云南昭通市第一中学2027届高三上学期8月检测数学试卷

数学双向细目表 题号 题型 知识点 分值 难易程度 1 单选题 复数 5 易 2 单选题 集合 5 易 3 单选题 平面向量数量积 5 易 4 单选题 双曲线离心率 5 易 5 单选题 圆台表面积 5 易 6 单选题 三角函数计算 5 中 7 单选题 排列组合 5 中 8 单选题 抽象函数性质 5 难 9 多选题 圆 6 易 10 多选题 数列 6 中 11 多选题 抛物线 6 难 12 填空题 二项式定理 5 易 13 填空题 函数零点 5 中 14 填空题 新定义与直线方程 5 难 15 解答题 解三角形 13 易 16 解答题 概率统计 15 易 17 解答题 立体几何证明与计算 15 中 18 解答题 椭圆中直线斜率与三角形面积最值 17 中 19 解答题 导数与数列综合 17 难 命题思想 达成目标 优秀率 及格率 平均分 10% 60% 1005分左右 本次考试题目比较综合，着重考查学生数学核心素养；尽量覆盖高考核心考点 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，则 A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，则 A． B． C． D． 4．已知双曲线的渐近线与圆相切，则的离心率为 A． B． C． D． 5．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为 A． B． C． D． 6．已知，则 A． B． C． D． 7．某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有 A．36种 B．72种 C．24种 D．240种 8．已知定义在上的函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知圆，则下列说法正确的有 A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 10．已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有 A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 11．已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则 A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中的系数为_________． 13．已知函数有零点，则的取值范围是_________． 14．在平面直角坐标系中，若，，则称“”为，两点的“曼哈顿距离”，若动点到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值6，则称点的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点为该“曼哈顿椭圆”上一点，则该“曼哈顿椭圆”的面积为_________． 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的周长为12，求的面积． 16．（本小题满分15分） 2026年，软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式”向“决策式”的全面跨越．行业焦点已从“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图1所示的频率分布直方图． （1）求的值以及第80百分位数； （2）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列、期望及方差． 17．（本小题满分15分） 如图2，四棱锥的底面为矩形，平面，点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）当且时，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中，分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）．已知椭圆的面积为，左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，且点到点，的距离之和为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值． 19．（本小题满分17分） 已知函数，，． （1）若时，求在处的切线方程； （2）若时，证明：当时，； （3）已知数列满足，其前项和为，证明：对任意正整数，都有． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $数学答题卡 班级 姓 名 考场号 座位号 注意事项 填 正确填涂 准考证号 L答题前，考生先将自己的姓名、准考证 号、考场号、座位号填写清楚。 2选择题使用团铅笔填涂，非选择恶使用 错误填涂 黑色碳素笔书写，超出答题区域无效。 000100m 000]00 3保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 母中 工卫工卫工 2 2四20 222222 2 3 331 333333 3 0④0④4I④④I ④ 55]515515]575]5]51 贴条形码区 66]6]6]6]6]6]6] 6 (正面朝上，请贴在虚线框内) 88 8888888 8 999999999 缺考 标记 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B]C][D] 5AIB©D 2 [A][B]C][D 6 [A][B]C]D 3 [A][B C][D] 7 [A][B]C][D] 4四B可 8 A BC]D 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A][B]C [D] 10 A [BC网D 11 [A][B C [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（共77分） 15.（本小题满分13分) 解：（1) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) ↑频率 解：(1) 组距 2a 0.030 0.005 0V3060708090100分数 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■■口■■口■■■口■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 解：(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.（本小题满分17分) 解：(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■■口■■口■■■口■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 数学评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B D A C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 3 16 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由题意得， 由正弦定理得， （2分） 由两角和的正弦公式得， 可得，即， （4分） 在中，可得，得到， 又因为，所以． （6分） （2）由的周长为，可得． （7分） 由余弦定理得，则， （9分） 即，所以，即， （11分） 故． （13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）由频率分布直方图得， 解得． （3分） 又，故第80百分位数在，则， 所以第80百分位数为82.5． （6分） （2）成绩在的频率为， 用频率估计概率，则从全公司中随机抽取1人，成绩在的概率为0.25． 随机抽取3人，成绩在范围的人数服从二项分布， （8分） 则，，，，， 0 1 2 3 （11分） ， （13分） ． （15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：如图2，取的中点为，连接，． （2分） 因为四边形是矩形，且点为的中点，所以， 且， 又因为，分别为，的中点，所以， 且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， （4分） 所以，且平面，平面， 所以平面． （7分） （2）解：因为平面，四边形为矩形， 所以分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图3所示． （8分） 因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即． 又因为四边形是矩形，所以，所以，即．又， ，，，，， 则，，，， （10分） 设平面的法向量为， 则，即， 则，令，则，所以； （12分） 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以． （14分） 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． （15分） 18．（本小题满分17分） （1）解：由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （3分） （2）（i）证明：由（1）可知，所以，所以右焦点为， 当直线斜率为0时，，所以； （5分） 当直线斜率不为0时，设过点的直线方程为， 将直线代入椭圆方程得， 整理得， 设，， 由韦达定理得，， 因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得， （7分） ． （9分） 综上，为定值． （10分） （ii）解：． （12分） 又 ． （14分） 令，所以， 所以， 当且仅当，即（此时）取等号， （16分） 所以面积的最大值为． （17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：当时，，则， 又，因此在处的切线斜率为， 所以切线方程为：． （3分） （2）证明：方法一：因为， 当且时，， 设，则， （5分） 易知在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即，所以原不等式成立． （9分） 方法二：因为，当且时， ． （5分） 令，现证明即可． 因为，设， 则，即在上单调递增，因此， 所以在上单调递增，因此，所以原不等式成立． （9分） （3）证明：方法一：由题，其前项和为，即， 因为， 因此要证， 只需证， （12分） 即需证每个都有． 令，则需证明， 即证明， （14分） 令， 则，因此在上递增， 所以，所以原不等式成立． （17分） 方法二：由（2）知，当时，对任意，恒成立，则． 令，得．两边取对数，得． 因为，所以． （12分） 对于，，，…，，求和得 ． 下面证明当时，有，设， 则，且， 所以在上恒成立， 所以． （14分） 又，且， 所以， 因为， 所以． 所以． 所以对任意正整数，都有． （17分） 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $