的方程为，则，解得； 若直线l的方程为，则 ，解得； 综上所述：a的值为2或. 17. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】（1），圆的方程为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【小问1详解】 将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 【小问3详解】 当切线斜率不存在时，直线方程为， 与圆，圆心到直线的距离为，显然相切， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ， 即，由圆心到切线距离等于半径得， 整理得 ，解得 代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 18. 如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. （1）若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； （2）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （3）在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【答案】（1）； （2）快艇有触礁的危险 （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立平面直角坐标系，由已知条件求出点坐标，用表示出，在中，由余弦定理建立等量关系即可求出，进而求出的长； （2）先求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，判断与半径的大小即可判断快艇是否有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，由相切建立，即可求出直线的方程，再求出方程，联立方程组即可求出点坐标，最后计算两船的时间差即可求出的最小值. 【小问1详解】 以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，又，，所以点为， 又快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，则， 在中，由余弦定理可得， 则，化简整理得， 又，所以，因此； 【小问2详解】 由，则，又， 则，， 所以点为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，因此快艇有触礁的危险； 【小问3详解】 设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得或， 又当时，对应交点在下方，不合题意，所以，因此直线的方程为， 由（2）知，，则，即，所以直线的方程为， 联立，的方程得，解得，则点为， 所以， 则科考船走直线用时为小时，快艇走直线用时为小时， 又科考船提前2小时出发，所以快艇等待时间的最小值为小时，即. 19. 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）使用两点间的斜率公式求解； （2）设直线的方程，与圆的方程联立，消元，使用韦达定理求解； （3）直线与圆相交几何法计算弦长，使用四边形的面积公式或三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即； 【小问2详解】 根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得 ， 直线恒过轴上定点； 【小问3详解】 设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，， 又，， 四边形的面积，又，令 因为在上是增函数，，，所以， 即， 四边形的面积的取值范围为． （3）法2： 当直线斜率不存在时，，，． 当直线斜率存在时，可设直线的方程为， 所以，圆心到直线的距离为， 所以，． 直线的方程可设为整理得， 圆心到直线的距离为，所以， ． 所以，， 令，所以，上式可化为：，， 所以，．综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树人学校2026一2027学年度第一学期学情调研 高二数学 2026.10 （满分：150分时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 的虚部为（ ） A. －5 B. －1 C. i D. 1 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，则该圆的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知点P在直线上,,则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.错选不得分，部分选对得部分分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. ，则 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 11. 已知直线，圆C：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆C恒相交 B. 当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 C. 若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则 D. 若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点A(1，－2)、B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是__________ 13. 若复数满足，且在复平面内对应的点在直线上，则__________． 14. 已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为实数，求的值； （2）若z为纯虚数，求的值； （3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16. 已知直线l的方程为 ． （1）若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； （2）若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； （3）已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 17. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 18. 如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. （1）若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； （2）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （3）在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 19. 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $