第3章 07-3.3.2 抛物线的几何性质（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，通过教材改编题与实际应用案例（如手电筒反光镜、卫星接收天线）导入，衔接圆锥曲线统一定义，构建从定义到性质再到应用的学习支架。 其亮点是分层设计练习（基础过关与能力提升），融入光学性质等实际问题，以数学眼光抽象模型、数学思维推理焦点弦性质，学生能提升知识应用能力，教师可丰富教学资源，提高课堂效率。

第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　抛物线的几何性质及其应用 1.[教材习题改编]已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三 角形的边长为 (　　　) A.8 　    B.4 　    C.4 　    D.3      A     解析　由抛物线的对称性知等边三角形另外两个顶点关于x轴对称, 设另外两个顶点的坐标分别为 , (m>0), 则tan 30°= = ,解得m=4 , 故这个等边三角形的边长为2m=8 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026湖南长沙月考]已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,P为C上任意一点,点M(1,3),则下列结论错 误的是 (　　　　) A.PF的最小值为2 B.抛物线C关于x轴对称 C.过点M且与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D.点P到点M的距离与到焦点F的距离之和的最小值为4     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x0,y0),y0≥0,则 =4y0,易知抛物线的焦点为F(0,1),准线为直线y=-1(记为l). 对于A,易知PF=y0+1≥1,当y0=0时等号成立,所以PF的最小值为1,故A中结论错误; 对于B,显然抛物线关于y轴对称,故B中结论错误; 对于C,由题知点M在抛物线的内部,因此过M且与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点,其他过 点M的直线与抛物线都有两个公共点,故C中结论正确; 对于D,过P作PH⊥l于H,过M作MN⊥l于N,则PF=PH,PM+PF=MP+PH, 当M,P,H三点共线,即H与N重合时,PM+PF最小,最小值为3+1=4,故D中结论正确.   第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏宿迁沭阳如东中学期中]已知抛物线C:y2=4x,直线l过C的焦点F,且与C交于M,N两 点,则 (　　　　) A.C的准线方程为x=-2 B.线段MN的长度的最小值为4 C.存在唯一直线l,使得F为线段MN的中点 D.以线段MN为直径的圆与C的准线相切     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,抛物线C:y2=4x的准线方程为x=-1,故A错误; 对于B,易得F(1,0),由题意可得l的斜率不为0,故设其方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立 消去x,得y2-4my-4=0,则Δ>0,y1+y2=4m, 所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2, 所以MN=x1+x2+2=4m2+4≥4,当m=0时取等号, 所以线段MN的长度的最小值为4,故B正确; 对于C,由B得线段MN的中点坐标为(2m2+1,2m), 若F为线段MN的中点, 则 解得m=0,所以存在唯一的直线l:x=1,使得F为线段MN的中点,故C正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,线段MN的中点(2m2+1,2m)到准线x=-1的距离d=2m2+2,又MN=4m2+4, 所以d= ,即以线段MN为直径的圆与C的准线相切,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河北秦皇岛山海关第一中学月考]已知O为坐标原点,抛物线C:y2=x的焦点为F,A,B是抛物线C上 关于其对称轴对称的两点,若AF⊥OB,则点A的横坐标为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为抛物线C:y2=x的焦点为F,所以F , 又因为A,B是抛物线C上关于其对称轴对称的两点, 所以可设A(y2,y),B(y2,-y),则 = , =(y2,-y), 因为AF⊥OB,所以 · =0,即 ·(y2,-y)= y2-y4=0, 解得y2=0(舍去)或y2= ,故点A的横坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[教材深研拓展]若方程ax2+ay2-(x+y-1)2=0表示的曲线是抛物线,则实数a的值为_________,此抛物线 的顶点坐标为_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由ax2+ay2-(x+y-1)2=0,可得 (x2+y2)= ,a≥0, 所以 · = ,所以 = , 故方程表示点(x,y)到点(0,0)的距离与到直线x+y-1=0的距离之比为常数 , 若方程ax2+ay2-(x+y-1)2=0表示的曲线是抛物线,则 =1,解得a=2, 则(0,0)为抛物线的焦点,直线x+y-1=0为抛物线的准线, 过(0,0)且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为y=x, 由 解得 所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为 , 第1讲　描述运动的基本概念 又抛物线的顶点是焦点(0,0)与 所连线段的中点,所以抛物线的顶点坐标为 . 