精品解析：甘肃省古浪县第三中学等多校2026-2027学年第一学期高二第一阶段联考考试数学试卷

2026～2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 【详解】数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. 2. 已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案. 【详解】由题意得，即 所以数列是以首项为的常数列， 则，得. 故选：A 3. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】. 4. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． 5. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式结合已知条件可求出公差. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C 6. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列的公比，从而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以， 所以. 故选：C 7. 设是等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为是等差数列的前项和， 所以由，，可得， 所以， 故选：B 8. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，个，，个，，个，，个，，， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 数列与数列是相同的数列 B. 数列可看作是一个定义域为正整数集（或其有限子集）的函数 C. 数列的前n项和为，则数列是等差数列 D. 若等差数列的公差，则是单调递减数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确， 从而得出结论. 【详解】对于A，因为数列与数列，两个数列的顺序不同， 所以它们不是相同的数列，故A错误； 对于B，从函数的观点看，数列可看作是一个定义域为正整数集（或其有限子集 )的函数，故B正确； 对于C，当时，， 当时，， 因为不满足，所以， 所以，所以，即， 故数列不是等差数列，故C错误； 对于D，若等差数列的公差，即， 则是单调递减数列，故D正确. 故选：BD 10. 已知数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据递推公式，由依次求出数列的前几项，观察数列的周期性，进而判断各选项. 【详解】因为，， 所以，，，，故A错误，B正确； 由，依次代入推导： ， ， 所以，对任意，都有，故数列是周期为的周期数列. 于是，故C正确； ，故D错误. 11. 已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为1 B. C. D. 数列的公比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据得，不确定，故选项A错误，B正确；根据，得，选项C正确；根据可得选项D正确. 【详解】对于AB,设数列的公差为，由得， ∴，不确定，故A错误，B正确. 对于CD，设数列的公差为，由，得， ∴，∴，故 C正确，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，公比，若，则的值为 ． 【答案】7 【解析】 【详解】因为， ，故答案为7． 考点：等比数列的通项公式． 13. 在等差数列中，，其前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，得到，求出，进而可求出通项公式，进而可求出答案 【详解】由，有，则， 故答案为： 14. 在等比数列中，，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质求出，再对所求式子求和，利用等比数列的性质求值. 【详解】因为在等比数列中，，所以，解得， 设等比数列的公比为， 则数列是首项为，公比为的等比数列，其前7项和为 . 由等比数列的性质可知，所以. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）试判断是否为数列中的项？ 【答案】（1） （2）不是 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式求解即可； （2），解得，即可判断. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ∵，，∴， 解得，，∴. 【小问2详解】 令， ∴，不是数列中的项. 16. 已知正项递增数列为等比数列，满足，，数列满足． （1）求，的通项公式； （2）数列满足，求的前n项的和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出公比，即可求出的通项公式，再代入得到的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算即可． 【小问1详解】 设等比数列的公比为，又， ，又，且为递增数列， ，解得或（舍去）， ，解得， ，； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 解得． 17. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； （2）求数列的前16项的和． 【答案】（1），当取得最小值时，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； 【小问2详解】 由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 18. 设数列的前n项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，通过作差即可求解； （2）对分偶数与奇数两种情况进行讨论即可. 【小问1详解】 因为，当时，，当时，， 两式相减得，即，即， 所以是以为首项，﹣1为公比的等比数列，即 则； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 当n为偶数时，设，， 当n为奇数时，设，， 因此. 19. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴； （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 2. 已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2 D. 1 4. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 设是等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 8. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 数列与数列是相同的数列 B. 数列可看作是一个定义域为正整数集（或其有限子集）的函数 C. 数列的前n项和为，则数列是等差数列 D. 若等差数列的公差，则是单调递减数列 10. 已知数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为1 B. C. D. 数列的公比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，公比，若，则的值为 ． 13. 在等差数列中，，其前项和为，则__________. 14. 在等比数列中，，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）试判断是否为数列中的项？ 16. 已知正项递增数列为等比数列，满足，，数列满足． （1）求，的通项公式； （2）数列满足，求的前n项的和． 17. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； （2）求数列的前16项的和． 18. 设数列的前n项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 19. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $