精品解析：江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级阶段检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 3. 在圆内，过点最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若曲线表示椭圆，则且不等于0 B. 若曲线表示双曲线，则焦距定值 C. 若，则短轴长为2 D. 若，则渐近线为 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 的“欧拉线”方程为 B. 圆上点到直线的最大距离为 C. 若点在圆上，则最小值是 D. 若点在圆上，则最大值是 11. 设椭圆的右焦点为，点为左顶点，点为上顶点，直线过原点且与椭圆交于，两点（在第一象限），则以下命题正确的有（ ） A. B. 时，三角形面积为 C. 直线与直线的斜率之积是定值 D. 当与平行时，四边形的面积最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆的方程为___． 13. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为______（用，，R表示）． 14. 已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 16. 已知圆. （1）证明：圆过定点. （2）当时，求直线被圆截得的弦长. （3）当时，若直线与圆交于两点，且，其中为坐标原点，求的取值范围. 17. 已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 18. 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 19. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程. （2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级阶段检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符. 所以，即是的充要条件. 故选：C 2. 直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果. 【详解】若直线斜率不存在，即不经过第二象限， 若直线斜率存在，即，所以， 综上实数的取值范围为，选C. 【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题． 3. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化圆的方程为标准方差，求出圆心M的坐标与半径，最长的弦即为圆的直径，最短的弦和垂直，且经过点O，由垂径定理求得，从而可求四边形的面积. 【详解】化圆为， 可得圆心坐标为,半径为3. 由圆的性质可得，最长的弦即圆的直径，故. 因为，所以. 弦最短时，弦与垂直，且经过点O,此时. 故四边形的面积为. 故选:B. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为， 所以，，则，所以， 所以的周长为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5. 若圆上总存在两个点到点距离为2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数的取值范围． 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故选：A． 6. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，进而得到，求出渐近线方程. 【详解】由题意得，，解得，， 故， 故双曲线渐近线方程为. 故选：C 7. 焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆方程为，且，及交点，将两点代入椭圆方程可得，根据弦中点坐标关系可得，结合直线方程得，再由椭圆的焦距求得的值，即可得椭圆标准方程. 【详解】解：设椭圆方程为，且 设直线与椭圆相交的两点坐标为，由题意可知，即， 所以， 又在椭圆上，可得：，两式相减得， 整理得：，则，所以， 又直线的斜率为，所以，即，所以 椭圆的焦距为，所以，则， 故可得：解得，故椭圆的标准方程为：. 故选：A. 8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长 ，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可. 【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点． 则，， 解得，， 如图： 在中,根据余弦定理可得： ， 整理得，即， 设 则有，， 所以，即有，所以， 所以===， 设, 则, 令，得， 所以在上恒成立, 所以在上单调递减， 当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2， 所以， 即：. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若曲线表示椭圆，则且不等于0 B. 若曲线表示双曲线，则焦距是定值 C. 若，则短轴长为2 D. 若，则渐近线为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆双曲线简单几何性质逐项判断即可. 【详解】对于:表示椭圆,则,即,故正确; 对于:表示双曲线,则,即, 当时,,焦距不是定值, 故错误; 对于:时,为椭圆,短轴长,故正确; 对于:时, 为双曲线,渐近线方程为,故错误; 故选: . 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 的“欧拉线”方程为 B. 圆上点到直线的最大距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若点在圆上，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及题意可得三角形的欧拉线为线段的中垂线，求出的中垂线方程判断A；由欧拉线与圆相切可得，圆心到欧拉线的距离等于半径可得的值，由圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径判断B；令，得，代入圆的方程，由方程有根求出的范围判断C；表示圆上的点与连线的斜率，设，利用点到直线的距离公式得到不等式，即可求出的取值范围，从而判断D． 【详解】解：，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即，故A正确； 的“欧拉线”与圆相切， 圆心到直线距离， 圆的方程为， 圆心到直线的距离， 圆上点到直线的距离的最大值为，故B错误； 令，，代入圆的方程， 可得，由于在圆上，有根， 则，整理得， 解得， 的最小值为，即的最小值为，故C正确； 因为表示圆上的点与连线的斜率，设，则，即， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D正确； 故选：ACD． 11. 设椭圆的右焦点为，点为左顶点，点为上顶点，直线过原点且与椭圆交于，两点（在第一象限），则以下命题正确的有（ ） A. B. 时，三角形面积为 C. 直线与直线的斜率之积是定值 D. 当与平行时，四边形的面积最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意和椭圆的性质，结合直线的特点，可较易判断A选项；对于B选项我们可以巧妙利用椭圆的对称性，将所求三角形转化为面积相同且较易求面积的三角形，利用三角形相关的性质，即可判断；对于C选项，按照选项内容建立起直线和直线的斜率的积的关系式，通过对式子的变形整理，看式子中是否含有变量，如果有变量，则不是定值，如果没有变量，则是定值；对于D选项，我们可以将四边形的面积分解为几个易于计算的小三角形的面积，这样有利于我们更好的建立四边形面积的表达式，从而根据表达式得出面积最大时，和的位置关系. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，焦距为， 则由题意可知，，，，， ∴，，，直线过原点，且在第一象限， ∴设直线的方程为：，， ∵经过原点，∴，即：， ∴，即：，故A正确； 如图所示： 设椭圆的左焦点为，连接，，，，由对称性可知：四边形是平行四边形， 又：，， 设，，， 由余弦定理可知：， 即：， 即：，解得：，∴， 又：，∴，， ∴ ， ∴，故B正确； 设：，点在第一象限，∴，由对称性知：， ∴，， ∴， 又：在椭圆上，∴，∴， 即有：， 直线与直线的斜率之积与直线的斜率有关，不是定值，故C错误； 如图所示： ， 当且仅当：，即：，，时等号成立， 而，此时， ∴当与平行时，四边形面积最大，最大面积为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 关于这类以椭圆为基础的综合性问题，要注意以下几个点： （1）根据题意和题设条件得到较为标准的草图，这可以帮助我们更好的发现一些细节； （2）辨析椭圆中包含的原点弦，焦点弦，过焦点三角形，过顶点三角形，线段的垂直、平行，特殊角，特别注意三角相关知识点的应用； （3）利用椭圆的性质，特别是椭圆的对称性，可以引出点的对称，直线的对称，一些几何图形的对称； （4）椭圆中解题的关键是建立正确的关系.这个关系有联立方程组得到或的二次式，进而得到根与系数的关系，也有几何关系、不等关系、甚至运动关系，数形结合、转化是主要思维方法； （5）解析几何对计算要求较高，应特别注意多项运算，负号运算. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆的方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设圆心为，可得圆的半径为，再由直线与圆相切列方程可求出的值，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意设圆心为， 因为圆过点，所以圆的半径为， 因为直线与圆相切， 所以， 化简得，得， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为， 故答案为： 13. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为______（用，，R表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的性质分析运算. 【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c， 由题意可知，， 所以． 所以，所以． 故答案为：. 【点睛】本题所求的是椭圆的短轴长，因此求出b的表达式后注意乘2，不要直接填b的表达式． 14. 已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由切线性质结合双曲线定义可得两内切圆都与轴相切于，后设直线倾斜角为，由几何知识可得，后由两圆外切相关条件可得答案. 【详解】设 的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为， 记边上的切点分别为， 由切线的性质可得： . 由双曲线定义可得：，即， 则，又. 则，又，则，即. 同理可得，的内切圆也与轴相切于点. 连接，则与x轴垂直，设与l相切于点N，连接， 过点作，记垂足为R，则. 设直线倾斜角为，则. 在四边形中，注意到，又四边形内角和为， 则，在中，， . 则. 则直线斜率，即. 故答案：. 【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点形成的三角形的内切圆与x轴相切于双曲线顶点处. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 16. 已知圆. （1）证明：圆过定点. （2）当时，求直线被圆截得的弦长. （3）当时，若直线与圆交于两点，且，其中为坐标原点，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对式子变形为，由于与无关，列方程求解即可得定点； （2）求出圆心到直线距离，再结合垂径定理求解弦长即可； （3）联立直线与圆的方程，韦达定理，利用数量积的坐标运算列不等式，求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 令，得，解得， 所以圆过定点，且定点的坐标为. 【小问2详解】 当时，圆的标准方程为， 则圆的圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 【小问3详解】 将代入，得. 则恒成立， 设，则， 所以 ，整理得，则， 所以的取值范围是. 17. 已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 18. 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【小问1详解】 依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 19. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程. （2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，使得以线段为直径的圆恒过点 【解析】 【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程； （2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值. 【小问1详解】 两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或； 当时，由得：，，双曲线的方程为：； 当时，方程无解； 综上所述：双曲线的方程为：. 【小问2详解】 由题意得：， 假设存在定点满足题意，则恒成立； 方法一：①当直线斜率存在时，设，，， 由得：，， ，， ， ， 整理可得：， 由得：； 当时，恒成立； ②当直线斜率不存在时，，则，， 当时，，，成立； 综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点. 方法二：①当直线斜率为时，，则，， ，，， ，解得：； ②当直线斜率不为时，设，，， 由得：，， ，， ； 当，即时，成立； 综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理； ④由所得等式恒成立可整理得到定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$