知识拓展　圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于 常数e的点的轨迹. 当0<e<1时,它是椭圆;当e>1时,它是双曲线;当e=1时,它是抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　抛物线的几何性质的综合应用 6.[2026黑龙江省实验中学期中]抛物线有光学性质如下:从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射 后,反射光线平行(或重合)于抛物线的对称轴.如图,手电筒内,在小灯泡F的后面有一个反光镜,镜面的形 状是一个由抛物线绕其对称轴旋转所得到的曲面,该镜面圆形镜口的直径AB=4,镜面顶点O到镜口的距 离OH=3,若小灯泡F发出的光经镜面反射后,射出的光线为平行光线,则该小灯泡F与镜面顶点O的距离 应为 (　　　) A.2　　　    B.3　　　    C. 　　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　画出镜面的轴截面,以O为坐标原点,OH所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,   则A(3,2),设该镜面的轴截面所在的抛物线方程为y2=2px(p>0), 把A(3,2)的坐标代入,得4=6p, 所以p= , 则小灯泡应置于焦点处,故其与镜面顶点O的距离应为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026安徽合肥第八中学期中]一种如图1所示的卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为图2所示的 抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入,经反射聚焦到焦点F处,已知接收天线的口径 (直径)为4.8 m,深度为1 m,则该抛物线焦点到顶点的距离为 (　　　)  　      A.1 m　　　    B.2.88 m　　　    C.5.76 m　　　    D.1.44 m     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意建立如图所示的平面直角坐标系,   设抛物线的方程为y2=2px(p>0), 依题意,AB=4.8,OC=1,∴AC= AB=2.4,故点A(1,2.4), 将点A的坐标代入抛物线的方程,可得2.42=2p×1,解得p=2.88, ∴抛物线的方程为y2=5.76x, 焦点的坐标为(1.44,0), ∴抛物线焦点到顶点的距离为1.44 m. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025重庆巴蜀中学期中]抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经过抛物线反射后,沿平行(或 重合)于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行(或重合)于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过 抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,坐标原点为O,一束平行于x轴的光线沿直线l1从点P(m,n)(n2< 4m)射入,经过抛物线上的点A(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点B(x2,y2)反射,最后沿直线l2射出,则直线l1 与l2间的距离的最小值为 (　　　) A.2　　　    B.4　　　    C.8　　　    D.16     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由抛物线的光学性质可知,直线AB过抛物线的焦点F(1,0), 设直线AB的方程为x=ty+1,与y2=4x联立,消去x,得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4, 故直线l1与l2间的距离d=|y1-y2|= = ≥4,当且仅当t=0时取“=”,故l1与l2之间距离 的最小值为4.   第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组　抛物线几何性质的综合应用 1.[2025江苏镇江大港中学期中]抛物线E的焦点为F,对称轴为直线l,过F且与l的夹角为 的直线交E于A, B两点,AB的中点为M,线段AB的垂直平分线MD交l于点D.若△MFD的面积等于 ,则AB= (　　　) A.4　　　    B. 　　　    C.2　　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),则l为x轴,F . 因为直线AB过焦点F,且与x轴的夹角为 ,所以直线AB的方程为y=  ,与y2=2px联立,消去y,得3x2- 5px+ p2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= , 所以y1+y2= (x1+x2)- p= , 所以M ,所以直线MD的方程为y- =-  , 令y=0,得x= ,即D , 所以S△MFD= × × = ,所以p= , 所以AB=x1+x2+p= +p= × =4. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026重庆七中期中]抛物线y2=4x的焦点为F,顶点为坐标原点O,过F的直线l交抛物线于A(x1,y 1),B(x2,y2)两点,过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,下列说法正确的是 (　　　　) A.x1·x2为定值　　　    　　B.∠A1FB1>  C.A,O,B1三点共线　　　    D. + =      AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知F(1,0),抛物线的准线方程为x=-1,由题意可设l:x=ty+1,与抛物线方程联立,得y2-4ty-4=0,所以 y1+y2=4t,y1y2=-4,则x1·x2= · =1,故A正确; 易知A1(-1,y1),B1(-1,y2),则 =(-2,y1), =(-2,y2), 所以 · =4+y1y2=0,即 ⊥ ,则∠A1FB1= ,故B错误; 易知 =-y2,kOA= = = =-y2,所以 =kOA,即A,O,B1三点共线,故C正确; 由抛物线的定义可知AF=x1+1,BF=x2+1,则 + = = =1,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 小题速解　已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为α, 过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则有下列结论成立: (1)x1x2= ,y1y2=-p2;(2)AF=x1+ = ,BF=x2+ = , = , + = ;(3)AB=x1+x2+p=  ;(4)∠A1FB1=90°,A,O,B1共线,A1,O,B共线. 由(4)得B错误,C正确,本题中p=2,则x1x2= =1,故A正确, + = =1,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏南京第一中学月考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点D,直线l经 过F且与C交于A,B两点,其中点A在第一象限内,线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN=NF,则  (　　　　) A.l的斜率为  B.△ABD是锐角三角形 C.四边形MNDF的面积是 p2 D.BF·FA>FD2     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知,抛物线的焦点为F ,准线方程为x=- ,则D , 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0, 则M ,N ,则MN= + ,MF= AF= + , 因为MN=NF,所以MN=NF=MF, 所以△MNF为等边三角形,即∠NMF=60°, 又MN∥x轴,所以∠MFx=60°,即直线l的倾斜角为60°,其斜率k=tan 60°= ,故A正确; 由A得直线l:y=  , 联立  第1讲　描述运动的基本概念 解得 或  即A ,B , 则AB= p,M ,N , 又F ,D ,所以AD= p,BD= p,在△ABD中,BD<AD<AB,且BD2+AD2-AB2>0,所以∠ADB为 最大角,且为锐角,所以△ABD是锐角三角形,故B正确; S四边形MNDF=S△NDF+S△MNF= ×p× p+ × p×p= p2,故C错误; 由B得FD=p,FA=2p,BF= p, 第1讲　描述运动的基本概念 因为BF·FA= p2,FD2=p2,所以BF·FA>FD2,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026陕西渭南大荔期中联考]已知O为坐标原点,点A(2,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,抛物线 的焦点为F,过点B(0,-1)的直线l交抛物线C于P,Q两点(点P在点B,Q之间),则 (　　　　) A.直线AB与抛物线C相切 B. · =6 C.若P是线段BQ的中点,则2PF=QF D.存在直线l,使得PF+QF=2BF     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为点A(2,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,所以4=2p,解得p=2, 即抛物线C的方程为x2=4y,焦点为F(0,1). 对于A,直线AB的方程为 = ,即y=x-1, 联立 解得 所以直线AB与抛物线C相切于点A(2,1),故A正确; 对于B,当直线l的斜率不存在时,直线l与y轴重合,此时直线l与抛物线C只有一个交点,不符合题意, 所以直线l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得x2-4kx+4=0,则Δ=16k2-16>0,即k<-1或k>1, x1+x2=4k,x1x2=4, 又y1y2=  ·  = (x1x2)2= ×42=1, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 · =x1x2+y1y2=5,故B错误; 对于C,易得PF=y1+ =y1+1,QF=y2+ =y2+1, 因为P是线段BQ的中点, 所以y1= ,整理得2(y1+1)=y2+1,即2PF=QF,故C正确; 对于D,若PF+QF=2BF,则(y1+1)+(y2+1)=2|1-(-1)|=4,得y1+y2=2, 即k(x1+x2)-2=k·4k-2=4k2-2=2,即4k2=4,解得k=±1, 此时Δ=16k2-16=0,直线l与抛物线相切,不符合题意,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,M 为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是 (　　　　) A.若AB=8,则点M到y轴的距离为4 B.过点(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 C.P是准线上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 =4 ,则FP=6 D.9AF+BF≥16     CD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得p=2,则抛物线C:y2=4x,所以焦点F(1,0),准线方程为x=-1. 对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=AF+BF=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6, 又M为线段AB的中点, 所以M ,所以点M到y轴的距离为 =3,故A错误. 对于B,若过点(0,1)的直线斜率不存在,则该直线为y轴,易知y轴与抛物线C相切;若过点(0,1)的直线的斜 率为零,则直线的方程为y=1,易知直线y=1与抛物线C的对称轴平行,故直线y=1与抛物线C只有一个交 点;若过点(0,1)的直线的斜率存在且不为零,设该直线的方程为y=kx+1,联立 可得k2x2+(2k-4)x+ 1=0, 则 解得k=1,即直线y=x+1与抛物线C只有一个公共点,故满足条件的直线 第1讲　描述运动的基本概念 共有三条,故B错误. 对于C,过点Q作准线的垂线,垂足为Q',则QQ'=QF,设准线与x轴交于点D,则△PQ'Q∽△PDF,因为 =4  ,所以 = = = ,则Q'Q= ,则xQ=QQ'-1= ,所以|yQ|= ,即Q'D= ,所以PD=4 ,则PF=  =6,故C正确. 对于D,易知 + = =1, 所以9AF+BF=(9AF+BF)  =10+ + ≥10+2 =16, 当且仅当 = ,即AF= ,BF=4时取等号,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南京金陵中学月考]已知椭圆C1: +y2=1,抛物线C2:x2=2py(p>0),点A是C1与C2在第一象限内 的交点,B是C1的左顶点,直线AB交C2于点D,若D恰为线段AB的中点,则p2的值为______________.     10 -14     解析　易知B(-2,0),设A ,x0>0,因为D为线段AB的中点,所以D ,又D在C2上,所以  =2p· ,所以x0=2 -2, 又A (x0>0)在C1上,所以 + =1,解得p2=- , 因为 =12-8 , 所以p2=- =- =10 -14. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏连云港灌南惠泽高级中学阶段检测]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两 点,过F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中B,D在x轴上方,M,N分别为AB,DE的中点. (1)证明:直线MN过定点; (2)设G为直线AE与直线BD的交点,求△GMN面积的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的对称性,不妨设x1<x2,l:x=my+1(m>0),由 得y2-4my-4 =0,故Δ=16(m2+1)>0, y1+y2=4m,y1y2=-4,则 =2m, = =2m2+1, 所以M(2m2+1,2m),同理可得N  +1,-  , 若m≠1,则直线MN:y= (x-2m2-1)+2m= (x-3),则直线MN过点(3,0);若m=1,则直线MN:x=3,直线 MN过点(3,0). 综上,直线MN过定点(3,0). (2)连接AD,设H为AD的中点,S为直线GM与AD的交点. 连接HM,DM,由M,H分别为AB,AD的中点知MH∥DG,所以S△GHD=S△MGD,故S△GSH=S△MSD, 第1讲　描述运动的基本概念 设T为直线GN与AD的交点,连接HN,AN,同理可得S△GHT=S△TAN, 所以S△GMN=S四边形ADMN, 由(1)可得AB= |y1-y2|=4(m2+1),同理可得DE=4 , 所以S△GMN= ·AM·DN= ·AB·DE=2(m2+1) =2 ≥8,当且仅当m2=1时等号成立, 因此△GMN的面积的最小值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 $