精品解析：广东省惠州市博罗中学2025-2026学年高一上学期期中教学质量检测数学试题

广东省惠州市博罗县博罗中学2025-2026学年第一学期 高一期中教学质量检测 本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟. 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在R上的奇函数,当时, ,那么当时, 的解析式为（ ）. A. B. C. D. 5. 下列结论中不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件. B. 在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件. C. 若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件. D. “”是“”的充分不必要条件. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y(km)与出发时间x(h)的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后多少小时第2次相遇？（ ） A. 2 B. 4.5 C. D. 8. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、多项选择题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数. B. 函数的值域为. C. 若不等式的解集是，则不等式的解集是. D. 定义在R上的函数满足，则. 11. 已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合A的非空真子集的个数是62个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上） 12. 已知函数是幂函数，在上是减函数，则实数的值为___________. 13. 若函数是奇函数，则实数__________. 14. 已知函数，函数若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式 （1） （2） 16. 已知函数. （1）求，； （2）若，求的值； （3）若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围（不需要证明）. 17. 定义在上的函数满足：①任意，都有；②时，有. （1）判定在上的奇偶性，并说明理由; （2）判定在上的单调性，并给出证明. 18. 为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. （1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） （2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 19. 小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数.如图. 例如，函数在上为下凸函数. 通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）： 若是区间上的下凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知在上为下凸函数，若，求的最大值； （2）用定义严格证明：二次函数在上是下凸函数. （3）设，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市博罗县博罗中学2025-2026学年第一学期 高一期中教学质量检测 本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟. 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合运算直接求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：A 2. 下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数在上是奇函数，且为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数在上不是奇函数，且为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数在上是偶函数，且不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数在上奇函数，且为增函数，D满足条件. 故选：D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 4. 已知定义在R上的奇函数,当时, ,那么当时, 的解析式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义,可以直接写出当时, 的解析式. 【详解】解：设,则, ∵ ∴. 故选D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,考查了奇函数的性质. 5. 下列结论中不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件. B. 在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件. C. 若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件. D. “”是“”的充分不必要条件. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的包含关系可判断AD；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【详解】对于A， 是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，正确； 对于B，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，正确； 对于D选项，，， 是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件，正确. 故选：B. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再结合的性质求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意， 当时， 因为为二次函数，且函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：. 7. 如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y(km)与出发时间x(h)的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后多少小时第2次相遇？（ ） A. 2 B. 4.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有图可得甲乙函数解析式，再求交点横坐标即可. 【详解】由图可知甲的函数解析式为，乙的解析式为， 令，解得. 故选：C 8. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 二、多项选择题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由不等式性质的同向可加性可判断；对于B，当时，不等式不成立；对于C，根据不等式性质同乘一个正数不等号方向不变；对于D，可举例判断. 【详解】由，得，则A符合题意； 当时，满足， 此时，则，B不符合题意； 由，得，C符合题意； 当时，满足， 此时，则，D不符合题意. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数. B. 函数的值域为. C. 若不等式的解集是，则不等式的解集是. D. 定义在R上的函数满足，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数相等的两要素可判断A，根据求解值域判断B，由题意及根与系数的关系得到，，，再代入不等式求解即可判断C，已知等式用代替得到新等式，两式联立消去求出判断D. 【详解】对于A， 的定义域为，的定义域为R， 定义域不相同，不是同一函数，所以A错误； 对于B，函数的定义域为R，且，则， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，因为的解集是， 故且，3为方程的解． 故，故，， 故不等式即为， 故，解得，其解集为，故C正确； 对于D，已知 ①，用代替可得 ②. 由①②消去可得： ， 化简得，即，故D正确. 故选：BCD 11. 已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合A的非空真子集的个数是62个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义求得，即可判断AB；根据充分条件和必要条件、集合间的包含关系求出m，即可判断CD. 【详解】时，，时，， 时，，时，， 时，，时，， ∴，集合A的非空真子集有：个．故A错误，B正确； 又若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确； 若，当时，； 当时，， 综上，∴D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上） 12. 已知函数是幂函数，在上是减函数，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由幂函数的定义及性质求解实数的值. 【详解】函数是幂函数， ，解得或， 当时，，在单调递增，故不成立， 当时，，在单调递减，故成立， 故答案为： 13. 若函数是奇函数，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为，且为奇函数， 则，即，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，函数若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，由题意是的子集，列不等式即可求解. 【详解】当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 由题意，总使， 即，总有， 所以是的子集， 所以，解得， 故所求为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式 （1） （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式求解方法求解即可； （2）根据分式不等式求解方法求解即可. 【小问1详解】 因为，即， 故对应方程的根为， 则该不等式的解集是或. 【小问2详解】 由，即， 得，即， 等价于， 解得或， 故该不等式的解集是或. 16. 已知函数. （1）求，； （2）若，求的值； （3）若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围（不需要证明）. 【答案】（1），； （2）或，； （3）作图： 【解析】 【分析】（1）直接求解即可； （2）对a进行分类讨论求解； （3）结合图象直接得到m的范围． 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 当时，； 当时，或， 或，； 【小问3详解】 函数图象如下图所示， 当时，，开口向下， 最大值为，由数形结合思想可知， 函数的图象与直线有三个交点， 只需，故实数的取值范围为. 17. 定义在上的函数满足：①任意，都有；②时，有. （1）判定在上的奇偶性，并说明理由; （2）判定在上的单调性，并给出证明. 【答案】(1) 由已知 令，则，， 令，则，即， 是上的奇函数. (2) 任取，，满足， 又，，，又，， ，， 时，有，，即， 即在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法， y＝0求出f（0）的值，结合y＝﹣x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可． （2）先设，然后作差求f（x1）﹣f（x2），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定． 【详解】(1) 略 （2）略 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数奇偶性的判定，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，属于中档题． 18. 为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. （1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） （2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 【答案】（1） （2）年产量为万件时，年利润取得最大值万元 【解析】 【分析】(1)根据年利润年销售额固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可； (2)当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，最后综合即可． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 此时，； 当时，， 当且仅当，即时，取得等号． 因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值万元． 19. 小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数.如图. 例如，函数在上为下凸函数. 通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）： 若是区间上的下凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知在上为下凸函数，若，求的最大值； （2）用定义严格证明：二次函数在上是下凸函数. （3）设，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）函数的定义域为R，设， 则 ，当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数是下凸函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义，列出不等式求解得答案； （2）结合下凸函数的定义，利用作差法证明即可； （3）构造并证明它在上为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值. 【小问1详解】 由在上为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号， 则，即,当且仅当时取等号，所以的最大值是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，设， 则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 因此 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题第3问，构造函数并证明其为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $