1.4 空间向量的应用 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦空间向量应用，以“概念辨析—基本运算—综合证明”分层，通过7类题型实现从单一知识点到空间位置关系证明的递进，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|法向量、方向向量概念|选择填空结合，强化数学抽象与空间观念| |技能应用|法向量/方向向量求解、平行垂直坐标运算|解答题与选择结合，培养运算能力与推理意识| |综合拓展|空间线面关系证明|结合几何体情境，发展逻辑推理与模型意识|

1.4 空间向量的应用 题型一 平面法向量的概念及辨析 1．已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 2．已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出即可作为直线的一个方向向量； （2）由，可得为平面的一个法向量，所以，由此能求出，，满足的关系式． 【详解】（1），， ， 即为直线的一个方向向量．（答案不唯一） （2）由题意得， 平面，， ，则， ， ． 化简得． 题型二 求平面的法向量 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 4．已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 5．已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的性质，用待定系数法即可求得平面的一个法向量. 【详解】，， 设平面ABC的法向量为， 则，即， 令，得，， 故平面ABC的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）． 6．如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． (1)当点在什么位置时，有平面？ (2)当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 【答案】(1)是棱上靠近点的四等分点 (2) 【分析】第（1）问建立空间直角坐标系，设出点的位置参数，利用线面垂直的向量条件列出方程，解出参数确定位置； 第（2）问同样设参数表示动点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于参数的函数，再根据参数范围求出距离的取值范围. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，， 则，，，，，， ∴，，， 要使平面， 需满足 由，解得． ∴当是棱上靠近点的四等分点时，有平面． （2）设，，则，，∴，，． 设平面的法向量为，令，得到，， 得为平面的一个法向量． 点到平面的距离， 易知在区间上单调递减， 最大值为2，最小值为， ∴． 即点到平面距离的取值范围为． 题型三 直线方向向量的概念及辨析（空间中） 7．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 8．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若，则可知 【答案】CD 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据向量平行的判定定理分析判断；对于D：根据向量的线性运算分析判断. 【详解】A：若，则，夹角可能为，故A错误； B：当时，，不是直线l的方向向量，所以B错误； C：若空间向量，，为非零向量，且， 则存在非零实数，，使得，， 所以，所以，故C正确； D：因为，即， 可得，即，所以D正确； 故选：CD 9．已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______. 【答案】4 【分析】由和共线，即可求解. 【详解】由题得，设，则，解得. 故答案为：4 10．已知. (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式. 【答案】(1) (2)2x－y－2z＋6＝0 【分析】（1）由两点坐标即可求出结果； （2）利用平面法向量的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以直线的一个方向向量为： . （2）因为平面经过且是平面内的任意一点， 则有， 又因为是平面的一个法向量， 所以， 从而， 即， 所以， 整理可得， 所以满足的关系式为：. 题型四 求直线的方向向量（空间中） 11．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 12．已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 【答案】BD 【分析】利用，，三点的坐标写出向量，的坐标，即可求出及直线的一个方向向量，从而可以判断A，B选项；再利用投影向量的公式即可求出向量在向量方向上的投影向量，从而判断C选项；利用空间向量共面定理可以判断与、共线，从而判断D选项. 【详解】，，， ，， 对于A：，故A错误； 对于B：直线的方向向量与共线，而， 直线的一个方向向量是，故B正确； 对于C：，， 向量在向量方向上的投影向量为 ，故C错误； 对于D：，，与不共线， ，， 设存在唯一实数对使得，则 ， ，， 存在唯一实数对使得， 与、共面，即，，，四点共面，故D正确. 故选：BD. 13．若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 题型五 空间向量平行的坐标表示 15．已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因，则， 又，且，则＝＝，解得． 16．已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AD 【分析】由空间向量的坐标运算即可判断A；求出和即可判断B；假设，则存在实数使得，验证无解，即可判断C；根据投影向量的公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，假设，则存在实数使得，则，无解，所以假设错误，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 17．已知向量，，若，则实数________. 【答案】1 【详解】因为向量，， 根据∥， 所以，得. 18．如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在． 【分析】建立空间直角坐标系， （1）求出，利用可得，再求体积即可； （2）求出坐标，可得答案； （3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案． 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ， 此时； （2）， ， ； （3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为， 设，由，得，存在． 题型六 空间向量垂直的坐标表示 19．在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 20．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 21．已知向量，且，则________________． 【答案】1 【详解】因为， 所以. 22．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 题型七 空间位置关系的向量证明 23．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 24．如图，在正四棱柱中，为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线无交点 B．直线不可能与直线垂直 C．三棱锥的外接球的体积为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】选项A，与所在平面平行，两直线无交点；选项B，取与点重合时的特殊位置证两直线垂直；选项C，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，直接求半径后得体积；选项D，利用等体积法求距离. 【详解】选项A，在正四棱柱中，平面，因为平面，平面，所以不在同一平面且不平行，是异面直线，因此无交点，A正确； 选项B，当与点重合时，在正四棱柱中，因为底面是正方形， 所以，平面， 所以，因为，平面，平面， 所以平面，此时，B错误； 选项C，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球， 则外接球半径， 则外接球体积为，C错误； 选项D，由题，， 因为，所以为等腰三角形，则中边上的高， 设点到平面的距离为，因为， 所以，D正确. 25．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 【答案】0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 26．在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案； （2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， （2）， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 空间向量的应用 题型一 平面法向量的概念及辨析 1．已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 2．已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式． 题型二 求平面的法向量 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 5．已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为______． 6．如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． (1)当点在什么位置时，有平面？ (2)当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 题型三 直线方向向量的概念及辨析（空间中） 7．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 8．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若，则可知 9．已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______. 10．已知. (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式. 题型四 求直线的方向向量（空间中） 11．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 13．若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 题型五 空间向量平行的坐标表示 15．已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 17．已知向量，，若，则实数________. 18．如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 空间向量垂直的坐标表示 19．在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 20．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．已知向量，且，则________________． 22．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 题型七 空间位置关系的向量证明 23．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 24．如图，在正四棱柱中，为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线无交点 B．直线不可能与直线垂直 C．三棱锥的外接球的体积为 D．点到平面的距离为 25．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 26．在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $