精品解析：山东省菏泽市牡丹区第二十一初级中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

数学学科易错题训练 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列命题中，是真命题的是( ) A. 相等的角是对顶角 B. 四边都相等的四边形是矩形 C. 菱形的对角线垂直且相等 D. 相似三角形的面积比等于相似比的平方 2. 如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为_________．（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，．若，则的值是______． 12. 对于任意实数，规定，例如，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 13. 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是___________． 14. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是___________（用“>”号连接） 15. 抛物线的顶点坐标是_______________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为______ ． 三．解答题（共8道题，共72分） 17. 计算： 18. 已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 19. 某商店销售一种成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，若售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件元，月销售利润为元． （1）求与的函数解析式； （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？ 20. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 21. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． （1）本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 22. 某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是_____； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点A，点C在反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为D，与交于点E，． （1）求a，k的值； （2）若点P为x轴上的一点，求当最小时，点P的坐标； （3）F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 四边形和四边形都是正方形． （1）连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，连接，若， ①求证：； ②求的长． （3）如图3，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，试探究与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科易错题训练 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列命题中，是真命题的是( ) A. 相等的角是对顶角 B. 四边都相等的四边形是矩形 C. 菱形的对角线垂直且相等 D. 相似三角形的面积比等于相似比的平方 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角、矩形、菱形和相似三角形的性质，根据对顶角、矩形、菱形、相似三角形的性质判断各选项真假即可解答． 【详解】解：∵相等的角不一定是对顶角(如等腰三角形的底角)， ∴A是假命题； ∵四边都相等的四边形是菱形，不一定是矩形(除非有直角)， ∴B是假命题； ∵菱形的对角线互相垂直但不一定相等(仅正方形相等)， ∴C是假命题； ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，这是相似三角形的性质， ∴D是真命题. 故选：D． 2. 如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形， ∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误； ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； 故选：B． 3. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为_________．（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，解一元二次方程，根据黄金分割定义得，设，则，即，整理得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据黄金分割定义得， 设，则， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故选：． 5. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解． 【详解】根据作图可知为的角平分线，， ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴点E到的距离为 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选项错误，不符合题意；B选项正确，符合题意； ∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故C选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 7. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：取格点M，连接，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 9. 圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，．若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角的正弦值．根据正切值，设，勾股定理得到、利用正弦值的定义，进行求解即可．掌握三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则：， ∴； 故答案为：． 12. 对于任意实数，规定，例如，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，根据新定义运算将方程化为一般形式，由一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零且二次项系数不为零，求解的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点B的横坐标是解题关键．根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当时，x的取值范围为或． 【详解】解：∵正比例函数的图像与反比例函数的图像都关于原点对称，则两函数的交点也关于原点对称， ∵点的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 根据函数图象可得：当时，或． 故答案为：或． 14. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是___________（用“>”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的增减性，掌握二次函数的增减性、对称性是解题的关键．根据二次函数的对称性和二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴是直线，在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴关于对称的点的坐标为 ∵ ∴ 故答案为：． 15. 抛物线的顶点坐标是_______________ 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标. 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2） 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质.转化成顶点式是解题的关键. 16. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，，则，，证明，则，，又，则有，然后通过等腰三角形的性质可得，则有，从而可得点三点共线，过点作于点，则有，证明，然后通过性质可得，所以，，得，设，则，在中根据勾股定理得，，得，再代入即可求解． 【详解】解：如图，连接，    由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，得，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是反比例函数上的点， ∴，，， ∴， 设，则， 在中根据勾股定理得，， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，掌握知识点的应用是解题的关键． 三．解答题（共8道题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由于二次函数开口向下，有最大值，通过顶点公式求最大值； （2）在给定内，求函数的值，通过计算端点和顶点值即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点坐标为； ∴函数最大值为7； 【小问2详解】 解：当时， 当时，； 当时，； 顶点在内，． ∵抛物线开口向下， ∴在内，最小值为，最大值为； ∴y的取值范围为． 19. 某商店销售一种成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，若售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件元，月销售利润为元． （1）求与的函数解析式； （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？ 【答案】（1）（） （2）60元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用； （1）根据销售利润（售价成本）销售量，先表示出销售量，然后可求得与的函数解析式； （2）令销售利润为8000，列方程求解，结合让利顾客的要求确定售价即可． 【小问1详解】 解：∵若按每件50元销售，一个月可售出500件，若售价每涨1元，月销量就减少10件， ∴月销量为， ∴， ∴（）． 【小问2详解】 解：令，则 ， ， ， 解得：， ∵尽量让利给顾客， ∴销售价应定为每件60元． 答：商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件60元． 20. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 【答案】（1）10米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． 【小问2详解】 解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 21. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． （1）本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【答案】（1）100，10， 补全条形统计图如图： （2）150 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，读懂统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先由演讲与口才人数除以占比求出调查的人数，再由调查的人数减去其余的人数即可求解喜爱舞蹈的学生人数，即可补全条形统计图； （2）用样本估计总体的方法即可求解； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：调查的学生数：（人）， 喜爱舞蹈的人数：（人）， 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计有150人喜欢乒乓球运动， 故答案为：150； 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中甲乙两人的结果数有2种， ∴同时选中甲乙两人的概率是． 22. 某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是_____； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1）， （2） （3）有效 【解析】 【分析】（）利用待定系数法可求出，再把代入一次函数解析式可求出消毒效果最高效力； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分别把代入一次函数和反比例函数解析式求出的值，进而求出持续时长即可判断求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴消毒效果最高效力是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ∴持续时长为， ∴本次消毒有效． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点A，点C在反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为D，与交于点E，． （1）求a，k的值； （2）若点P为x轴上的一点，求当最小时，点P的坐标； （3）F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先将代入即可求出a的值，再将点B的坐标代入，即可求出k的值； （2）先求出点A的坐标，得出，则，即点C的横坐标为2，求出，作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，点P即为所求，易得，用待定系数法求出直线的函数表达式为，即可求出点P的坐标； （3）根据题意，结合平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴， 把代入得：，解得：， 综上：； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴，则， ∵， ∴，即点C的横坐标为2， ∵， ∴反比例函数表达式为：， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，点P即为所求， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 把代入， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解： 设， ①当为对角线时， ，解得：， ∴， ②当为对角线时， ，解得：， ∴， ③当为对角线时， ，解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及平行四边形对角线互相平分． 24. 四边形和四边形都是正方形． （1）连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，连接，若， ①求证：； ②求的长． （3）如图3，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，试探究与的数量关系． 【答案】（1） ，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； （2） ①证明：∵正方形， ∴，， ∴，即， ，， ， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）①利用正方形和勾股定理，证明出，而，即可证明； ②由相似三角形的性质得出结论即可； （3）连接，过点A作，先求出的长，再证明，再由相似三角形的性质得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵ ， ∵， 故． 【小问3详解】 解：如图，连接，过点A作， ， ∴为等腰直角三角形，， ∴同上可得 ∵， ， ∵平行四边形， ∴， ， ， ， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∵， 则， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $