精品解析：甘肃省平凉市第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段考试数学试题

平凉一中2028届第一学期阶段性考试试题 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 2. 已知数列{}为等比数列，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（ ） A. 284 B. 381 C. 384 D. 484 5. 已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 14 6. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，若是与的等比中项，则的最小值是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 8. 已知函数的图象关于点对称，数列的前项和，则（ ） A. 201 B. 202 C. D. 102 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递减数列 B. C. D. 的最大值为 10. 公比为的等比数列，若且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 若数列共有（是正整数）项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是“调和数列” B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和为 D. 对任意的，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 13. 已知是公比为的等比数列，是公差为的等差数列，若数列的前项和，则________． 14. 已知数列满足，，且，则数列的前项和________． 四、解答题：本题5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列 满足 ，. （1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的前项和. 16. 已知的内角，，所对的边，，成等差数列，且． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 17. 已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中． （1）求和的通项公式； （2）若数列的第项是直线的斜率，求数列的前项和． 18. 已知数列和满足，，直线上有三点满足． （1）求与； （2）设．记数列的前项和为，求． 19. 已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是且，． （1）求数列的通项公式； （2）对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设四边形的面积是，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2028届第一学期阶段性考试试题 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，解得. 2. 已知数列{}为等比数列，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列中下角标成等差数列的对应项成等比数列的性质，代入已知值计算即可求得. 【详解】 在等比数列中，若（），则满足. 由于，因此， 将，代入得：，解得. 3. 若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为． 故选：A． 4. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（ ） A. 284 B. 381 C. 384 D. 484 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差、等比数列性质，先求前三项，再求等比数列公比，最后分组求和得到总粟米铢. 【详解】已知 ， 成等差数列，则 ， 所以又 ， 所以得，， 后7项成等比数列，设公比为，则， 由 ，得，得解得 或 ， 因为粟米质量从小到大，数列递增，舍去负根，得， 所以， 所以， 则这9人所得粟米质量和的铢数为. 5. 已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的性质和等差数列的求和公式得出，进而可得出为15的正约数，由此可得出正整数的可能取值． 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15， 因此，正整数的可能取值有2、4、14. 6. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解. 【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列， 设，则，则， 故，所以，得到，所以. 故选：C. 7. 设，，若是与的等比中项，则的最小值是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用等比中项求出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由是与的等比中项， 可得，即， 所以， 由，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：A 【点睛】本题考查了等比中项、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 8. 已知函数的图象关于点对称，数列的前项和，则（ ） A. 201 B. 202 C. D. 102 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用与的关系求通项公式以及函数的对称性，由数列的前项和，可计算出，由函数的图象关于点对称，可得，将与，与，，与两两组合求和，每一组的和都为2，有100组，最后不要忘记加上. 【详解】由函数的图象关于点对称，可得； 当时，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以，即，，，， = . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递减数列 B. C. D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 10. 公比为的等比数列，若且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 若数列共有（是正整数）项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可得通项公式，即可判断各选项正误. 【详解】对于A，因成等差数列，则， 即，因，则得，解得，故A正确； 对于B，由A，，则，则， 因，即数列是等差数列，故B正确； 对于C，根据B项结论，，故C错误； 对于D，该数列的所有奇数项之和为：； 所有偶数项之和为：， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是“调和数列” B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和为 D. 对任意的，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将原等式同除以，然后化简可得到是首项为1，公差为1的等差数列，进而可根据等差数列的通项公式，以及裂项相消法等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，已知，且各项不为零， 两边同除以得，所以数列是“调和数列”，A正确； 对于B，由，可知是首项为1，公差为1的等差数列， 因此，即，故数列是递减数列，B错误； 对于C，，前项和， 所以C正确； 对于D，要证明，代入，即证明. 右边通分得，因而只需要证明，即. 化简得，即，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得. 由等差数列的性质可知： ，，…，，， 所以. 13. 已知是公比为的等比数列，是公差为的等差数列，若数列的前项和，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，再利用等差、等比数列的通项公式求出的值即可得答案. 【详解】当时，， 当时， ， 当时，， 所以， 即， 由等式两边同类项系数对应相等， 可得，解得， 所以. 14. 已知数列满足，，且，则数列的前项和________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查由递推关系求通项公式以及裂项相消法求前n项和，首先两边取倒数，构造是首项为，公差为的等差数列，然后将变形成，用裂项相消法求前n项和即可得答案. 【详解】，两边取倒数得，， 则，， 所以是首项为，公差为的等差数列，则 ， 则，； 由，得， ， 整理得， 则 ， ， 则. 四、解答题：本题5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列 满足 ，. （1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的前项和. 【答案】（1）证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由(1)得：， 所以， 所以. 16. 已知的内角，，所对的边，，成等差数列，且． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列性质、正弦定理得到三边的比例关系，再由余弦定理求角； （2）根据向量数量积运算求的值，结合三边比例求出各边长，进而得到三角形周长. 【小问1详解】 因为边成等差数列，所以 . 由正弦定理（为外接圆半径），对角化边得：. 联立，解得，，即. 设，，（）， 由余弦定理： . 因为 ，所以. 【小问2详解】 由平面向量数量积的定义，. 代入，得：，解得. 由（1）知，，故，解得（边长为正，舍去负根）. 则，. 所以的周长为. 17. 已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中． （1）求和的通项公式； （2）若数列的第项是直线的斜率，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用得到是首项为3，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的通项公式可得到的通项公式，利用累乘法可求得的通项公式. （2）先求得，然后再化简，然后利用错位相减法求得结果. 【小问1详解】 由，当时，两式作差得. ，满足. 故是首项为3，公比为2的等比数列，. 由，累乘得：. 验证时符合条件，故. 【小问2详解】 由题意得：. 所以. 所以①，②， ①-②得：，所以. 化简得，即. 18. 已知数列和满足，，直线上有三点满足． （1）求与； （2）设．记数列的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由三点共线的向量系数和为，推导出数列的递推关系，再通过累乘式相除结合求出，进而确定的通项；最后将的通项代入累乘式，通过指数运算得到； （2）先将的通项代入，拆分出等比数列项和可裂项的分式项，再将前项和拆分为等比数列求和与裂项相消求和两部分，分别计算后合并化简，最终得到． 【小问1详解】 由题意，，， 所以，， 因为三点共线，且满足， 所以，化简得， 因为，所以数列是等比数列，且公比， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 19. 已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是且，． （1）求数列的通项公式； （2）对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设四边形的面积是，求证： ． 【答案】（1） （2）或； （3） ， ∴ ， ∴. 【解析】 【分析】（1）变换得到，确定是以为首项为公比的等比数列，得到通项公式. （2）计算，根据数列单调性得到，代入不等式解得答案. （3）计算，放缩得到，根据裂项相消法求和得到答案. 【小问1详解】 ∵，∴，又， ∴是以为首项为公比的等比数列，∴，∴. 【小问2详解】 ，∵不等式对正整数恒成立， ∴，而， ∴是一个减数列，， 故，∴对恒成立， 故，解得或. 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了构造法求通项公式，裂项相消法求和，判断数列的单调性，数列放缩思想，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $