3.2 从有理数到实数 培优测试 2026-2027学年 浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦实数概念与运算，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到跨模块应用的递进，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|无理数估值、数轴表示|选择1-5题结合数轴直观考查大小比较，填空11-13题强化实数与数轴对应| |能力提升|实数综合运算、推理证明|选择6-8题涉及代数式化简与大小比较，解答16-18题通过类比探究培养运算能力| |综合拓展|跨模块应用、动态问题|解答20-23题结合数轴折叠、几何图形运动，发展空间观念与模型意识|

3.2 从有理数到实数 培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列四个式子： ① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5． 其中大小关系正确的式子的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（　　） n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 5．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，以下结论：①a﹣b＞0；②a+b＜0；③（b﹣1）（a+1）＞0；④ ．其中结论正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①②④ 6．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 7．数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 .下列四个选项中，有（　　）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系. ①②③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a>–4 B．bd>0 C．|a|>|d| D．b+c>0 9．已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（　　） A． B． C． D． 10．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 [ ]=9 [ ]=3 [ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每空4分，共20分） 11．如图，把半径为1的圆从数轴上表示-1的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点，则点表示的数为　 　． 12．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是　 　；点B表示的数是　 　． 13．若 ， ， ，则 的大小关系用“＜”号排列为 　 　． 14．已知，，，．若n为整数且，则n的值为　 　． 15．阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，可得：，．按照此规定计算的值　 　． 三、解答题（共8题，共70分） 16．课堂上老师讲解了比较 和 的方法，观察发现11-10＝15-14＝1，于是比较这两个数的倒数： 因为 ，所以 ，则有 ， 请你设计一种方法比较 与 的大小， 17．下面是小李同学探索的近似数的过程： ∵面积为107的正方形边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图， ∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107 ∴102+2×10•x+x2＝107 当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即． （1）的整数部分是　 　； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 18．阅读下面求 近似值的方法，回答问题： ①任取正数 ； ②令 则 ； ③ ，则 ； ……以此类推 次，得到 其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的 阶不足近似值.仿照上述方法，求6的近似值. ①取正数 . ②于是 a2= 　 　；则　 　 ③ 的3阶过剩近似值 是　 　，3阶不足近似值是　 　 19．阅读下面材料：随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 不是有理数，并给出了证明．假设是 有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得 = ，于是p= q，两边平方得p2=2q2．因为2q2是偶数，所以p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即q2=2s2，所以q也是偶数，这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾，这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数． 请你有类似的方法，证明 不是有理数． 20．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） （1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　 　表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ② 表示的点与数　 　表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　 　、点B表示的数是　 　 （3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值. 21．对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如. （1）则　 　；　 　； （2）现对119进行如下操作：，这样对119只需进行3次操作后变为1. 对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ； 对实数恰进行2次操作后变成1，则最小可以取到 ▲ ； 若正整数进，3次操作后变为1，求的最大值. 22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （1）操作一：折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　 　表示的点重合； （2）操作二：折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ① 表示的点与数　 　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是　 　； （3）操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是　 　. 23．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2 个单位长度， 长方形ABCD的长AD是4 个单位长度，长方形EFGH的长EH是8 个单位长度，点E在数轴上表示的数是5 ，且E、D两点之间的距离为12 。 （1）点H在数轴上表示的数是　 　点，点A在数轴上表示的数是　 　。 （2）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN= EH，M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？ （3）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN= EH，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由。 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解： ① 、∵8<10，∴ ，符合题意； ② 、∵65>64，∴ ，不符合题意； ③④ 、∵2< <3，∴ ，③④符合题意； 故答案为：C 【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。 2．【答案】B 【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较 【解析】【解答】解：由数轴可得：-2＜a＜-1＜0＜c＜2＜b＜3， A、∵-2＜a＜-1＜0＜c＜2＜b＜3， ∴，不符合题意； B、∵∵-2＜a＜-1＜0＜c＜2＜b＜3， ∴a-b＜0，符合题意； C、∵-2＜a＜-1＜0＜c＜2＜b＜3， ∴ac＜bc，不符合题意； D、∵-2＜a＜-1＜0＜c＜2＜b＜3， ∴a＞-b，不符合题意； 故答案为：B。 【分析】根据数轴先求出-2＜a＜-1＜0＜c＜2＜b＜3，再对每个选项一一判断即可。 3．【答案】B 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解： ， ， ， 即 ， 又 、 是正整数， 的最大值为28， 比36更接近28， 的值比较接近 ，即比较接近5. 故答案为：B. 【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案. 4．【答案】C 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：A、， ， ， ，A错误； B、，263>262.44， ，B错误； C、，， 当时，， 是正整数， 或或， 有3个正整数解，C正确； D、， ， ， ，D错误， 故答案为：C. 【分析】被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大. 5．【答案】B 【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较 【解析】【解答】解：由a、b的数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0，b＞1， ①∵a＜0，b＞0， ∴a﹣b＜0，故本小题不符合题意； ②∵﹣1＜a＜0，b＞1， ∴a+b＞0，故本小题不符合题意； ③∵﹣1＜a＜0，b＞1， ∴b﹣1＞0，a+1＞0， ∴（b﹣1）（a+1）＞0，故本小题符合题意； ④∵b＞1， ∴b﹣1＞0， ∵|a﹣1|＞0， ∴ ，故本小题符合题意． 故答案为：B． 【分析】先利用数轴判断出a、b的正负和大小，再逐项判定即可。 6．【答案】A 【知识点】无理数的大小比较 【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×=681×1=681， b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-×=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6， c= = = = = ＜681， ∴b＜c＜a． 故答案为：A． 【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣×，再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。 7．【答案】B 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【解答】解：①由数轴可知，a＜b＜2， ∴a-2＜0，2-b＞0，a-b＜0， ∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）-（2-b）=-a+2-2+b=b-a， |a-b|=-（a-b）=b-a， ∴|a-2|-|2-b|=|a-b|， 故①可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系； ②由数轴可知：2＜b＜a， ∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＞0， ∴|a-2|-|2-b|=a-2+2-b=a-b， |a-b|=a-b， ∴|a-2|-|2-b|=|a-b|， 故②可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系； ③a＜2＜b， ∴a-2＜0，2-b＜0，a-b＜0， ∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）+（2-b）=-a+2+2-b=4-b-a， |a-b|=-（a-b）=b-a， ∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|， 故③不可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系； ④2＜a＜b， ∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＜0， ∴|a-2|-|2-b|=a-2+（2-b）=a-2+2-b=a-b， |a-b|=-（a-b）=b-a， ∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|， 故④可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系； 故答案为：B. 【分析】根据数轴上各数的位置得出各数的大小关系，从而得出绝对值里面代数式的符号，去绝对值，化简即可得出答案. 8．【答案】C 【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较 【解析】【解答】A、由图可知： ，所以A不符合题意； B、由图可知： ，则 ，所以B不符合题意； C、由图可知： ，所以C符合题意； D、由图可知： ，且 ，因此 ，所以D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】本题考查了实数与数轴.根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案． 9．【答案】C 【知识点】平方根；无理数的大小比较 【解析】【解答】解： 当0<x<1时， ，当x>1时， ， ∴ ， ， ，则x=. 故答案为：C 【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2, 再列方程解出x即可。 10．【答案】C 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：121 ∴对121只需进行3次操作后变为1. 故选C． 【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可． 11．【答案】 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【解答】解：∵半径为1的圆的周长为2π， ∴AA'=2π， ∴ 点表示的数为； 故答案为：. 【分析】求出圆的周长即为AA'的长，再减去1即得点表示的数. 12．【答案】； 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【解答】由图可知，正方形的边长是1，所以，对角线是 ，所以，点A表示的数是 ；点B表示的数是 ．故答案为 ， ． 【分析】由图可知，正方形的边长是1，根据勾股定理知其对角线长，根据同圆的半径相等得出A点到表示2的点的距离就是，B点到表示2的点的距离就是，OA=2-，OB=2+，从而得出A，B两点所表示的数。 13．【答案】a＜b＜c 【知识点】无理数的大小比较 【解析】【解答】解：∵a2=2000+2 ，b2=2000+2 ，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 14．【答案】44 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：由题干信息得：，， ∵1936＜2023＜2025， ∴44＜＜45， ∵，且n为整数， ∴n=44， 故答案为：44. 【分析】根据题目给出的信息：，，可得：44＜＜45，从而可以得出答案. 15．【答案】 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∴的值5--2=3-； 故答案为：. 【分析】先估算出，即得5-的整数部分为2，利用5--2即得小数部分. 16．【答案】解： 【知识点】无理数的大小比较 【解析】【分析】比较二者的大小可以分别求出和的平方，根据二次根式的性质进行大小比较，得到和的大小比较。 17．【答案】（1）8 （2）解：∵面积为76的正方形边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，如图所示， ∵图中S正方形＝82+2×8•x+x2，S正方形＝76， ∴82+2×8•x+x2＝76， 当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即． 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81， ∴8＜＜9， ∴的整数部分是8； 故答案为：8. 【分析】（1）被开方数大，算术平方根就大，据此估算即可； （2）根据题目提供的方法进行解答即可. 18．【答案】；；； 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵ ∴ ，即 ，即 . 故答案为： ， ， ， . 【分析】由材料中的公式，将a1的值代入即可求出a2，a3即可解答. 19．【答案】解：假设 是有理数， 则存在两个互质的正整数m，n，使得 = ， 于是有2m3=n3， ∵n3是2的倍数， ∴n是2的倍数， 设n=2t（t是正整数），则n3=8t3，即8t3=2m3， ∴4t3=m3， ∴m也是2的倍数， ∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾， ∴假设错误， ∴ 不是有理数 【知识点】实数的概念与分类 【解析】【分析】根据题意利用反证法假设 是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确． 20．【答案】（1）2 （2）-3；2﹣ ；-3.5；5.5 （3）解：①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0.解得：a＝2. ②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2. 答：a的值为2或﹣2. 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为 ＝0， 设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有 ＝0，解得x＝2， 故答案为：2； （ 2 ）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为 ＝1， ①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有 ＝1，解得y＝﹣3， ②设 表示的点所对应点表示的数为z，于是有 ＝1，解得z＝2﹣ ， ③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得： ＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5，5， 故答案为：﹣3，2﹣ ，﹣3.5，5.5； 【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数； （2）求出﹣1表示的点与3表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数； （3）分两种情况进行解答，向左移动4个单位，向右移动4个单位，列方程求解即可. 21．【答案】（1）11；-12 （2）解：①3；1 ②4； ③， ， ， ， ， . 次操作，故. . 是整数. 的最大值为255. 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：（1）由题意得，；， 故答案为：11；-12； （2）①对15进行1次操作后变为； 200进行第一次操作：， 第二次操作后：， 第三次操作后：， 故答案为：3；1； ②， ， ， ， 操作两次， ， ， ， 最小可以取到4； 故答案为：4； 【分析】（1）根据[a]的含义可得答案； （2）①根据[a]的含义和无理数的估计可求； ②根据[a]的含义倒推m的范围，可以得出m最小值； ③根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值． 22．【答案】（1）2 （2）；-5 （3） 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【解答】解：操作一， （1）∵表示的点1与-1表示的点重合， ∴折痕为原点O， 则-2表示的点与2表示的点重合， 操作二： （2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合， 则折痕表示的点为-1， ①设 表示的点与数a表示的点重合， 则 -（-1）=-1-a， a=-2- ； ②∵数轴上A、B两点之间距离为8， ∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4， ∵A在B的左侧， 则A、B两点表示的数分别是-5和3； 操作三： （3）设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时， 设AB=a，BC=a，CD=2a， a+a+2a=9， a= ， ∴AB= ，BC= ，CD= ， x=-1+ + = ， 如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时， 设AB=a，BC=2a，CD=a， a+a+2a=9， a= ， ∴AB= ，BC= ，CD= ， x=-1+ + = ， 如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时， 设AB=2a，BC=a，CD=a， a+a+2a=9， a= ， ∴AB= ，BC=CD= ， x=-1+ + = ， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是 或 或 . 【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为-1，①设 表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a= ，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值. 23．【答案】（1）； （2）解：由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为-9 线段EH上有一点N，且EN= EH，则N表示的数为7 M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过x秒后，M点表示的数为4x-9 ，N点表示的数为7 -3x ①当OM=2ON时，则有|4x-9 |=2|7 -3x|，解得x= 题意，舍去)或x= ②当ON=2OM时，则有2|4x-9 |=|7 -3x|，解得x= 或x= 经验证，不符合题意，舍去)。 综上所述，当x= 或x= 时，原点O恰为线段MN的三等分点 （3）解：)根据题意，因为M、N、F三点中点M的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况： ①当∠FMN=90°时，点M与点E重合，此时4t=ME=14 ，t= ②当∠MFN=90°时，MF 2+NF 2=MN 2 ∵MN=16 -4t，ME=14 -4t，EN=2 ，EF=2 ， ∴MF2=ME2+EF2=(14 -4t)2+(2 )2=16t2-112 t+400， MN2=(16 -4t)2=16t2-128 t+512， FN2=(2 )2+(2 )2=16， ∴16t2-112 t+400+16=16t2-128 t+512， 解得t=3 。 ③∠FNM≠90° 综上所述，存在这样的t，t的值为 或3 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【分析】（1）利用点在数轴上位置和两点之间的距离列式计算即可得解； （2）先利用中点的定义求出AM的长度，然后同（1）可求出点M表示的数；同样的可求点N表示的数，从而表示出运动x秒时M、N表示的数，即可得线段OM、ON的值，然后分OM=2ON、ON=2OM列出方程求解即可； （3）①当∠FMN=90°时，点M与点E重合，据此列出方程求解； ②当∠MFN=90°时，利用勾股定理得MF2+NF2=MN2，据此列出方程求解； ③当∠FNM≠90°不成立。 1 学科网（北京）股份有限公司 $