精品解析：天津市武清区武清区杨村第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

天津市武清区武清区杨村第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 第I卷（共45分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.） 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：，与平行，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 0或 4. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）． A. B. 1 C. D. 6. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 7. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 9. 过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共105分) 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） 10. 过点且与直线垂直的直线的方程是_____________． 11. 过点且与圆相切的两条直线互相垂直，则__________. 12. 已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________． 13. 若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为______． 14. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，使得点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是_____. 15. 若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，使得，则的最小值为_________________． 三、解答题（本大题共5个小题，共75分.） 16. 设直线的方程为． （1）求经过定点的坐标； （2）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 17. 如图，在长方体中，与交于点的中点为M． （1）求证：AN⊥平面BMN； （2）求直线与AN所成角的余弦值； （3）求点C与平面ABN的距离． 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，且，点在棱上，点为中点. （1）证明：若，则直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网命组卷网 天津市武清区武清区杨村第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶 段检测数学试题 第I卷（共45分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1.若向量ā=(，N5)是直线1的-个方向向量，则1的倾斜角为() π 2π 5π A.3 B.6 C.3 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线'的倾斜角为0∈[0，π)， 向量ā=-1,3)是直线的一个方向向量，故直线斜室k、V3 =-V5 -1 则m0-5,我0：经 2.在空间直角坐标系中，点P(1,-2,4)关于x02平面的对称点是（) A.（-1,2,4) B.(1,2,4) c(（1,-2,-4) D.（-1,-2,4) 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的概念求解 【详解】点P(L,-2,4)关于x02平面的对称点是(，2,4) 故选B 第1页/共24页 6学科网命组卷网 3已知直线4。m+y-(m+)=0.4x+刚-2m=0,4与5平行，则m等于() A.-1 B.1 C.±1 D.0或-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行直线斜率相等，即可求得m的值注意讨论两条直线是否重合. 【详解1直线4：mr+y-(m+)=0,4:x+my-2m=0,与平行 则两条直线的斜率相等，即 化简得m=±1 当m=1时，4：x+y-2=0,:x+y-2=0,两条直线重合，不合恩意 当m=-1时，：K-y=0,h:X-y+2=0,两条直线平行，符合恩意 因而m=-1 故选：A 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数的值，特别注意两条直线重合的情况，属于易错题 4在四楼锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若PA=ā，PB=6,PC=C,则 BE=( E D 1 1 1 a- b+ -c A. 2 2 第2页/共24页 命学科网命组卷网 a-36+c 1a-6+3c C.222 D.22 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 【详解】 BE-PE-P6-7PD-PR-7(P6+BD)-P6-7(BD-PB) -(BA+BC-PB)=(PA-PB+PC-PB-PB) 2 故选：C. 5,己知空同内=点4,12)，B(-2,0）,C(0,31),则点4到直线BC的距离是《). 46 2V3 A.6 B.1 C.3 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出cos∠ABC,利用同角三角函数的关系求出sin∠ABC,结 合d=AB-sin∠AB 计算即可求解。 【详解】空间内三点4,12).B(-1,20)C(0,3D 所以A-3,BC=5,BC=,1,Ba=(2,-1,2). 由cOS<ABC= BA-BC 33 BAC3xV53,所以sn∠ABC=V-cs'ABC-y6 1 第3页/共24页 6学科网列组卷网 所以点A到直线BC的距离d=AB .sin∠ABC=3x,、V会 故选：A 6.己知圆M:r+少-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆 N:(x-+(y-=l的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 【答案】B 【解析】 d=a 【详解】化简圆M:x2+(y-a=a2→M(0,a),片=a→M到直线x+y=0的距离a=V互 → +2=a2→a=2→M(0,2),5=2, 又N(,),片=1→MN=V2→h-<MN<h+户两圆相交选B 0D=20A-10B+10C 7.己知A,B,C,D为空间中四点，O为坐标原点，若 6 且A,B,C,D 四点共面，则=() 1 A.6 B.6 C.3 D.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到D=xB+yAC,进而得到OD=(1-X-y)O1+x0B+0C,根 据待定系数法求解即可 第4页/共24页 6学科网命组卷网 【详解】由题意可知，若A,B,C,D四点共面，则D=xMB+MC,xy∈R OD-04=x0B-04)+yOC-04) OD=(1-x-y)04+x0B+yoc 女0-号0-0s+2c,u-y ,x=1,y 6, 3,即3 故选：A. 8已知点A(-1,0),B(0,3),点P是圆（x-3+y=1上任意一点，则aPAB面积的最小值为( ) 11 9 A.6 B.2 C.2 D.6、10 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线AB的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线AB距离的最小值即 可求得最小值 【详解】两点A(-1,0),B(0,3),则ABFV-+3=V10,直线AB方程为y=3x+3, 圆(-3+y=1的圆心C3,0),半径r=1, 第5页/共24页 6学科网 命组卷网 点。到直线B:3x-y+3=0的距离4、/ 12 =6v10 V32+(-102 5, 因此点p到直线4B距窝的最小值为d-r-60 所以△PAB面积的最小值是 5-)=6-10 2×vi0x( 1 2 故选：D n+2 9.过P(m,n)作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B,当△PAB为正三角形时，， m-4的取值范 围为() [] B（-2,刂 [制 【答案】A 【解析】 k=n+2 【分析】根据圆的切线的性质，求得|OP=2,得到点P的轨迹方程为m2+n2=4,令一m-4,转化 为圆m2+n2=4 Q(4,-2) 上的动点到定点 的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可 求解。 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得OA⊥PA, 第6页/共24页 6学科网6组卷网 因为AP4B为正三角形，可得∠OpA=30,防以o1Q4 2 sin30° 即点P(m,m的轨迹方程为m2+=4, h=n1+2 令m-4,其几何意义为圆m2+n2=4上的动点和定点Q(4,-2)的连线的斜率， k=n+2 由m-4,可得kam-n-4k-2=0, 驱000践--20的鸟为+， 4k+2≤2 令d≤2，即V2+1,整理得122+16k≤0：即k(3k+4)≤0： n+2 解得3 k≤04的取值花0 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10过点02) x-y+1=0 与直线 垂直的直线的方程是 x+3y-7=0 【答案】 【解析】 【分析】设 P(x,y) 是所求直线上任一点，直线 3x-y+1= 0的方向向量为43)，由 (x-1,y-2)(1,3)=0 化简即可求解 【详解】设 P(x,y) 是所求直线上任一点， 第7页/共24页 命学科网命组卷网 3x-y+1=0 直线 的方向向量 为0,3.由x-山y-2)-.3)=0.得+3y-7=0 ,由 x+3y-7=0 故答案为： 1.过点(N5,0)且与圆2+y2=r2(>0)相切的两条直线互相垂直，则r= 6 【答案】2 【解析】 【分析】依题意可知圆心为O(0,0),半径为，结合点(N5,0)以及两切线垂直可知四边形0APB为正方 形，利用勾股定理可得半径， 【详解1易知圆t+少=r(>0)的圆心为00,0），半径为， 设点P(3,0). 过该点的两条切线与圆的切点分别为A,B,如下图所示： VA 依题意可知PA上PB,又因为 OB⊥PB,OA⊥PA 因此可知四边形O4PB为正方形，所以2r=√3，即可得·=V6 2 √6 故答案为：2 12已知直线1：mr+y-1=0与圆C:x2+y2-2x-4y=0相交于4，B两点，则CA+CB的最大值为- 第8页/共24页 6学科网 命组卷网 【答案】 2W2 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准方程得圆心C的坐标，再求直线I的定点坐标M,设线段AB的 中点为D,得CA+CB=2CD,进而得C1+C⑧=2CD≤2CM, 最后利用两点间的距离公式即可求 解。 【详解】由圆C:x+y-2x-4y=0得：(（x-+(0-2=5,所以C(1,2), 又直线：mr+y-1=0,令x=0,得y-1=0,即y=1,所以直线l过定点M(0,), 设线段1B的中点为D,所以CA+CB=2CD 所以Ci+CB=2CD=2CD≤2CM=21-0}+(2-1}=22 M D B 13.若直线I:y=x+3-k与曲线C:y=V1-术恰好有一个公共点，则实数k的取值范围为 【答案】 小周 【解析】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可。 【详解】直线/：y=c+3-k过定点(，3) 第9页/共24页 6学科网6组卷网 曲线C:y=Vi-x为以(0,0)为圆心，1为半径，且位于y轴上部分的半圆， 3 当直线1过点A(-1,0)时，直线1与曲线有两个不同的交点，即0=-k+3-k,解得2， 当直线与曲线C相切时，直线与圆C有一个交点， d=3-利 医心(0,0)到直线1的E离d一小+在.解行太-手 =1 3, 3 4 k 结合图象可知，当2或3时，直线I与曲线C恰有一个交点， .安效的a尽r小份 14在平面直角坐标系xOy中，若圆C:(x+4+(y-=r(>0)上存在点P,使得点P关于直线 y=x的对称点在圆Cx-4+少=4上，则r的取值范围是 【答案)B,] 【解析】 【分析】求出圆C关于直线y=x的对称圆的方程，由对称圆与圆C有公共点可得答案 【详解】圆G:+4+0-=r(>0 的圆心为C(4,) 设G(4,1 关于直线y=x的对称点为 C3(a,b) 第10页/共24页 可学科网丽组卷网 [1+b-4+a 2 2 所以b-1 1=-1·解得a=1, a+4 b=-4 所以C(-4,D关于直线'=的对称点为C), 由题意得，以C为圆心，以r为半径的圆与圆C有公共点。 由圆C的方程知，圆心为C(4,0）,半径为2 所以P-2≤C,C≤r+2,即lr-2水5≤r+2,解得：3≤r≤7. 所以'的取值范国是B刀 故答案为： [3,] 15若对于圆C:r+少+2x+2y+1=0上任意的点A,直线1：4-3y-9=0上总存在不同两点M,V MN 使得∠MAN≥90，则 的最小值为. 【答案】6 【解析】 【分析】首先判断直线I:4x-3y-9=0与圆C相离，结合图形得到当以MW为直径的圆H与圆C内切 时，且MN⊥CH时，MN取得最小值，即可得到答案 【详解】圆C:r+y2+2x+2y+1=0 得到C:(c++(0+=-l,圆心C-1-),r=1 C1-到a线1：4-3-9=0d-443-=2> 16+9 第11页/共24页 6学科网6组卷网 1:4x-3y-9=0 所以直线 与圆相离 如图所示， :4x-3y-9=0 直线 上总存在不同两点 ，使得∠MAW≥90 M,N 当以MW为直径的圆H与圆C内切时，且MN⊥CH时，MN取得最小值 所以MNm=2AH=2(CH+1)=6 故答案为：6 三、解答题（本大题共5个小题，共75分） 16设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R) (1)求经过定点P的坐标： (2)若直线在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)P(2,3) 3x-2y=0x+2y-8=0 (2) 学 【解析】 【分析】(1)整理可得a(x-2)+x+y-5=0 进而分析定点即可： (2)求直线！在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【小问1详解】 第12页/供24页 命学科网命组卷网 由(a+1)x+y-5-2a=0整理可得a(x-2)+x+y-5=0, x-2=0 x=2 令x+y-5=0,解得y=3, 所以不论0为何值，直线'必过一定点P(2,3) 【小问2详解】 由题意可知：(a+l)x+y-5-2a=0,且a+1≠0， x=5+2a 令x=0,解得y=5+2a;令y=0,解得a+1: 5t20-25+2a,解符a=2或8=2· 5 因为a+1 、1 当、5 2时，直线1的方程为：3x-2y=0: 1 当0=2时，直线1的方程为：x+2y-8=0: 3x-2y=0x+2y-8=0 综上所述：所求直线的方程为 或 17.如图，在长方体BCD-ABGD中，M4=4D=2,B=2N2,4C与BD交于点N,CD的中点 为M A D B D M C (1)求证：AN⊥平面BMW: 第13页/供24页 6学科网列组卷网 (2)求直 D,C与4AN所成角的余弦值： (3)求点C与平面ABN的距离. 【答案】(1)以A为原点，分别以AB、AD、A4的方向为x、'、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题设棱长可得各点坐标： A(0,0,0)B(2V2,0,0).C(2V2,2,0)D(0,2,0).A(0,0,2)D(0,2,2) ZA A D C B D A B M :M为CD中点，N为长方体体对角线4C与BD的交点，即N为4C中点， M(V2,2,0).W(2,11) ：AN=(V21,),BM=(←V22,0).M=(0,-1,0 :AN.BM=V2x(-V2)+1x2+1x0=-2+2=0 :AN LBM AN.MN=V2x0+1x(←)+1x1=-1+1=0 AN⊥MN 又 BM OMN=-M,BMc平面BMN,MNC平面BMN, :.AN⊥平面BMN 第14页/供24页 6学科网列组卷网 5 (2)6 (3)v2 【解析】 【分析】(1)通过利用向量证明线线垂直，进而证明线面垂直； (2)利用向量夹角公式求异面直线所成角的余弦值即可； (3)利用点到平面的向量公式求解距离即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 DC=(2√2,0，-2)AN=(21,10 设直线DC与4N所成房为0， e02. c0s0-cos(DC.AN)ID.C.AN DCI ANI .D,C.AN=2V2×V2+0×1+(-2)×1=4-2=2 1D,CV(2W2)2+02+(-2)2=V12=25 1AW=V(2)2+12+12=V4=2, ÷c0s0=、12L=V5 2W3×261 √5 即直线DC与AN所成角的余弦值为6 第15页/共24页 6学科网命组卷网 【小问3详解】 设平面ABN的法向量为n=(x,y,2), AB=(2V2,0,0)AN=(N21,) n4B=22x=0 n.AN=2x+y+z=0' 解得x=0,令y=1,则z=-1,即n=0,-少 又AC=(222,0) 则点C面y的距4·1C0x2Y2+I20=乃2了 In V02+12+(-1)2 18已知圆心为C的圆经过点1(-山和B(-2,-2）,且圆心在直线：x+y-1=0上，求： (1)求圆心为C的圆的标准方程： (2)若过点(0,5)的直线被圆C所截得弦长为8，求该直线的方程. 【答案】(1)(x-3)'+(y+2)}=-25 (2)x=0或20x+21y-105=0 或 【解析】 【分析】()设出圆的标准方程为(x-a+(y-b=r,并将A与B坐标代入并结合圆心在直线 l:x+y-1=0 上，即可求解 (2)分情况讨论直线斜率是否存在，再结合直线与圆相交弦长公式建立相关等式，即可求解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为（x-a+(0-b}=r产，得到圆心坐标为(a,b),半径为r, 第16页/供24页 6学科网命组卷网 将A与B坐标代入圆方程得：（一1-a+(-b}=r2 (-2-aj2+(-2-b)2=r2 消去”，整理得：a+3弘+3=0① 将圆心坐标代入 x+y-1=0得：a+b-1=0② 联立①②解得：a=3,b=-2, 2=（-1-32+(1+2)2=25 则圆C的标准方程为(x-3+(y+2)}'=25 【小问2详解】 当直线l的斜率存在时，设过点(0,5)的直线x-y+5=0, 圆半径为5，弦长为8， ·圆心到直线 -y+5= 的距离d=V53-4平=3 3k+2+5 解得k=、20 =3 由V1+k2 21· ·.直线方程为少=2士×父 ,即20x+21y-105=0 当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0, 直线与圆C的交点坐标为(0,2)，(0,6) 直线被圆C所截得的弦长为8： 故直线的方程为x=0或20x+21y-105=0 或 第17页/供24页 6学科网 命组卷网 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,AD/IBC,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面 BCD.PA=3.点M在PD上，点N为BC中点 且 ,点 D (1)证明：若DM=2MP,则直线MNI/平面PAB: (2)求平面PCD与平面PND夹角的余弦值： √2 PM (3)是否存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为6？若存在，试求出PD的值；若不存在， 请说明理由： D M 【答案】(1) 0 -D B C 如图所示，在线设AD上取一点0：彼40-写D,连接M0,NM0: .DM=2MP, ∴QMI∥AP :APC平面PAB :.OM/PAB 平面 第18页/供24页 6学科网 命组卷网 又AD=3,AB=BC=2, .AQ∥BN 四边形ABN为平行四边形， ∴.NOIIAB :ABC平面PAB NO'平面PMB 又N№nMg=e MNQ∥ 所以平面 平面PAB :MNC平面 MNO ∴.MN∥PAB 平面 55 (2)9 PM1 PM=1 (3)存在点M,此时PD3或PD 【解析】 【分析】(1)构造平面 M0与平面PMB平行，从而得到直 MNI/平面PAB (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角的余弦值： (3)假设存在点M,设点M的坐标，由已知建立等式，求解所设，若无解则点M不存在，若有解，则点 M存在，解即为点M的坐标，再代入求原式即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第19页/供24页 6学科网6组卷网 8 C 如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为'轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0)C22,0).D(0,3,0),P(00,3) 又N是BC中点，则N(2,10) 所以PD=(0,3-3),CD=(-2,10),DN=(2,-2,0) 设平面PCD的法向量元=(x,片，)】 PD.i=3y-3z1=0 则CD-元=-2x+片=0令x=1,则元=(1,2,2) 设平面PND的法向量元=(x,2,)】 PDm2=3y2-322=0 则DN元=2x-2%=0:令x=1则元=(1，)： 1+2+2 -5v5 所以cosm,i》=F+22+2.P+P+P9, 【小问3详解】 PM 1 PM =1 存在，PD3或PD PM=A 假设存在点M,设PD元，即PM=PD,元∈[O,, 第20页/供24页 命学科网命组卷网 由2)得D(0,3,0),P(00,3),N(2,10),且平面PCD的法向量元=(，2,2) 则PD=(0,3-3),PM=(0,3,-3) 则M(0,3,3-3n) MN=(2,1-3,32-3) sin =cos(MN,)= 2+2(1-32)+2(32-3) 2 VP+2+22V22+(1-3}+(3-3)2 6 九= 解得3或2=1， PM_1 PM=1 故存在点M,此时PD3或PD 20.已知圆0的圆心为坐标原点，且经过点(，-V3), 圆0与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点 B,与”轴负半轴交于点 (1)求圆O的标准方程： (2)P是圆O上一点且不在坐标轴上，直线AP交y轴于点M,直线BP交x轴于点N,求证： ANBM为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆O交于D，,E两点（异于点C),直线CD与直线CE的斜率之积为3， 求证：直线过定点 【答案】(1)x+y2=4 （2)证明：由山)可知4(2,0)，B(0,2）设P(0,%≠0)，则+片=4， 第21页/供24页 6学科网6组卷网 后盒知62.线的方香为”产2-列 y=h-2x+2 由x≠0，得直线BP的方程为x, w-2}h =4+6+4+2x6-4-4%=42x6-4+)+8 2需+%+44-2化++48，以AN-2M为定位 x2+y2=4, (3)证明：设直线，的方程为y=c+m'D(x,y）E(,)己知C(-2,0),联立气y=c+m, 得1+k)x+2mc+m2-4=0,△=42m2-4+k2(m2-4)>0,即m㎡2<4k2+4所以 飞+x2三-1+2,5 2km 1+k2.所以 c=”义h+m,+m）k+m+巧tm用 x+2为2+2xx2+2(x+2)+4x2+2(x+2)+4 伏-35+m-60s+5+2-12=0:-g(w6gm-12-0 整理得(m-2k)(m-4)=0,所以m=2k或m=4k 第22页/供24页 6学科网命组卷网 当m=2k时，直线l的方程为y=+2k=k(x+2）,恒过点C(-2,0 ,不符合题意： 当m=4k时，直线l的方程为y=+4=k(x+4),恒过点(4,0)，符合恩意 所以直线'过定点（4,0) 【解析】 【分析】(1)先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案： (2)设P(,(:+0,≠0），先求出A,B两点的坐标，再求出直线AP和BP的方程，得到M,N 的坐标，对MNBM进行变形求解即可： x2+y2=4, (3)设直线，的方程为y=+m'D(x,)E(x2,y2),联立y=c+m, 根据韦达定理得出 2km X1+x2= 1+k2, x5=,再由kD·k=3建立方程，得到k,m的关系，证明直线过定点即 可 【小问1详解】 由已知得圆O的半径 =P+(3=2 所以圆0的标准方程为r+少=4 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第23页/供24页 6学科网组卷网 D M N A不 第24页/共24页