精品解析：广东惠州市第一中学2026-2027学年高一上学期10月综合学情调研数学试题

惠州一中2029届高一（上）10月综合学情调研 数学 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 5. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 7. 已知均为正实数，，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 37 B. 39 C. 48 D. 57 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题p的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为1 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，高斯函数在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的， B. 若不等式的解集为，则 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共20分） 12. 已知集合，，若，则实数______. 13. 若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为______. 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围； （2）已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 18. 已知函数． （1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中2029届高一（上）10月综合学情调研 数学 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，画出数轴，可求出结果. 【详解】集合，，在数轴上表示如图所示：由图可得. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，改量词、否定结论即可得解. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 而命题“”是全称命题， 所以命题“”的否定是“”， 故选：D. 3. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要的定义判断即可. 【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 只有或满足要求. 故选：. 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对A，当时，，A错； 对B，例如时，，B错； 对C，例如，满足，但，C错； 对D，若，则，所以，D正确． 故选：D． 5. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】解得到或，分，和三种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，解得或， 变形为， 当，即时，不等式解集为空集，不合要求，舍去， 当，即时，解集为， 要想不等式组仅有一个整数解，则，解得， 与求交集得； 当，即时，解决为， 要想不等式组仅有一个整数解，则，解得， 与求交集得， 综上，的取值范围是或. 故选：B 6. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有. 故选：C 7. 已知均为正实数，，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【详解】因为，即， 设，则，且， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 8. 已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 37 B. 39 C. 48 D. 57 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到集合的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合中的元素，从而推得的取值范围，由此得解. 【详解】因为集合， 又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素， 所以集合中没有重复元素， 因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素， 所以在的特征数构成中，必有和，不妨设， 要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即， 则， 此时有最大值为，即； 要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即， 则， 此时有最小值为，即， 综上：， 显然，选项A不满足，故A正确； 选项BCD都满足，故BCD错误. 故选：A. 【点睛】关键点睛： 本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使取得最值时，中的元素情况，由此得解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题p的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可. 【详解】对于A，命题，则命题p的否定是，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，，即， 即，故a的取值范围为，故C正确； 对于D，关于x的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A直接利用基本不等式求解即可，选项B利用重要不等式求解即可，选项C利用基本不等式中的常数代换求解即可，选项D把双变量换成单变量的二次函数形式求解即可，注意二次函数的定义域. 【详解】对于A选项：所以， 当且仅当，即，时取得，与，相符，即的最大值为，故A错； 对于B选项：， 当且仅当，即，时取得，与，相符，故B对； 对于C选项：， 当且仅当即，时取得，与，相符，故C对； 对于D选项：，又因为，可得， 是开口向下的二次函数，在时取最大值，但与不符，因此，故D错. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，高斯函数在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的， B. 若不等式的解集为，则 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；换元并由一元二次不等式的整数解的情况列出不等式组求解判断B；由并结合不等式性质推理判断C；取分析判断D. 【详解】对于A ，取，则，，此时，A错误； 对于B，令，由，得， 依题意，关于的一元二次不等式只有、、三个整数解，、不是该不等式的整数解， 结合二次函数性质，得，解得，B正确； 对于C，由，得 ，而， 因此集合共有个元素，C正确； 对于，当时，，，，此时关于的方程有无数个解，正确. 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共20分） 12. 已知集合，，若，则实数______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求参数的值. 【详解】因为，所以. 根据集合中元素的互异性，可知且. 若，此时，，满足. 若或（舍去）. 此时，，满足. 综上或. 13. 若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分母恒正，直接移项整理成二次不等式，利用二次式恒大于0的条件，且判别式小于0，求解参数范围. 【详解】因为， 不等式 可化为， 整理得， 所以对任意实数恒成立， ①若，即，不等式化为，即，不是对所有实数成立，舍去； ②若 ，则必须同时满足， 解不等式得， 由，即， 解不等式得或， 综上，实数的取值范围为. 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得，再由补集与交集的概念求解， （2）转化为集合间的关系，分类讨论求解． 【小问1详解】 ∵或， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ①当时，满足，即，解得. ②当时，因为，所以 ，即， 综上，实数的取值范围为. 16. （1）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围； （2）已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）{或}；（2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可； （2）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围结合必要不充分条件的定义计算即可. 【详解】（1）设为的两个不等的负根，则， 解得，记集合， 而，解之得，记集合， 若p真q假，则， 若p假q真，则， 综上若、一真一假，则{或} ； （2）由，解不等式得， 记集合， 由， 解不等式得， 记集合， 因为q是p的必要不充分条件， 所以集合C是集合D的真子集， 则，解得，显然等号不能同时取到， 故实数的取值范围为. 17. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 【答案】（1） （2）最大值为平方米，米. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式，将代入即可求出的值； （2）利用（1）中得到的关系式结合基本不等式求出的范围即可求出面积的最大值以及此时，的值. 【小问1详解】 设圆与道路1、道路2、直线的切点分为，，，连接，，， 由切线长定理可知，，则， 由题知且，，， 即，化简得.① 把代入①，解得； 【小问2详解】 由题有，， 因为，所以， 令，则，解得， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 解得，此时，， 则， 所以的面积的最大值为平方米，此时米. 18. 已知函数． （1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或． （3） 【解析】 【分析】（1）分与讨论，当时结合二次函数图像，列出不等式，代入计算，即可求解； （2）先因式分解，然后对两根的大小进行讨论，即可求解； （3）先令，由可得，将问题转化为有四个不同的实根，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【小问1详解】 由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． 【小问2详解】 不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 【小问3详解】 当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）不是“完美集”， 是“完美集”； （2）； （3）“完美集”． 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【小问1详解】 （1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； 【小问2详解】 是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以； 即的取值范围是； 【小问3详解】 若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $