精品解析：江苏省扬州市新华中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025－2026学年度第一学期第一阶段自主练习 高二数学 满分：150分；考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（ ） A B. 3 C. D. 1 2. 若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 120° D. 150° 3. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 4. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 5. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知复数，则下列结论正确是（ ） A. B. 在复平面内，对应的点在第四象限 C. D. 复数和满足方程 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是2 B. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 C. 过点且在，轴截距相等的直线方程为 D. 实数，满足，则的取值范围为 11. 记为圆的圆心.为轴上的动点.过点作圆的两条切线，切点分别是，，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形的面积的最小值为 B. 直线过定点 C. 不存在点，使得 D. 的最大值为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知的三个顶点分别是，，，则的外接圆的方程为______． 13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心轨迹方程为___________. 14. 已知是圆上两点，若，则的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点分别是，，，为中点 （1）求中线和线段分别所在的直线方程； （2）求的面积. 16. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. （1）求的值； （2）求值； （3）若复数满足，求的最大值. 17 已知圆. （1）过点向圆引切线，求切线的方程； （2）记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出两公共点所在的直线；若无，说明理由. 18. 已知曲线和直线. （1）当曲线表示圆时，求的取值范围； （2）当曲线表示圆时，被直线截得的弦长为.求的值 （3）是否存在实数，使得曲线与直线相交于，两点.且满足（其中为坐标原点）.若存在.求的值：若不存在，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且. （1）求圆的方程； （2）设圆与轴交于，两点，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第一阶段自主练习 高二数学 满分：150分；考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 2. 若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 又， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故选：C 3. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 4. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 5. “”是“直线与直线相互垂直”（ ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直的公式求得，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，直线与直线斜率乘积为，显然相互垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”充分条件； 当直线与直线相互垂直时，，所以． 所以直线与直线相互垂直时，不一定为， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的不必要条件． 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件. 故选：B 6. 过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当最小时，和垂直，求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程． 【详解】 圆：的圆心为， 当最小时，圆心到直线的距离最长，此时，和垂直， ∵ ∴直线的斜率等于， 用点斜式写出直线的方程为，即， 故选：B. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图， ， 在直线上， 设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为， 代入点，可得，解得， 故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点， 则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为， 所以的最小值是， 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内，对应的点在第四象限 C. D. 复数和满足方程 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据模的坐标运算算出可判断A, 求出，即可判断B；根据复数的乘法运算算出即可判断C；根据根与系数的关系可判断D. 【详解】由于，所以A正确； 由于，则在复平面内对应的点为，在第四象限，故B正确； 由于，故C不正确； 由于，则复数和满足方程，故D正确； 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是2 B. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 C. 过点且在，轴截距相等的直线方程为 D. 实数，满足，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线方程的性质、直线平行的性质、直线方程求解方法以及直线与圆的位置关系，逐一分析、判断各选项． 【详解】选项A：当时，， 直线在轴上的截距是，故A错误； 选项B：直线与直线平行， ， 直线与之间的距离为，故B正确； 选项C：当直线在轴的截距为0时，设直线方程为，直线过点， ，解得，此时方程为，一般式为：， 当直线在轴的截距都不为0时，设直线方程为，直线过点， ，解得，此时方程为，一般式为：， 过点且在，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； 选项D：表示圆心为半径是的圆， 设，即， 求的取值范围，等价于求直线与圆有交点时的范围， 圆心到直线的距离，圆的半径，直线和圆有交点， ，即， ，解得，即的取值范围为，故D正确． 故选：． 11. 记为圆的圆心.为轴上的动点.过点作圆的两条切线，切点分别是，，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形的面积的最小值为 B. 直线过定点 C. 不存在点，使得 D. 的最大值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，四边形的面积为，设，可得面积关于表达式，求出最值即可判断选项正误；B选项，取中点为，则所在直线为以为圆心，为半径的圆与圆的交点弦，两圆方程相减可得所在直线方程，即可得所过定点；C选项，等价于判断是否存在点，使，即可求解；D选项，由图可得，后由小于可判断选项正误. 【详解】由题意如图，圆：，则圆心，， A选项，设四边形的面积为，设， 则， 由题可得， 则，当且仅当时取等号，故A正确. B选项，，取中点为D，则，， 则圆：， 与圆方程相减并化简可得直线为：， 令，解得，即直线过定点，故B正确； C选项，若，则， 又由题意可知，结合，可知此时四边形为正方形， 则，当与轴垂直时，最小为，因， 则不存在相应的点，使，故C正确； D选项，由几何知识可知，垂直平分， 则， 因与圆相切，则， 所以是以为直角顶点的直角三角形， 则，即，故，则D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知的三个顶点分别是，，，则的外接圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由为直角三角形，确定斜边上中点坐标并求外接圆半径，即可写出的外接圆的方程. 【详解】由题设易知：为直角三角形，故外接圆圆心是斜边的中点，而， 所以斜边为，则外接圆圆心为，故， 综上，的外接圆的方程为. 故答案为： 13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解， 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，，则，， 由椭圆定义得的轨迹方程为， 故答案为： 14. 已知是圆上两点，若，则的最大值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据表示两点到直线的距离之和，结合两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线的距离的2倍，求出线段的中点到直线的距离的最大值即可. 【详解】解：由，得为等腰直角三角形， 设为的中点，则，且， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 表示两点到直线的距离之和， 两点到直线的距离之和等于中点到直线的距离的2倍， 点到直线的距离为， 所以点直线的距离的最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：4. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点分别是，，，为中点 （1）求中线和线段分别所在的直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】(1)利用两点式直线方程即可求解； (2)利用点到直线的距离公式即可求面积. 【小问1详解】 由，，为中点，可得， 再由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 再由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 【小问2详解】 由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为： ， 再由两点间的距离公式可得，两点间距离： ， 所以的面积为. 16. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若复数满足，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得，即可求解； （2）利用虚数单位的性质，即可求解； （3）设，根据条件，利用复数的几何意义和圆的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. 【小问2详解】 由（1）知，又， 则， 所以. 【小问3详解】 设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以最大值为. 17. 已知圆. （1）过点向圆引切线，求切线的方程； （2）记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出两公共点所在的直线；若无，说明理由. 【答案】（1）或 （2）有， 【解析】 【分析】（1）利用斜率是否存在进行讨论，然后再由点到直线的距离公式求解； （2）利用动点轨迹方程为圆，通过圆心距与半径关系可得两圆相交，即可得相交弦方程. 【小问1详解】 由圆可得圆心为原点，半径为， 当切线的斜率不存在时，此时经过点的直线方程与圆相切，满足题意； 当切线的斜率存在时，可设经过点的直线方程， 即，由直线与圆相切可知： 圆心到直线的距离，解得， 所以切线的直线方程为， 整理为：， 综上可得切线的直线方程为或； 【小问2详解】 由圆的方程可求得交点， 再设动点，根据可得： ，整理得： 即， 所以动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 两圆心距为， 因为，所以两圆相交有两个公共点， 即由两圆方程相减就可得公共弦直线方程： ， 则动点的轨迹与圆有两个公共点，该两公共点所在的直线为 18. 已知曲线和直线. （1）当曲线表示圆时，求的取值范围； （2）当曲线表示圆时，被直线截得的弦长为.求的值 （3）是否存在实数，使得曲线与直线相交于，两点.且满足（其中为坐标原点）.若存在.求的值：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）通过对变形，结合圆的标准方程计算即得结论； （2）通过（1）可知，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距， 利用弦心距､半径与半弦长的关系计算即得结论； （3）通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理可知，， 利用向量的坐标运算得到关于的方程，进而解方程即得结论. 【详解】解：（1），， 又曲线表示圆，，即； （2）由（1）可知， 又直线，圆心到直线的距离， 直线截得的弦长为，， 解得：； （3）结论：存在实数，使得曲线与直线相交于，两点， 且满足（其中为坐标原点）. 理由如下： 联立直线与曲线方程，消去整理得：， 设，，则，， 由可知， ，， 整理得：，即. 解得：. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且. （1）求圆的方程； （2）设圆与轴交于，两点，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，由可得，则可计算出，即可得圆心坐标，借助圆心坐标与点坐标即可得半径，即可得圆的方程； （2）求出，两点坐标后，设出点坐标，即可表示出，则，从而可设出直线、方程，从而联立曲线，得到，两点坐标，利用计算即可得. 【小问1详解】 因为圆心在轴上，故可设， 由，故点、点都在线段的垂直平分线上，所以， 则有，则，解得， 则，故圆的方程为：； 【小问2详解】 由圆的方程为：，令，则，则可设，， 设，，，则，， 设，则，直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， ，， 直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， 则，， 设直线过定点，则直线斜率为：， 即有，整理得， 所以，故直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $