3.2 从有理数到实数 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学浙教版七年级上册“从有理数到实数”新授课同步练，以“基础巩固—能力提升—拓展探究”分层设计，覆盖无理数、实数分类等核心知识点，通过概念辨析、运算应用到创新探究的路径，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|无理数判断、实数分类、相反数与绝对值|选择填空辨析概念，解答题强化数轴表示与大小比较，夯实基础| |能力提升|无理数估算、综合分类讨论|通过“整数部分与小数部分”“数值转换器”等题型，提升推理与运算能力| |拓展探究|无理数构造、数轴距离计算|设计“构造3-4之间无理数”“数轴上点距离”等探究题，培养创新意识与应用能力|

浙教版数学七年级上册 3.2 从有理数到实数 课时作业 3.2 从有理数到实数 课时作业 浙教版 七年级上册 · 第3章 实数 班级________ 姓名________ 学号______ 得分______ 一、知识梳理 知识点1 无理数 无限不循环小数叫做无理数。 常见的无理数有三类： ① 含 π 的数：，，， 等； ② 开方开不尽的数：，，， 等； ③ 有规律但不循环的无限小数：（相邻两个 1 之间 0 的个数依次增加 1）。 特别提醒：带根号的数不一定是无理数，如 ， 都是有理数；无限小数也不一定是无理数，如 是无限循环小数，它是有理数。 知识点2 实数及其分类 有理数和无理数统称实数。实数有两种常用的分类方法： 按定义分类：实数分为有理数与无理数 按正负分类：实数分为正实数、0、负实数。 有理数包括整数和分数，也可以说成“有限小数和无限循环小数”；无理数就是无限不循环小数。 知识点3 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 以单位长度 1 为边作正方形，其对角线长为 ，以原点为圆心、对角线长为半径画弧交数轴正半轴于点 A，点 A 表示的数就是 知识点4 实数的相反数、绝对值 有理数中的有关概念在实数范围内仍然适用： (1) 的相反数是 ，如 的相反数是 ， 的相反数是 ； (2) 绝对值：当 时，；当 时，；当 时，。 例如：，，（因为 ，所以 ）。 知识点5 实数的大小比较 (1) 数轴法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； (2) 法则：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小； (3) 平方法（估算）：比较 与 2.6 的大小，只要比较 7 与 的大小，因为 ，所以 。 易错警示：① 与 比较时，先比较 与 3，由 得 ，所以 ；② 是无理数，，所以 ；③ 是分数，是有理数，不是无理数。 二、典例精析 例 1 实数的分类 把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，，，（相邻两个 2 之间 0 的个数依次增加 1）。 【解】有理数集合：，，，，，； 无理数集合：，，。 点拨：，虽然带根号，但开得尽方，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是分数（化成小数是无限循环小数），也是有理数。 例 2 实数的相反数与绝对值 求下列各数的相反数和绝对值：(1) ；(2) ；(3) 。 【解】(1) 的相反数是 ，； (2) 的相反数是 ，； (3) 的相反数是 。因为 ，所以 ，所以 。 点拨：去绝对值号前一定要先判断符号！判断 的符号，可以把 、 都平方后比较，或者先估算出根号的近似值。 例 3 实数的大小比较 比较大小：(1) 与 4；(2) 与 ；(3) 与 。 【解】(1) 因为 ，所以 ，即 ； (2) 因为 ，所以 ，所以 ； (3) 因为 ，，所以 。 三、基础达标 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 0　　B. 　　C. 　　D. 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 无限小数都是无理数　　B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数都是无限不循环小数　　D. 实数分为正实数和负实数 3. 在 ，，，，，，， 这 8 个数中，无理数的个数是（　　） A. 2 个　　B. 3 个　　C. 4 个　　D. 5 个 4. 的相反数是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5. 的值是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6. 下列比较大小正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7. 与数轴上的点一一对应的数是（　　） A. 整数　　B. 有理数　　C. 无理数　　D. 实数 8. 若实数 满足 ，则 等于（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 9. 估计 的值在（　　） A. 2 与 3 之间　　B. 3 与 4 之间　　C. 4 与 5 之间　　D. 5 与 6 之间 10. 下列四个数中，最大的数是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. （二）填空题（每空 2 分，共 26 分） 11. 的相反数是 ____________， = ____________。 12. 比较大小（填“>”“<”或“=”）： ______ 2.6； ______ 。 13. 数轴上表示 的点与原点之间的距离是 ____________。 14. = ____________。 15. 若 是 的整数部分， 是 的小数部分，则 = ______， = ______。 16. 绝对值等于 的实数是 ____________。 17. 一个数的平方等于 3，这个数是 ____________，它是 ____________ 数（填“有理”或“无理”）。 18. 请写出一个大于 2 且小于 3 的无理数：____________。 19. 在实数 ，，， 中，最小的数是 ____________，最大的数是 ____________。 （三）解答题（共 44 分） 20.（10 分）把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，，，。 (1) 有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2) 无理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3) 负实数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}。 21.（8 分）求下列各数的相反数与绝对值： (1) ；　(2) ；　(3) ；　(4) 。 22.（8 分）把下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来： ，，，，，。 23.（8 分）如图，在数轴上标出了 0，1，2 等点。请你按下列要求作图并回答： (1) 说明图中点 A 表示的数是 的理由； (2) 在数轴上画出表示 的点 B； (3) 在哪两个连续整数之间？ 24.（10 分）已知 。 (1) 求 ， 的值；　(2) 求 的相反数；　(3) 判断 是有理数还是无理数，并说明理由。 四、能力提升 25. 设 为正整数，且 ，则 的值为（　　） A. 6　　B. 7　　C. 8　　D. 9 26. 下列说法中错误的是（　　） A. 两个无理数的和一定是无理数　　B. 任何实数都可以用数轴上的点表示 C. 无理数都是无限小数　　D. 实数不是有理数就是无理数 27. 数轴上点 A 表示 ，点 B 表示 2，则 A，B 两点之间的距离是 ____________。 28. 若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 = ____________。 29. 写出两个符合条件的无理数，使它们都大于 且小于 ：____________，____________。 30.（8 分）已知 的整数部分是 ，小数部分是 。 (1) 直接写出 ， 的值；　(2) 求 的值；　(3) 求 的值（结果可保留根号）。 31.（8 分）有一个数值转换器，输入一个非负实数 ，先取它的算术平方根，若结果是有理数则输出，若结果是无理数则再取一次算术平方根……如此继续。 (1) 输入 ，输出结果是多少？　(2) 输入 ，输出结果是多少？ (3) 若输入的数是 5，请判断能否输出有理数，并简要说明理由。 五、拓展探究 32.（8 分）【构造无理数】 (1) 请写出一个无理数，使它大于 3 且小于 4（写出两种不同类型的答案）； (2) 小明说：“（按顺序把正整数依次写下去）是无理数。”你同意吗？请说明理由； (3) 两个无理数的和一定是无理数吗？请举例说明。 33.（8 分）【数轴上的探究】如图，数轴上点 A，B 表示的数分别为 和 。 (1) 求 A，B 两点之间的距离（结果可保留根号）； (2) 若点 C 在数轴上，且 C 到 A 的距离等于 3，求点 C 表示的数； (3) 若点 D 在 A，B 之间，且 D 表示的数是整数，求点 D 表示的数。 参考答案与解析 （一）选择题 1. C　【解析】 是有理数； 是分数，是有理数；0 是整数； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数。故选 C。 2. C　【解析】无限循环小数是有理数，A 错误； 是有理数，B 错误；实数还包括 0，D 错误；无理数的定义就是无限不循环小数，C 正确。故选 C。 3. B　【解析】，， 是无理数，共 3 个。注意 与 都是有理数。故选 B。 4. A　【解析】只需在数前面添负号：。故选 A。 5. B　【解析】因为 ，所以 ，所以 。故选 B。 6. B　【解析】，所以 ，A 错误；，所以 ，两边乘 -1 得 ，B 正确；，所以 ，C 错误；，D 错误。故选 B。 7. D　【解析】实数与数轴上的点是一一对应的。故选 D。 8. C　【解析】绝对值等于正数 的数有两个，互为相反数。故选 C。 9. B　【解析】因为 ，所以 。故选 B。 10. C　【解析】，其余三个数都小于或等于 0，所以最大的是 。故选 C。 （二）填空题 11. ；。【解析】相反数只改变符号；负数的绝对值是它的相反数。 12. >；>。【解析】，所以 ；，所以 。 13. 。【解析】数轴上表示实数 的点与原点的距离就是 ，而 。 14. 。【解析】因为 ，所以 ，，所以 。 15. 3；。【解析】，所以 ，整数部分为 3，小数部分 = 原数 - 整数部分。 16. 。【解析】绝对值等于正数的数有两个。 17. ；无理。【解析】，则 ，3 不是完全平方数，所以 都是无理数。 18. 答案不唯一，如 （因为 ）、 等。 19. ；。【解析】，，，所以 。 （三）解答题 20.【解】(1) 有理数集合：，，，，，，； (2) 无理数集合：，，； (3) 负实数集合：，，。 注意：，，都是有理数；判断一个数是不是无理数，要先化简再判断。 21.【解】(1) 的相反数是 ，； (2) 的相反数是 ，； (3) 的相反数是 。因为 ，所以 ，； (4) 的相反数是 。因为 ，所以 ，。 22.【解】因为 ，，， 所以 。 23.【解】(1) 以数轴上单位长度 1 为边长作正方形，它的对角线长的平方等于 ，所以对角线长为 。以原点 O 为圆心、这条对角线长为半径画弧，与数轴正半轴交于点 A，则 OA ，所以点 A 表示的数是 。 (2) 在原点左侧，用同样的半径画弧与数轴负半轴相交，交点即为点 B，它表示 （点 A 与点 B 关于原点对称）。 (3) 因为 ，所以 ，即 在 1 与 2 之间。 24.【解】(1) 因为 ，，且两者的和为 0， 所以 且 ，得 ，。 (2) ，它的相反数是 。 (3) 是无理数。理由： 是无理数，无理数与有理数 的和仍是无限不循环小数，所以是无理数。 （四）能力提升 25. C　【解析】因为 ，即 ，所以 ，故 。故选 C。 26. A　【解析】 与 都是无理数，但它们的和为 0，是有理数，所以 A 错误，其余三项都正确。故选 A。 27. 。【解析】点 A 在原点左侧，距离原点 ；点 B 在原点右侧，距离原点 2，所以 AB 。 28. 。【解析】因为 ，所以 ，，，所以 。 29. 答案不唯一，如 不行（它是有理数），可填 、、 等，只要大于 且小于 且是无限不循环小数即可。 30.【解】(1) 因为 ，所以 ，故 ，。 (2) 。 (3) 。 31.【解】(1) ，是有理数，所以输出 16。 (2) ，是有理数，所以输出 9。 (3) 不能。因为 是无理数， 仍是无理数，继续开方结果始终是无理数，所以永远不会输出有理数。 （五）拓展探究 32.【解】(1) 答案不唯一。如 （因为 ，所以 ）；又如 ，或 。 (2) 同意。这个小数是无限的，而且数字排列不循环（因为位数越来越多的整数依次出现，不可能出现固定的循环节），所以它是无限不循环小数，即无理数。 (3) 不一定。例如 是有理数；而 仍是无理数。所以两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数。 33.【解】(1) AB 。 (2) 点 C 表示的数为 或 。 (3) 因为 ，且 ，所以整数 可以是 0 或 1，即点 D 表示的数是 0 或 1。 六、错题整理与自我评价 请把本次作业中做错的题号、错因和订正思路填入下表，并在最后一栏给自己评星（★~★★★★★）。 错题题号 错因分析（概念不清 / 计算失误 / 审题不清 / 方法不会） 订正思路 本节我的掌握情况：无理数的判断（　　）；实数的分类（　　）；绝对值化简（　　）；大小比较（　　）。 自我评价：________________________　　家长（教师）签字：________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $