精品解析：广东深圳市盐田区外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期九年级阶段性素质调查 数学学科（2026年10月） 时间：90分钟 满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项是正确的） 1. 近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是( )． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列的四组线段中，不是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 小丽用若干个边长相等的正三角形和正方形作平面镶嵌，若每一个顶点处有个正三角形和个正方形，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都有可能 8. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　） A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形 D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形 第二部分 非选择题 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 深圳与北京的实际距离约1600千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约________厘米． 10. 已知，则________ 11. 学校里一段艺术连廊是由完全相同的砖块密铺而成，如图，每块砖可看作五边形，其中，，则的度数为________度． 12. 如图，在中，连接对角线，已知直线是线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若的周长为，则的周长为________． 13. 如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为_________． 三、解答题（共7小题，共61分。） 14. 解方程 （1） （2） 15. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为，，且满足，求的值． 16. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）请在图①中，在菱形作出其内接矩形，使得点，，，分别在边，，，上． （2）请在图②中，在矩形作出其内接菱形，要求点，，，分别在边，，，上． 17. 2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 18. 如图，已知中，是中点，是中点，是中点，连接、和． （1）若，，，求的周长． （2）连接，求证：和互相平分． 19. 综合与实践 如图，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成．某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式，并将其命名为“弦图不等式”． （1）以下是他们的发现过程，请结合上图补全他们的思考： 设直角三角形的两条直角边分别为、， ①大正方形的面积可表示为________，四个直角三角形的面积和可表示为________（用含有和的字母表示）； ②如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ③如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ④综上所述，可得到“弦图不等式”． （2）若，时，请利用“弦图不等式”，求代数式（）的最小值，并求出此时的值； （3）为保障年深圳会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区．如图，停放区面积为（即长方形的面积），其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则、、三条边的和的最小值是多少？若一辆纪念款单车长度为，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内． 20. 【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级阶段性素质调查 数学学科（2026年10月） 时间：90分钟 满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项是正确的） 1. 近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 下列说法错误的是( )． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．据此进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； C、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； D、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列的四组线段中，不是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，先将线段长度从小到大排序后得到，，，，再计算与是否相等来依次判断各选项是否为成比例线段． 【详解】解：A选项：从小到大排序后为，计算，是成比例线段； B选项：从小到大排序后为，计算，是成比例线段； C选项：从小到大排序后为，计算，不是成比例线段； D选项：从小到大排序后为，计算，是成比例线段； 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，且， 解得：且， 故选：B． 5. 小丽用若干个边长相等的正三角形和正方形作平面镶嵌，若每一个顶点处有个正三角形和个正方形，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面镶嵌的性质，同一顶点处所有内角的和为，先确定正三角形、正方形的内角度数，列方程求出正整数解，再计算的值． 【详解】解：∵正三角形每个内角度数为，正方形每个内角度数为，平面镶嵌时同一顶点处内角和为 ∴， 化简得 ∵为正整数， ∴， ∴． 6. 一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同列出关于的比例式，最终解得的值． 【详解】解：由题意得，，解得或（舍去）． 故选：B． 7. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 8. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　） A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形 D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解． 第二部分 非选择题 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 深圳与北京的实际距离约1600千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约________厘米． 【答案】40 【解析】 【分析】根据比例尺的意义，实际距离比例尺图上距离，由此解答． 【详解】解：1600千米厘米， （厘米）， 即两地的图上距离约为40厘米． 10. 已知，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用比例线段的性质，设参数表示出、，再代入代数式求值． 【详解】解： 设，， ， ． 11. 学校里一段艺术连廊是由完全相同的砖块密铺而成，如图，每块砖可看作五边形，其中，，则的度数为________度． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 12. 如图，在中，连接对角线，已知直线是线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若的周长为，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由的周长为得，直线是线段的垂直平分线得，将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 13. 如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，取的中点，连接，，根据已知可求出，先在中求出，的长，从而可得是等边三角形，进而可得，，然后利用等腰三角形三线合一性质求出的长，从而求出，的长，最后证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答． 【详解】解：过点作于点，取的中点，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴边的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共61分。） 14. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可. 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴，. 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，. 15. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出根的判别式，再判断其正负即可证明结论； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入求出k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵已知关于的一元二次方程的两根为，， ∴由根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，解得． 16. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）请在图①中，在菱形作出其内接矩形，使得点，，，分别在边，，，上． （2）请在图②中，在矩形作出其内接菱形，要求点，，，分别在边，，，上． 【答案】（1）如图，四边形即为所作矩形；（答案不唯一） （2）如图，四边形即为所作菱形； 【解析】 【分析】（1）分别以、为圆心，小于的同样的长为半径画弧，与边，，，分别交于，，，，顺次连接，，，，即可．（答案不唯一） （2）分别作、的垂直平分线，与边，，，分别交于，，，，顺次连接，，，，即可． 【小问1详解】 解：由作图可得：， 在菱形中，，，，， ，， ， 同理， 四边形是平行四边形， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 同理，， ， ， 四边形是菱形． 17. 2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应为每件元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，利用该电商平台2025年11月份吉祥物一月的销售量该电商平台2025年9月份吉祥物一月的销售量（月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得， 整理得， 解得， 又∵要尽量减少库存， ∴取， 答：售价应为每件元． 18. 如图，已知中，是中点，是中点，是中点，连接、和． （1）若，，，求的周长． （2）连接，求证：和互相平分． 【答案】（1）12.5 （2）证明：如图，由（1）可知， 是的中位线，是的中位线， ，， ∴四边形是平行四边形， 、互相平分． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线可得，，，然后问题可求解； （2）由三角形中位线可得，，则有四边形是平行四边形，进而问题可求证． 【小问1详解】 解：∵点是的中点，点是中点，点是中点， 、、是的中位线， ，，， ，，， ，，， 的周长是． 【小问2详解】 略 19. 综合与实践 如图，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成．某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式，并将其命名为“弦图不等式”． （1）以下是他们的发现过程，请结合上图补全他们的思考： 设直角三角形的两条直角边分别为、， ①大正方形的面积可表示为________，四个直角三角形的面积和可表示为________（用含有和的字母表示）； ②如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ③如图，当时，则大正方形的面积________四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ④综上所述，可得到“弦图不等式”． （2）若，时，请利用“弦图不等式”，求代数式（）的最小值，并求出此时的值； （3）为保障年深圳会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区．如图，停放区面积为（即长方形的面积），其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则、、三条边的和的最小值是多少？若一辆纪念款单车长度为，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内． 【答案】（1）①，；②；③ （2）代数式的最小值为8，此时 （3）剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到，即可表示出大正方形的面积．根据三角形的面积公式即可表示出四个直角三角形的面积和； （2）根据“弦图不等式”求解即可； （3）方法一：当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为，根据“弦图不等式”得到周长，此时，求解即可； 方法二：当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为，则周长，，由，求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①由勾股定理可得， ∴． ∵， ∴四个直角三角形的面积和为． ②如图，当时，则大正方形的面积＞四个直角三角形面积和； ③如图，当时，则大正方形的面积＝四个直角三角形面积和； 【小问2详解】 解：当，时，则 即 ∴当时，取得最小值8， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 【小问3详解】 解：方法一： 当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为． ∵， ∴， ∴由题意可得，、、三条边的长度和， 此时 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， ∴能将车辆放进停车区内， 答：剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区． 方法二： 当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为． 由题意可得，、、三条边的长度和， ， ， 此时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区． 20. 【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 【答案】任务一：D； （1）如图， 证明：∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）∵四边形是“垂等四边形”， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由上已证， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； 任务三：连接，分别交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， 设，则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形是“垂等四边形”． 【解析】 【分析】任务一：根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线的性质分析即可； 任务二：（1）由，得到，再由直角三角形斜边中线得到，则，再由角的和差证明即可； （2）由三角形中位线得到，由直角三角形斜边中线得到，结合“垂等四边形”得，故，即可证明为菱形，由三角形中位线得到，那么，而，则，由，得到； 任务三：连接，分别交于点，先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，则，根据得到，设，则，由于点为中点，则，故，即可证明． 【详解】任务一： 解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意； B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意； C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意； D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意， 故选：D； 任务二：略 任务三：略 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，折叠的性质，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $