精品解析：甘肃省皋兰县第一中学2026-2027学年第一学期高一年级10月考试数学试题

皋兰一中20262027学年度第一学期高一年级10月考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把的范围表示出来，再结合列举出元素即可. 【详解】易知，所以列举法可以表示为． 故选：D 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B. 若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C. 存在一个实数，使得 D. 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B 3. 某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，总共有30人，而参加比赛的人数为24人，则多出来的人数为田赛和径赛都参加的人数. 【详解】因为参加比赛的总人数为24人，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人， 所以田赛和径赛都参加的学生人数为：人. 故选：B 4. 给出下列结论: ①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则. 其中正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可 【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确 ,则,即或,所以②错误 因为,所以,即,即,所以③正确 因为,所以,所以④正确. 即正确结论的个数为3 故选：C 5. 小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（ ） A. 17 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理可求的值，问题可解. 【详解】由题意：；. 所以. 故选：D 6. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原特称假命题转化为全称真命题，通过一元二次不等式恒成立时判别式小于，解得的取值范围. 【详解】命题“，使得”是假命题， 则它的否定“，”是真命题， 即二次函数的图像恒在轴上方. 该二次函数开口向上，要让函数值对所有实数都大于,则判别式。 即，解得，即k的取值范围是. 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 8. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 因为可以表示偶数,不能表示奇数，而可以表示全部整数．所以，D正确. 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C，因为，，故C错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组中M，N表示不同集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果. 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “且”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充要条件的性质即可判断求解也可以利用集合之间的关系更方便理解求解. 【详解】对于A：因为可以推出，但是不可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B：因为且可以推出， 但是不可以推出且， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C：因为，解得或， 所以“”可以推出“”， 但是“”不可以推出“” 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D：当时，， 所以“”不可以推出“”， 但是“”可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AB. 11. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由题目可知，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； ，当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为， 则，当且仅当时，等号成立，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 比较大小：__________填”或“ 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以比较两分母的大小即可 【详解】因为，且， 所以 所以 故答案： 13. 集合的真子集的个数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可. 【详解】因为， 则的元素个数为，故A有个真子集． 故答案为：. 14. 已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题得，解不等式即得解. 【详解】， ， 所以, 所以， 当且仅当或时等号成立. 所以，， 所以 恒成立， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】先化简求得集合，再根据集合的交并补运算求解. 【详解】解：（1），解得或4， ∴，∴； （2）∵，故. 【点睛】本题考查了集合的交并补运算，属于容易题. 16. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）﹣2；（2）{x|﹣＜x＜1}． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意可知，1，是方程ax2+3x﹣1=0的两根，通过韦达定理可求出a的值；（2）将（1）中的a代入不等式ax2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；（注意二次项系数小于0要变形求解） 试题解析： （1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1， ∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2， ∴a的值为﹣2； （2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0， ∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣， ∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}． 考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集． 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【小问1详解】 ∵ ，∴. 又 ， ∴ ，. 【小问2详解】 ∵ “”是“”成立的充分不必要条件， ∴ . 当时，满足，此时，解得. 当时，若满足，则需， 解得. 综上，实数的取值范围为. 18. 已知，，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解最值； （2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可. 【小问1详解】 ，，且， 所以，所以， 即，，当且仅当，时取等号，的最大值为； 【小问2详解】 ，所以，且，， 当且仅当时等号成立，即， 又因为，可求得，. 所以的最小值为5. 19. 如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）． （1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围； （2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积． 【答案】（1） （2）当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米 【解析】 【分析】（1）根据相似关系列出等式即可求解；（2）根据均值不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 解得或，即x的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当时等号成立． 故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 皋兰一中20262027学年度第一学期高一年级10月考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B. 若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C. 存在一个实数，使得 D. 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 3. 某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 给出下列结论: ①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则. 其中正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（ ） A. 17 B. 7 C. D. 6. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组中M，N表示不同集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “且”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 11. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 比较大小：__________填”或“ 13. 集合的真子集的个数是__________． 14. 已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合. （1）求； （2）求. 16. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知，，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 19. 如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）． （1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围； （2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $