精品解析：广东深圳市新安中学（集团）第二外国语学校2026-2027学年上学期10月 数学学情自测试卷

26-27学年第一学期数学学科10月训练 一．选择题（共8小题），共16分） 1. 中国华润大厦，因其独特的建筑造型而得名“春笋”——既似雨后破土、节节攀升的春笋，又如蓄势待发、线条凌厉的子弹头，成为深圳城市天际线中极具辨识度的标志．如图所示，“春笋”的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. 3 B. 2 C. D. 3. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 4. 在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）． A. 2 B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为（　　） A. 8 B. C. D. 二．填空题（共5小题，共23分） 9. 若，则______________． 10. 黄金分割是构图的重要手法．如图，生成的图片中，是直径的两个黄金分割点，已知，则___________．（答案保留根号） 11. 若α、β是方程的两个实数根，则的值为______ 12. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 13. 如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，则_____． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程 （1）；（配方法） （2） 15. 根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．(保留作图痕迹，不写作法) （1）如图1，点，，都在格点上，在网格中求作，使得与是以点为位似中心，相似比为2的一对位似图形； （2）根据（1）中所作图形，可得______； （3）如图2，点，都在格点上．在上求作一点，使得． 16. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 17. 如图，四边形中，，，于点D． （1）尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接交于点O，连接，若，求长． 18. 8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 19. 我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； 根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； （1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：________，解得正根__________； （2）实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的________，求得方程的正根为__________； （3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根．在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； （4）根据（3）中的构图，可以得到新的方程：__________，解得正根为__________． 20. 在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律． 在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点． 【初步探究】 （1）如图2，的度数为__________； 【尝试应用】 （2）如图2，若，求的长； 【创新提升】 （3）若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27学年第一学期数学学科10月训练 一．选择题（共8小题），共16分） 1. 中国华润大厦，因其独特的建筑造型而得名“春笋”——既似雨后破土、节节攀升的春笋，又如蓄势待发、线条凌厉的子弹头，成为深圳城市天际线中极具辨识度的标志．如图所示，“春笋”的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，主视图为： 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数， 把代入一元二次方程，得出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故选D 3. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键． 由得，根据可得，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，则，解得：． 故选：A． 4. 在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两相似三角形高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图， 由小孔成像原理可得, ∴，， 即　， ∵到的距离是，到的距离是， ∴，，且，， ∴，即， 解得． 5. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，     设小路宽为x米， 根据题意得：， 故选：C． 6. 现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定与性质分别判断即可． 【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误；②矩形的对角线不一定垂直但平分，故原说法错误；③对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误；④对角线相等的菱形是正方形，说法正确；⑤邻边相等的矩形是正方形，说法正确；⑥三个角都是直角的四边形是矩形，说法正确， 其中说法正确的有3个， 故选：C． 7. 两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积． 【详解】设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示： ∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形， ∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF， ∴四边形AGCH是平行四边形， 在△ABG和△CEG中， ， ∴△ABG≌△CEG（AAS）， ∴AG=CG， ∴四边形AGCH是菱形， 设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x， 在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2， 解得：x=， ∴CG=， ∴菱形AGCH的面积=CGAB=， 即图中重叠（阴影）部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为（　　） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠得，，推出，利用三角形外角的性质求出，过E作，根据勾股定理求出，利用同角的余弦值相等列得，求出，再根据等腰三角形的性质即可求出． 【详解】解：由折叠得，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过E作， ∵在矩形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数，正确理解同角的余弦相等是解题的关键． 二．填空题（共5小题，共23分） 9. 若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质，解答即可． 【详解】解：， ． 10. 黄金分割是构图的重要手法．如图，生成的图片中，是直径的两个黄金分割点，已知，则___________．（答案保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，掌握黄金分割点所分线段之间的比例关系是解题关键． 根据黄金分割点的定义，表示出，，之间的比例关系，再求解即可（也可直接利用黄金分割比，计算出，再计算出）． 【详解】解：由题意，可知， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若α、β是方程的两个实数根，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的解和根与系数的关系，根据方程的解的定义和根与系数的关系可得：，，然后整体代入求解即可，掌握一元二次方程的解的定义和根与系数得关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． . 12. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 【答案】12.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ， 即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 13. 如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，勾股定理求得，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，根据，得出，求得，进而求得的长． 【详解】解：∵为的一条中线， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴ 过点作于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程 （1）；（配方法） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择方法是关键． （1）利用配方法变形为，得到，即可求出方程的解； （2）把原方程利用因式分解变形为，得到或，即可求出方程的解． 【小问1详解】 解： ∴， 则， ∴， 解得 【小问2详解】 ， 则， 即 则或， 解得． 15. 根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．(保留作图痕迹，不写作法) （1）如图1，点，，都在格点上，在网格中求作，使得与是以点为位似中心，相似比为2的一对位似图形； （2）根据（1）中所作图形，可得______； （3）如图2，点，都在格点上．在上求作一点，使得． 【答案】（1） 解：如图，即为所求： （2）； （3） 解：如图，点即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的定义，以点为位似中心，将的边、分别延长至原来的2倍，得到对应点、，连接两点即可得到符合要求的位似图形； （2）位似图形属于相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，据此可直接计算面积比； （3）利用相似三角形的性质，在网格中构造比例为的平行线段，构造相似三角形，通过连线找到上的分点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是位似图形，相似比为， ． 【小问3详解】 略 16. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）10米 （2）解：饲养场（矩形）的面积不能达到170平方米．理由如下： 设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， ∵， ∴没有实数根， ∴饲养场（矩形）的面积不能达到170平方米． 【解析】 【分析】（1）设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：，解方程即可； （2）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【小问1详解】 解：设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，，同时，符合题意， 答：饲养场面积为160平方米时，此时边的长为10米． 【小问2详解】 解：略． 17. 如图，四边形中，，，于点D． （1）尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接交于点O，连接，若，求长． 【答案】（1）作图见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线，交于点E，则点E为所求．根据角平分线和平行线的性质得到，得到，从而得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，从而根据勾股定理求出，进而得到的长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点E为所求． 理由如下：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18. 8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】（1）飞虹塔的高度是 （2）飞虹塔的大致高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；‘’ （2）设，依据题意得：，证明，根据相似三角形的性质列出比例式得出，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：飞虹塔的高度是； 【小问2详解】 解：设，依据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ，经检验，符合题意， 答：飞虹塔的大致高度为． 19. 我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； 根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； （1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：________，解得正根__________； （2）实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的________，求得方程的正根为__________； （3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根．在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； （4）根据（3）中的构图，可以得到新的方程：__________，解得正根为__________． 【答案】（1）； （2）5； （3）如图5所示， （4）； 【解析】 【分析】（1）用不同的方式表示大正方形面积得到新的方程，然后求解即可； （2）根据题意求出，然后列出方程求解即可； （3）根据图1的方法构造即可； （4）根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可以表示为，大正方形的面积还可以表示为， ∴可以得到新的方程：， ∴ 解得， ∴正根为； 【小问2详解】 解：∵图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴， ∵每个矩形面积是5，小正方形面积是16，得出大正方形面积是36， ∴正方形的边长， ∴， ∴方程的正根为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 图略； 【小问4详解】 解：∵， 根据题意得，， ∴， ， 解得，， ∴正根为． 20. 在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律． 在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点． 【初步探究】 （1）如图2，的度数为__________； 【尝试应用】 （2）如图2，若，求的长； 【创新提升】 （3）若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，则，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）连接，证明，则可得，然后对运用勾股定理求解即可； （3）连接，由（1）知，记直线与交于点，证明，则，，，四点共圆，可得，然后分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，记，交于点， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接， 由（1）知，记直线与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， 当时，同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上：若，，三点构成以为腰的等腰三角形，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $