精品解析：云南民族大学附属高级中学2026-2027学年高三上学期10月检测数学试卷

云南民族大学附属高级中学2027届高三检测卷（一） 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，．若，则实数x的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 3. 某数学兴趣小组设计了一种生成器，输入一个正整数n，生成器输出展开式的全部二项式系数．现输入，将输出的这组数按从大到小重新排列得到一个新数列，则该新数列的前三项之和为（ ） A. 41 B. 46 C. 50 D. 56 4. 设事件A，B相互独立，满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知各项均为正数的等比数列满足，．记数列的前n项和为，则使得成立的最小正整数n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知定义在上的可导函数满足．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，．则函数的所有零点之和为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若集合，则（ ） A. B. 或 C. 集合中的最大元素为5 D. 集合中的元素个数为6 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D. 的图象关于点对称 11. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上异于顶点的任意一点，则称为的“焦比”．已知点，为双曲线右支上相异两点，满足，且直线经过右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于轴对称 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 存在点使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围是________． 13. 某实验室研究反应温度（单位：）与产物产率（单位：%）的关系，进行了5次实验，数据如下： 温度x 产率y 已知关于的经验回归方程为，则表中缺失的数据______． 14. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折起，使得上、下两半平面所成二面角为．若折叠后直线与x轴所成角的余弦值为，记点A的横坐标为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某科技公司开发了一款AI问答系统．为评估其回答质量，随机抽取了200个用户提问进行测试．将提问按难度分为“简单”和“复杂”两类，将AI的回答质量分为“满意”和“不满意”两档，得到如下列联表． 问题难度 满意 不满意 合计 简单 80 20 100 复杂 65 35 100 合计 145 55 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断AI回答质量与问题难度是否有关； （2）从回答“不满意”的提问中，按问题难度采用分层随机抽样抽取11个提问进行复核，再从这11个提问中随机抽取2个进行用户回访，求抽到的2个提问中至少有1个是复杂问题的概率．附，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，内角的对边分别为，已知，，且． （1）求的大小； （2）若为边上一点，且，求的长． 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围． 18. 如图，在三棱台中，上、下底面分别是边长为2，4的正三角形，侧棱底面，且，点是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，满足二面角的余弦值为，求的长度． 19. 已知抛物线，其焦点为，准线为．点是上异于顶点的一动点，过点作的切线，与准线交于点．记，称为点P处的焦切准角．当点的横坐标为1时，点在轴上，且此时焦切准角为． （1）求的方程； （2）设点的横坐标为． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）若，求面积的最小值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南民族大学附属高级中学2027届高三检测卷（一） 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，．若，则实数x的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由，，得， 因为，所以，解得． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据共轭复数的定义计算，进而得出结果. 【详解】设，原方程化为， 即．故解得， 故． 3. 某数学兴趣小组设计了一种生成器，输入一个正整数n，生成器输出展开式的全部二项式系数．现输入，将输出的这组数按从大到小重新排列得到一个新数列，则该新数列的前三项之和为（ ） A. 41 B. 46 C. 50 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】当时，二项展开式的系数为：，，，，， ，． 按从大到小排列为20，15，15，6，6，1，1，则前三项之和为． 4. 设事件A，B相互独立，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式计算即可. 【详解】，因为事件，相互独立， 所以，则， 即，解得． 5. 已知各项均为正数的等比数列满足，．记数列的前n项和为，则使得成立的最小正整数n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】设公比为，由题意得， 两式相除得，故，代入求得，所以． 令得，即， 因为，，所以，得．故选C． 6. 已知定义在上的可导函数满足．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，求导得，因此在上单调递增． 又，可得． 将移项变形为，即． 又在上单调递增，由得，所以原不等式的解集为． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据内心性质可得，利用椭圆的定义可得，再根据三角形面积及余弦定理得，进而求得，即可求解离心率． 【详解】因为 ，所以． 设，，焦距．的周长为． 由椭圆的定义可知，代入得，所以． 三角形面积，所以． 在中，由余弦定理得，即． 又．代入得． 整理得，即． 由代入得．联立解得．故离心率． 8. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，．则函数的所有零点之和为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据是奇函数及求出对称轴及周期，作出和的图象，根据对称性可以得出的零点之和. 【详解】在中用替换得， 则关于直线对称， 又由是奇函数得， 所以， 所以是周期为4的周期函数． 由，， 得，所以曲线和都关于直线对称． 当时，，且，， 所以时，，于是．又，且， 如图可知的图象与轴有4个公共点，且其中2个公共点与另外2个公共点均关于直线对称，所以的所有零点之和为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若集合，则（ ） A. B. 或 C. 集合中的最大元素为5 D. 集合中的元素个数为6 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，令，解得，得到，故A正确； 对于B，令，解得，得到， 可得，故B错误； 对于C，由题意得，得到, 而， 可得，集合中的最大元素是，故C正确； 对于D，由已知得，得到集合中的元素个数为6，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，则的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后得到，不是奇函数，故C错误； 对于D，由，则的图象关于点对称，故D正确． 11. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上异于顶点的任意一点，则称为的“焦比”．已知点，为双曲线右支上相异两点，满足，且直线经过右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于轴对称 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 存在点使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用双曲线的定义化简“焦比”，得到，对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以，同理，因为均在右支上，且到右焦点的距离相等，所以，关于轴对称，故A正确； 对于B，设，则．由得，则，即．又，代入得．因为，所以，即，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，在中，，所以，同理，因为，所以，即，又，故，即，所以. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，将代入并整理得，所以，．由直线与的右支有两个交点，可得，则，， 的面积．令，则，因为，．当直线的斜率不存在时，由题意得此时，则的面积，此时取得最小值，故C错误； 对于D，令，得，同理得， 若双曲线上存在点到右焦点的距离为，则，即，同理可得， 由C知，所以存在点使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数开口向上，对全体实数恒大于0，等价于判别式. 【详解】命题，为真命题， 因为，二次项系数，所以二次函数开口向上， 要使得对全体实数恒成立，则，即， 解得，即实数的取值范围是. 13. 某实验室研究反应温度（单位：）与产物产率（单位：%）的关系，进行了5次实验，数据如下： 温度x 产率y 已知关于的经验回归方程为，则表中缺失的数据______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，，代入回归方程得， 所以，解得． 14. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折起，使得上、下两半平面所成二面角为．若折叠后直线与x轴所成角的余弦值为，记点A的横坐标为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据对称性写出坐标，折叠后利用直二面角的垂直关系计算的模长，结合直线与轴夹角的余弦公式列方程，求解得到的值． 【详解】因为，关于坐标原点对称，且的横坐标为， 所以，． 分别过，作轴的垂线，垂足为，， 则，，． 由，得： ． 设直线与轴所成角为，因为， 所以，所以． 将代入得，整理得， 即，解得． 又，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某科技公司开发了一款AI问答系统．为评估其回答质量，随机抽取了200个用户提问进行测试．将提问按难度分为“简单”和“复杂”两类，将AI的回答质量分为“满意”和“不满意”两档，得到如下列联表． 问题难度 满意 不满意 合计 简单 80 20 100 复杂 65 35 100 合计 145 55 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断AI回答质量与问题难度是否有关； （2）从回答“不满意”的提问中，按问题难度采用分层随机抽样抽取11个提问进行复核，再从这11个提问中随机抽取2个进行用户回访，求抽到的2个提问中至少有1个是复杂问题的概率．附，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关． （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的思想计算值，并判断即可； （2）先求得简单问题应抽4个，复杂问题应抽7个，再结合对立事件的概率公式，古典概型概率公式求解即可, 【小问1详解】 解：零假设：AI回答质量与问题难度无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，认为零假设不成立，即AI回答质量与问题难度有关，该推断犯错误的概率不超过0.05． 【小问2详解】 解：由题意，简单问题应抽个，复杂问题应抽个， 设事件为“抽到的2个提问中至少1个是复杂问题”， 其对立事件为“抽到的2个全是简单问题”． 所以． 16. 在中，内角的对边分别为，已知，，且． （1）求的大小； （2）若为边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理化简边角关系后可得，再由余弦定理可求的大小； （2）根据（1）中的结果结合解直角三角形可求的长. 【小问1详解】 在中由余弦定理得， 故即， 由得，即． 则， 因为，所以． 【小问2详解】 由及，得， 因为，所以， 在中，，由， 故． 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）由得到，整理得到，构造函数，则，求，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到的最大值，从而得到实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，，求导得， 当时，，． 所以切点为，切线斜率为0． 因此切线方程为． 【小问2详解】 由题意，对任意，都有，即， 因为，两边同除以，整理得，所以， 设，题意等价于， 求导得， 令，得，所以在区间上单调递增， 令，得，所以在区间上单调递减． 因此在处取得最大值， 所以，实数的取值范围为． 18. 如图，在三棱台中，上、下底面分别是边长为2，4的正三角形，侧棱底面，且，点是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，满足二面角的余弦值为，求的长度． 【答案】（1）因为为正三角形，为的中点，所以． 又底面，底面，故． 因为，且平面，所以平面． 又平面，故平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积求出这两个平面的夹角的余弦值，结合已知求出的值，从而得到结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为轴， 在平面内过点作与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． ，，， 设，， 则，，所以， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，即， 令，则，，． 设平面和平面的夹角为， 则， 解得（负值舍去）． 所以． 19. 已知抛物线，其焦点为，准线为．点是上异于顶点的一动点，过点作的切线，与准线交于点．记，称为点P处的焦切准角．当点的横坐标为1时，点在轴上，且此时焦切准角为． （1）求的方程； （2）设点的横坐标为． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）若，求面积的最小值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）；（ii），此时点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，根据斜率可求，从而可得抛物线方程； （2）（ⅰ）设，从而可求切线方程，再求出的坐标，结合数量积可求，从而可求或根据夹角公式可求；（ⅱ）根据（ⅰ）中的结果可求的面积或根据坐标平面上三点的面积公式可求面积，结合导数可求最小值及对应的坐标. 【小问1详解】 当点的横坐标为1时，，不妨设，则， 由题意得直线的斜率为1，所以，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 解法一：由对称性设，直线的方程为， 联立消去得， 由与相切得，所以， 切线方程为，即． 代入得．所以． 则． 所以， ． 则，， 所以， 所以． 解法二：由对称性设，直线的方程为， 联立消去得， 由与相切得，所以， 切线方程为，即． 代入得．所以． 直线的斜率，直线的斜率， 则． 若取，同理仍得， 故． （ⅱ）解法一：由（ⅰ）得的面积． 求导得， 由，故，， 因此在区间上单调递增． 当时，． 此时，或．点的坐标为或． 解法二：若，则，即． 在中，，，， 的面积 ． 求导得， 因此在区间上单调递增． 当时，． 此时或．点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $