精品解析：山东菏泽市牡丹区第二十二初级中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试卷

九年级数学阶段性检测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是(　　) A. ax2-x+2=0 B. x2-2x-3=0 C. D. 5x2-y-3=0 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 或2 B. C. 2 D. 0 3. 观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A. B. C. D. 4. 如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 与互相平分 5. 顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是（ ） A. 对角线相等且平分 B. 对角线相等 C. 对角线垂直 D. 对角线相等且垂直 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意4个实数，，，，定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 9. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（ ）秒． A. 1 B. 2 C. 6 D. 2或6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的一次项系数为___________． 12. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 14. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为，则可以列出方程是______________． 15. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于长为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为_____________ 16. 如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确的结论是_________．（填写序号） 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为，，且满足，求的值． 19. 如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点．若，连接，．求证：四边形是矩形． 20. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 21. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形． 22. 【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）将配方成的形式为：_________________________； （2）利用配方法分解因式：_________________________； （3）多项式的最小值为_________________________； （4）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 23. 我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是 （填序号）； （2）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，．求证：四边形是等角线四边形； （3）如图2，在中，已知，，， 点D为线段的垂直平分线l上的一动点，直线l与交于点E．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性检测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是(　　) A. ax2-x+2=0 B. x2-2x-3=0 C. D. 5x2-y-3=0 【答案】B 【解析】 【详解】A. ax2-x+2=0，当a=0时不是一元二次方程，故错误；B. x2-2x-3=0，是一元二次方程，正确；C. ，分母中含有字母，是分式方程，故错误；D. 5x2-y-3=0，含有两个未知数，是二元二次方程，故错误，故选B. 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 或2 B. C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，只需将代入方程中得到关于m的方程，然后解方程，结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，且， 整理，得且， 解得． 3. 观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据图表，找到相邻两个的值，使的值为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， ∴一元二次方程的一个解x所在的范围是； 故选B． 4. 如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 与互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据菱形的判定方法得出A正确，B、C、D不正确；即可得出结果，熟练掌握菱形的判定：邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是解此题的关键． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故本选项正确； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故本选项错误； C、四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 不能推出，平行四边形是菱形，故本选项错误； D、四边形是平行四边形， 必有与互相平分， 四边形不一定是菱形； 故选：A． 5. 顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是（ ） A. 对角线相等且平分 B. 对角线相等 C. 对角线垂直 D. 对角线相等且垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 首先根据三角形中位线定理得到四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解． 【详解】解：如下图，四边形是矩形，且E、F、G、H分别是、、、的中点， 证明：由于E、F、G、H分别是、、、的中点， 根据三角形中位线定理得：，， ∴四边形是平行四边形 ∴当时， ∴四边形是矩形． ∴顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是对角线垂直． 故选：C． 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7. 对于任意4个实数，，，，定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，实数的运算，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据题意得出关于的一元二次方程，再利用根的判别式解答即可． 【详解】解：， 关于的方程可化为，即， ，，， ， 有两个不相等的实数根． 故选：B． 8. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：A． 9. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， 正方形的面积． 10. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（ ）秒． A. 1 B. 2 C. 6 D. 2或6 【答案】B 【解析】 【分析】设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的一次项系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再确定一次项系数． 【详解】解：原方程移项整理得：， 因此一次项为，一次项系数为． 12. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】96 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据该方程是一元二次方程可知，根据方程有两个不相等的实数根可知，列出不等式，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 即的取值范围为且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是牢记：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 14. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为，则可以列出方程是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出平行于墙的一边长为，再由面积建立方程即可． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∵花圃面积为， ∴． 15. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于长为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点O，由作图方法可知，平分，，可证明四边形是菱形，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点O， 由作图方法可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确的结论是_________．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据矩形的性质及全等三角形的判定和性质得出，即可判断结论①；证明，利用线段之间的关系即可判断③；根据平行四边形的判定和性质即可判断②；利用平行四边形的判定和性质及菱形的判定即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，故①正确； 在和中， ， ， ，， ∵， ∴，故③错误； ，即， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是菱形；故④正确； 综上可得：正确的结论是①②④． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系，熟练掌握根的判别式判断根的情况、利用根与系数的关系转化根的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式公式，计算并分析其取值，从而证明方程根的情况； （2）结合根与系数的关系表示出根的和与积，将已知条件展开后代入，通过解方程求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得，， ， ， ， 解得：，， 或． 19. 如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点．若，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明： 四边形 是平行四边形， ，， 四边形 是平行四边形． ，． ，， ． ， ． ． ， ，． ． 四边形 是矩形． 【解析】 【分析】先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得出四边形是矩形． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 20. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 21. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形． 【答案】（1）证明：， 是的中点， 在与中， （2）证明：由（1）可知，， 是的中点， 四边形是平行四边形， 又为直角三角形，D是的中点， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可； （2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）将配方成的形式为：_________________________； （2）利用配方法分解因式：_________________________； （3）多项式的最小值为_________________________； （4）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】（1） （2） （3）2026 （4）8 【解析】 【分析】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：； ∴将配方成的形式为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； 【小问4详解】 解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 23. 我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是 （填序号）； （2）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，．求证：四边形是等角线四边形； （3）如图2，在中，已知，，， 点D为线段的垂直平分线l上的一动点，直线l与交于点E．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求出的长． 【答案】（1）②④ （2）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴四边形是等角线四边形； （3）的长为2或 【解析】 【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解； （2）利用正方形的性质证明，用全等三角形的性质得出． （3）分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形、正方形的对角线相等，平行四边形，菱形的对角线不一定相等， ∴矩形和正方形是“等角线四边形”， 故答案为：②④； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：当点D在的上方时，如图， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为等角线四边形， ∴， ∴； 当点D在的下方时，如图，过点D作，交的延长线于F， ∵四边形为等角线四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $