第10课时 3.3.2抛物线的几何性质(1)课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第3章　圆锥曲线与方程 第10课时　抛物线的几何性质(1) 学习目标： 1. 掌握抛物线的简单几何性质及其简单应用 2. 能借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离进行相互转化，从而解决相关问题． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 已知抛物线的方程为y＝2ax2(a<0)，写出它的焦点坐标及准线方程． [处理建议]　先将抛物线的一般方程化为标准方程，再根据定义自主求解． 例 1 [题后反思]　解题时，应首先检查所给方程是否为标准形式，只有将方程化为标准形式之后，才能顺利确定相关的基本量． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 过抛物线y2＝2mx(m≠0)的焦点F作x轴的垂线，交该抛物线于A, B两点，且AB＝6，求m的值． [处理建议]　通过通径的定义自主解题． [规范板书]　解　由题意可知AB为抛物线的通径，且AB＝6， 所以2|m|＝6，即m＝±3. [题后反思]　本例由抛物线的几何性质来求参数的值，其中涉及抛物线的通径，属基础题． 变 式 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 已知抛物线的焦点在y轴上，通径的长为4，求抛物线的标准方程． [规范板书]　解　若焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)． 因为2p＝4，所以方程为x2＝4y. 若焦点在y轴的负半轴上，设其方程为x2＝－2py(p>0)． 因为2p＝4，所以方程为x2＝－4y. 综上，抛物线的标准方程为x2＝4y和x2＝－4y. 变 式 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 顶点在坐标原点，焦点在x轴上且通径长为4的抛物线的方程是________________. C y2＝±4x 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (教材P115例2)某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离为69mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡(精确到1mm)？ [处理建议]　先分析题设条件，建立适当的坐标系，再根据条件解题．旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识． [规范板书]　解　如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系xOy. 例 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，灯应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使OC＝69， 过点C作x轴的垂线，交抛物线于A, B两点，AB就是灯口的直径，即AB＝197， 将点A的坐标代入方程y2＝2px，解得p≈70.3，它的焦点坐标为(35, 0)． 因此，灯泡应安装在距顶点约35mm处．　 [题后反思]　本例是一个有实际意义的抛物线应用问题．解此类问题时，需解决两个问题：(1) 建立适当的坐标系；(2) 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表示出来． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过横截面为抛物线的隧道．如图，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值． [规范板书]　解　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)． 因为AB＝4OD， 变 式 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 从而抛物线的方程为x2＝－ay. 设E(0.8, y0)为抛物线上的一点， 代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0， 所以a的最小整数值为13. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2m, P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多长(精确到整数位)? [规范板书]　解　以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 变 式 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 所以抛物线的方程为x2＝－y. [题后反思]　解决抛物线背景的实际问题时，应注意紧抓几何特征进行建系和求解． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 提示　以拱顶为坐标原点，水平直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)， 则点(2, －2)在抛物线上，解得p＝1， 故抛物线的方程为x2＝－2y. A 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　显然，线段AB为过焦点的弦，运用抛物线的定义将AB转化为AM＋BN，再根据题设条件求解直角梯形的底角． [规范板书]　解　当直线AB的倾斜角为锐角时，设抛物线的准线为l. 例 3 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 如图，过点A作AM⊥l于点M，过点B作BN⊥l于点N. 由抛物线的定义可知，AM＝2m, BN＝m. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　本题借助于抛物线的定义将过焦点的弦长等问题转化到直角梯形中予以解决．抛物线的定义揭示了抛物线上动点到焦点的距离与其到准线距离之间的数量关系．灵活运用定义，往往可以简化运算．特别是在解决有关焦点弦问题时，其思路简洁、明了，值得关注． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A, B，交其准线于点C(点B在点F, C之间)，且BC＝2BF, AF＝12，求p的值． [规范板书]　解　分别过点A, B作准线的垂线，垂足为P, Q， 则AP＝AF, BQ＝BF. 不妨设kAB>0，点A在第一象限． 因为BC＝2BF＝2BQ， 所以∠CBQ＝60°. 因为AP∥BQ， 所以∠CAP＝60°， 从而CA＝2AP＝2AF＝24， 因此CF＝CA－AF＝12， 变 式 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　将到焦点的距离转化为到准线的距离后，便于运用平面几何知识简化问题． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 已知抛物线y2＝2px(p>0)上有三点A(2, y1), B(x2, －4), C(6, y3)，F是抛物线的焦点．若FA＋FC＝2FB，则x2＝_______,y1＝_________, y3＝_________. 因为点B在抛物线上，所以p＝2，即y2＝4x. 4 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线，交抛物线于P(x1, y1), Q(x2, y2)两点．若x1＋x2＝6，则PQ的长为(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 3. 已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线交于A, B两点．若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．　 解　当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)， 易得FA＝FB＝p， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 课堂小结 1. 本节课学习了抛物线的几何性质． 2. 借助于抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，从而解决焦点弦等问题． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [规范板书]　解　将抛物线方程变形为x2＝. 因为a<0，所以它表示的曲线是对称轴为y轴、开口向下的抛物线，其标准方程为x2＝－2py(p>0)，即2p＝－，得＝－， 故其焦点坐标为，准线方程为y＝－. 1. 抛物线x＝4ay2的焦点坐标是(　　) A. (a, 0) B. (0, a) C. D. 所以点A的坐标为. 所以点B的坐标为. 令h>3，则－>3，　 解得a>6＋或a<6－(舍去)， 由点B在抛物线上，得2＝－2p·， 所以p＝， 所以y0＝－， 从而点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－. 则P(－1, －1)，代入方程得p＝， 又B(x, －2)．当y＝－2时，x＝±， 故O′B＝＋1， 所以水池直径为2(＋1)m，约为5m. 1. 已知抛物线形拱桥的拱顶离水面2m，水面宽4m，那么当水面宽4m时，水面下降了(　　) A. 2m B. 4m C. 2m D. 4m 当x＝2时，y＝－4，故水面下降了2m. 已知A，B为抛物线y2＝4x上的点，F为抛物线的焦点．若＝2，求直线AB的方程． 因为向量， 同向， 所以AF＝2BF，故设BF＝m，则AF＝2m. 过点B作BC⊥AM于点C，在Rt△ABC中，cos∠CAB＝＝， 从而tan∠CAB＝2. 由抛物线对称性可知，直线AB的方程是y＝±2(x－1)， 即2x±y－2＝0. 所以p＝CF＝6. 提示　由抛物线的定义可知FA＝2＋， FB＝x2＋， FC＝6＋， 所以2＝2＋＋6＋，解得x2＝4. ±2 ±2 所以·2p·＝4，解得p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. 同理，当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，抛物线的方程为y2＝－4x. 故所求抛物线的方程为y2＝±4x. $