3.3.2 第1课时 抛物线的几何性质(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 高中数学抛物线几何性质专项训练，以题载法构建“定义-性质-应用”逻辑链，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题（含一题多解）|定义法求轨迹、方程转化、几何对称、函数最值|从抛物线定义、标准方程到焦点准线关系，逐步过渡到距离、面积计算| |综合运用|4题|坐标法建模、相似三角形、动态几何分析|结合圆、实际问题（青花瓷盖碗），深化性质综合应用，体现数学语言表达|

第1课时　抛物线的几何性质 1.若抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则实数a=（　　） A．－　 　B．－ C．－4　 　D．－2 2.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线上，且AF=2，∠OFA=120°，则p=（　　） A．1　 　B．2 C．3　 　D．4 3.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　） A．－　 　B．－1 C．－　 　D．－ 4.在同一坐标系中，方程＋=1与ax＋by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（　　） 5.已知圆x2＋y2=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p=（　　） A．　 　B． C．　 　D． 6.〔多选〕点M（1，1）到抛物线y=ax2（a≠0）的准线的距离为2，则a的值可以为（　　） A．　 　B．－ C．　 　D．－ 7.设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线距离的最小值为　　　　． 8.已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则z=x2＋y2＋3的最小值是　　　　． 9.已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2=x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积为　　　　． 10.〔一题多解〕已知点M到点F（－2，0）的距离比点M到直线x=3的距离小1. （1）求点M的轨迹方程； （2）求线段MF中点Q的轨迹方程． 11.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（　　） A．5 cm　 　B．6 cm C．7 cm　 　D．8.25 cm 12.〔多选〕（2026•盐城月考）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若=3，则（　　） A．||=　 　B．||=4 C．||=3||　 　D．||=4|| 13.（2026•扬州质检）抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为　　　　． 14.已知抛物线y2=8x． （1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； （2）以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，OA=OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 答案 第1课时　抛物线的几何性质 1.A　2.A　3.C 4.A　由a＞b＞0，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，方程ax＋by2＝0可化为y2＝－x，由于－＜0，则方程表示焦点在x轴上开口向左的抛物线. 5.D　设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知AF＝AD＝p，则（）2＋p2＝1，解得p＝. 6.AB　抛物线y＝ax2（a≠0）的准线方程为y＝－，因为点M（1，1）到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，所以｜1＋｜＝2，解得a＝或a＝－. 7.6　解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴＝6，又抛物线上的点到准线距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线距离的最小值为6. 8.3　解析：因为点（x，y）在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，所以当x＝0时，z最小，最小值为3. 9.3　解析：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关于抛物线的对称轴（x轴）对称，不妨设A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则B（x0，－y0）.由AF＝x0＋＝，解得x0＝3，∴y0＝，∴△AOB的边长AB＝2y0＝2，∴△AOB的面积为×2×3＝3. 10.解：（1）法一 设M（x，y），由题意知＋1＝｜x－3｜， 当x≥3时，可化为＝x－4，整理得，y2＝－12（x－1）（舍去）， 当x＜3时，可化为＝2－x，整理得，y2＝－8x（x≤0）， 故点M的轨迹方程为y2＝－8x. 法二 由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线x＝2的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，x＝2为准线的抛物线， 故点M的轨迹方程为y2＝－8x. （2）设Q（x，y），M（x0，y0）， 则所以 又＝－8x0，故（2y）2＝－8（2x＋2），即y2＝－4（x＋1），所以线段MF中点Q的轨迹方程为y2＝－4（x＋1）. 11.C　以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py（p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h（cm），则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，解得42＝4（h－3），解得h＝7.故选C. 12.BC　抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），准线l为x＝－1，设准线l与x轴交于点M，∵＝3，由△ABH与△AFM相似得：＝＝，∵MF＝2，∴BH＝×2＝，即｜｜＝，故A错误；由抛物线定义得BF＝BH，∴AF＝3BF＝3BH＝4，即｜｜＝4，｜｜＝3｜｜，故B、C正确，D错误，故选B、C. 13.4　解析：据题意知，△PMF为等边三角形时，PF＝PM，所以PM垂直抛物线的准线，设P（，m），则M（－1，m），则等边三角形边长为1＋，因为F（1，0），所以由PM＝FM，得1＋＝，解得m2＝12，所以等边三角形边长为4，其面积为4. 14.解：（1）抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为（0，0），（2，0），x＝－2，x轴，x≥0. （2）如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，设垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心，则OF＝OM. 因为F（2，0），所以OM＝OF＝3， 所以M（3，0），故设A（3，m），代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝2或m＝－2， 所以A（3，2），B（3，－2）， 所以OA＝OB＝，所以△OAB的周长为2＋4. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $