1.4空间向量的应用同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修一

1.4空间向量的应用同步练习题 一、单选题 1．已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是空间内任意一点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（     ） A．直线 B．平面 C．线段 D．圆 4．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值为，则直线l与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 6．两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则（     ） A．平面平面 B．平面与平面相交但不垂直 C．平面平面 D．以上均有可能 7．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 8．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 10．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 11．如图，在棱长为1的正方体中，为上的动点，则（    ） A．与是相交直线 B．与互相垂直 C．与所成的角为 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题 12．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 13．已知平面，的法向量分别为，，则平面和夹角的余弦值为______． 14．已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 四、解答题 15．已知向量，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若与垂直，求实数t的值． 16．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)证明：无论点在边的何处，都有． 17．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 18．在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值． 19．三棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，E是BC的中点，F在棱上，且平面． (1)求证：平面； (2)求证：F是的中点； (3)在线段EF上是否存在点P，使得?若存在，指出P的具体位置，并给出证明；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【详解】因为，且， 所以，即． 2．B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 3．B 【分析】根据空间向量垂直的几何意义及平面的向量表示判断点的轨迹图形即可. 【详解】当点与重合时，为零向量，满足题意； 当点不与重合时，由得， 在空间中，经过定点且垂直于已知非零向量的所有直线和点，共同构成了一个平面， 此时即为该平面的法向量， 因此点的轨迹是一个经过点且以为法向量的平面. 4．B 【详解】因直线l与平面所成角的正弦值等于直线l的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值， 所以直线l与平面所成角的正弦值为. 5．B 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 6．A 【分析】先求解平面的法向量，通过判断其与平面α的法向量的位置关系，确定两平面的位置关系. 【详解】设平面的法向量为， 可得： 令，得，，即， 因为平面的法向量，所以与为共线向量，又已知两平面不重合， 故平面平面. 7．D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 8．D 【详解】设，则，， ，， ， ，，， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则.    9．BC 【详解】设平面的法向量为， 因为，所以，即， 对于A，的方向不确定，不能作为平面的法向量，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 11．BCD 【详解】建立空间直角坐标系，如下图： 以为原点，，，分别为x，y，z轴，正方体棱长为1， ，，，，，， ，，，， 在顶面上，连接底面到顶面， 两条直线异面，不相交，A错误； ，两向量垂直，故，B正确； ，， ，，故异面夹角为，C正确； 平面，点在上滑动，则到平面的距离恒等于定值1， 底面面积固定，所以，体积不变，为定值，D正确. 12．1 【详解】依题意，向量与向量垂直， 因此，所以. 13． 【详解】，则， 又因为，， 所以. 14．/ 【分析】先求异面直线与公垂线的方向向量，再求在上投影的绝对值即可. 【详解】因为，， 设异面直线与公垂线的方向向量， 则，令，可得. 又，所以在上投影的绝对值为：. 即异面直线与之间的距离是. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算及夹角公式求解； （2）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】（1）因为，， 则，， 所以； （2）， 因为与垂直， 则， 所以. 16．(1) (2) 点是的中点，所以因此 设点在边上，因为，可设 则， ， 所以即， 故无论点在边的何处，都有. 【分析】（1）以为原点建系，写出坐标，求向量与，由数量积为得两向量垂直，进而求得异面直线与所成角的大小； （2）由中点求坐标，设，写出与，计算数量积为，得，与无关，故对任意位置均成立. 【详解】（1）由题可得平面，且四边形为矩形， 故，，， 建立空间直角坐标系，以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴， 由题意：， 则， 所以，即异面直线与所成角为. （2）略 17．(1)在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以． 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 18．(1)以为原点，为轴，为轴，为轴，正方体棱长为， 各点坐标： 是中点：， 向量：， ， 两向量点积：， ，即. (2). (3)锐二面角余弦值为. 【分析】求出与，计算向量数量积，数量积为即可证异面直线垂直； 求出平面的法向量与，利用线面角公式计算正弦值； 分别求出平面与底面的法向量，代入二面角公式，取绝对值得到锐二面角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）设直线与平面所成角，，是平面法向量， 平面的向量：， 设平面法向量， ，令，取， ， ， ， . （3）平面是底面，法向量可取， 平面：， 向量，设平面法向量， ，又第一式：，代入第二式： ，令，取， ， 锐二面角余弦值为. 19．(1)因为平面平面，平面平面， 平面，已知，所以平面. (2)在平面，过点作交于点， 因为平面，且平面，所以平面， 又已知平面，且，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 在中，已知是的中点，且，所以是的中点， 在三棱柱中，侧面为平行四边形， 因为，所以四边形和四边形均为平行四边形， 从而有且，由于是的中点，因此，即F是的中点. (3)在线段EF上存在点P使得，且的位置就是点，证明如下: 由上知平面，且平面，所以， 已知侧面是正方形，所以且， ，易得， 则， 因为分别是边的中点， 所以， 又因为且分别是平行四边形对边的中点， 所以，所以， ， 由上知两两垂直，所以整理得， 由于，所以，即， 设线段上存在一点满足，则必有， 即，因为，所以， 因为在线段上，可设， 代入上式得，因为，所以，即点只能与点重合. 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，由垂直于两平面的交线直接得出线面垂直. （2）过点作辅助线构造平行平面，结合面面平行的性质与三角形中位线定理即可求证. （3）通过计算向量内积证明，从而确定点只能与点重合. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 答案第8页（共9页） 答案第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $