精品解析：广东省深圳市盐田区深圳外国语学校　2025-2026学年 上学期九年级数学12月月考试卷

九年级数学 一、选择题（共8小题） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 3. 已知点，都在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先确定抛物线的开口方向，对称轴，及最高点，再根据点的位置得出答案. 【详解】解：∵二次函数中，抛物线开口向下，对称轴是y轴，有最高点， ∴点在对称轴的左侧，函数值y随着x的增大而增大. 当时，. ∵， ∴. 故选：C. 4. 为了得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，关键是将抛物线平移转化为顶点平移． 通过比较原抛物线和目标抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移量． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ， ∴需要将顶点从平移到，即向右平移1个单位，向下平移2个单位． 故选：D． 5. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接、，，若，则的度数为（ ） A. 54° B. 72° C. 50° D. 48° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和二次函数的图象， 根据当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数的开口向上，顶点坐标在y轴的负半轴上；当时，一次函数经过二、三、四象限，二次函数的开口向下，顶点坐标在y轴的正半轴上，作出判断即可． 【详解】解：当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数的开口向上，顶点坐标在y轴的负半轴上； 当时，一次函数经过二、三、四象限，二次函数的开口向下，顶点坐标在y轴的正半轴上 结合图象可得：只有D符合条件． 故选D． 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分率是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分率为x，则由题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，“两天不练丢一半”的含义，即两天后剩余知识量为原知识量的一半，每天遗忘百分率为x，则每天剩余比例为，两天后剩余比例为，据此列方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 如图2中，设交于点．先利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出，再求出、，可得结论． 【详解】解： 如图中，设交于点． 在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为 故选A． 二、填空题（共5小题） 9. 写出一个对称轴是直线，且经过原点的抛物线的表达式______． 【答案】答案不唯一（如） 【解析】 【分析】抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值，根据顶点式写出对称轴是直线的抛物线表达式，再化为一般式，再由经过原点即为常数项c为0，即可得到答案. 【详解】解：∵对称轴是直线的抛物线可为： 又∵抛物线经过原点，即C=0， ∴对称轴是直线，且经过原点的抛物线的表达式可以为：， 故本题答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同． 10. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的最大整数值是_________． 【答案】0 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程有实数根，则△=，且k-1≠0，求出k的取值范围即可解决本题. 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， 则， 解得：且k≠1， 则k的最大整数值为；0， 故答案为：0. 【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键. 12. 菱形在平面直角坐标系中，边在x轴的负半轴上，点C在反比例函数（）的图象上．若，，则反比例函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数关系式，涉及菱形的性质、含角的直角三角形三边关系等知识，对于反比例函数问题，找到图象上点的坐标是解决问题的关键．如图所示，连接，过作于，则，四边形是菱形，，利用含角的直角三角形三边关系，得到，，从而有点的坐标是，根据点在反比例函数的图象上，求出值即可得到反比例函数的解析式． 【详解】解：连接，过作于，如图所示： 则， ∵四边形是菱形，， ∴，为等边三角形； ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即反比例函数的解析式是， 故答案为：． 13. 如图，菱形边长为4，，点在线段上，射线绕点A逆时针旋转与射线于点，与线段交于点，且，则线段________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、菱形的性质等知识点，灵活利用解直角三角形求线段的长成为解他的关键． 过点作于点，过点A作垂直射线于点，根据菱形的性质易证，根据相似三角形的性质结合已知条件可得；再说明，然后解直角三角形可得、，进而得到；易得、；设，在中，，则；在中解直角三角形可得，则，解得：，即；最后根据等面积法求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点A作垂直射线于点， 四边形为菱形， ，． ． ，即，解得：． ，， ∴， ∴，， ，． ． 在中，， ． 设，在中，， ， ． 在中，， ． 又， ，即． ∵ ∴，解得：． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 14. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1）5 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握实数的运算和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）首先根据平方根的运算、三角函数、零次幂、去绝对值先进行各项化简，再按顺序进行实数的加减运算即可得到结果； （2）根据求根公式进行求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴，． 15. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生坐在②号座位的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得：学生坐在②号座位的概率． 【小问2详解】 解：列表如图： 学生B 学生 ① ② ③ ④ ⑤ ① 相邻 不相邻 不相邻 不相邻 ② 相邻 相邻 不相邻 不相邻 ③ 不相邻 相邻 相邻 不相邻 ④ 不相邻 不相邻 相邻 相邻 ⑤ 不相邻 不相邻 不相邻 相邻 根据表格可得，共有20种情况，其中学生和学生入座后相邻的情况有8种情况， 故学生和学生入座后相邻的概率． 16. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）分和两种情况，用对应角度的三角函数求的竖直高度，结合B到地面的距离算出A的高度，作差得增加了． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； 【小问2详解】 解：最高点A到地面的高度为， 当时，， 在中， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 同理得， ∴， ∴． 故当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了． 17. 如图：点O为正方形的中心，点E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且，连接，点M是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若正方形的边长为12，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵点O为正方形的中心，即点O为的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与互相垂直平分， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据正方形对角线相等且互相垂直平分可得，，则可证明，据此根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可证明结论； （2）根据正方形的性质和勾股定理可求出的长，进而可得的长，利用勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵正方形的边长为12， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴． 18. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）这种跳绳和排球套装每套应降价9元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量为套，月份的销售量为套，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由待定系数法求出该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为，再根据该商店要想使月销售利润达到元，列出列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不符合题意， 舍去)， 答：这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为， 由题意得：，解得： ， 由题意得：， 整理得：， 解得： ∵要尽可能让学生得到实惠， ∴， (元)， 答：这种跳绳和排球套装每套应降价元． 19. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①衍生点的坐标为；②；（3）有， 【解析】 【分析】本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． （1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；②当时，，当时，，设直线的解析式为，将代入，求解即可． （3）先推导出直线的图象经过定点，得到一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上，则关于的方程的两个根为，代入求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴一元二次方程的衍生点M的坐标为． 故答案为：． （2）①因式分解，得． 解得或， ∵， ∴． 满足，故该方程的衍生点的坐标为． ②当时，，衍生点为；当时，，衍生点为； ∵所有衍生点M都在同一条直线上， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． （3）存在，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上．理由如下： 将代入直线，得． 直线的图象经过定点． 要使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ， ． 20. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（共8小题） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，都在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 5. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接、，，若，则的度数为（ ） A. 54° B. 72° C. 50° D. 48° 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分率是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分率为x，则由题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 9. 写出一个对称轴是直线，且经过原点的抛物线的表达式______． 10. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是____________． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的最大整数值是_________． 12. 菱形在平面直角坐标系中，边在x轴的负半轴上，点C在反比例函数（）的图象上．若，，则反比例函数的解析式为________． 13. 如图，菱形边长为4，，点在线段上，射线绕点A逆时针旋转与射线于点，与线段交于点，且，则线段________． 三、解答题（共8小题） 14. 计算： （1）； （2）解方程：． 15. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生坐在②号座位的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 16. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 17. 如图：点O为正方形的中心，点E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且，连接，点M是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若正方形的边长为12，，求线段的长． 18. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 19. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 20. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $