第11课时 3.3.2抛物线的几何性质(2)课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

2026-10-12

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第3章　圆锥曲线与方程第11课时　抛物线的几何性质(2) 学习目标： 1. 掌握抛物线的几何性质及其简单应用． 2. 应用抛物线的定义及性质解决与抛物线相关的最值问题．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页若动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2, 0)的距离大2，求点P的轨迹方程． [处理建议]　先画图，因涉及点的距离和到直线的距离，故向抛物线定义进行转化． [规范板书]　解　解法1：如图，过点P向x＝－4作垂线，垂足为Q，垂线段与x＝－2交于点N. 例 1 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页由题意知PQ＝PM＋2. 又因为PQ＝PN＋2，所以PN＝PM，且点M不在x＝－2上，从而点P的轨迹是以点M为焦点，x＝－2为准线的抛物线．故其轨迹方程为y2＝8x. 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页解法2：设P(x, y)．所以(x＋2)2＝(x－2)2＋y2，化简得y2＝8x，故点P的轨迹方程为y2＝8x. [题后反思]　求解轨迹方程，常用定义法和直译法(过程中需注意渗透数形结合的思想方法)．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程． [规范板书]　解　由题意知点P到圆心A(－2, 0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，焦点为A，准线为x＝2，故点P的轨迹方程为y2＝－8x. [题后反思]　圆与圆的位置关系可转化为点到点的距离，进而化归同一题型．变式上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 1. 若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A. y2＝8x B. y2＝－8x C. y2＝4x D. y2＝－4x A 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 2. 从抛物线y2＝16x上任取一点，向x轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程为_______________. 提示　设A(x0, y0)为抛物线y2＝16上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，则B(x0, 0)．设线段AB的中点为M(x, y)， y2＝4x 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页已知M为抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，定点P(3, 1)，求MP＋MF的最小值及此时点M的坐标． [处理建议]　利用抛物线的定义将过焦点的弦进行转化，从而使问题得以简化． [规范板书]　解　过点M作准线x＝－1的垂线，垂足为Q. 由定义知MF＝MQ，所以MP＋MF＝MP＋MQ. 例 2 [题后反思]　将到焦点的距离转化为到准线的距离后，任意方向距离转化为水平距离．化二维距离为一维距离，实现降维转化．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页已知抛物线x2＝4y, M是此抛物线上的一个动点，点A的坐标为(12, 6)，求点M到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值． [规范板书]　解　如图，即求MA＋MN的最小值．由抛物线定义知MA＋MN＝MA＋MF－1≥AF－1＝13－1＝12. [题后反思]　也可将到准线的距离转化成到焦点的距离，使问题得到简化. 变式上一页返回栏目导航下一页第‹#›页在抛物线y2＝2x上求一点P，使其到直线l：x＋y＋4＝0的距离最短，并求最短距离． [处理建议]　先画图、分析，再对比讨论各种解法．例 3 解法1：令t＝x＋y，设直线x＋y＝t与抛物线y2＝2x有公共点．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页上一页返回栏目导航下一页第‹#›页上一页返回栏目导航下一页第‹#›页解法3：设直线l′：x＋y＋m＝0与抛物线相切，则平行线l′与l间的距离即为抛物线上的点到直线l的最小距离．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 [题后反思]　解法1，通过对x，y的二元一次代数式的换元，将其转化为直线，进而将条件转化为“保证直线与抛物线有公共点”，降低了思维难度；解法2，充分利用抛物线方程的结构特点，对点到直线的距离公式进行消元，将其转化为一元函数问题；解法3，利用几何图形的直观性，借助于切线解决问题．上述三种方法在处理圆锥曲线上动点到定直线距离的最小值问题时，应用广泛，需认真体会、熟练掌握．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页已知抛物线y2＝2x，点A(2, 0)，求抛物线上距离A最近的点P的坐标及相应的距离PA. [规范板书]　解　设抛物线上任一点P(x, y)，则PA2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋2x＝(x－1)2＋3. 因为x≥0，所以当x＝1时，(PA2)min＝3，变式 [题后反思]　运用函数思想，将距离转化为关于x的二次函数，结合定义域进行求解．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 1. 已知点A(0, －4), B(－3, 2)，那么抛物线y2＝8x上的点到直线AB的最短距离为___. 提示　由题意知直线AB: 2x＋y＋4＝0. 设直线2x＋y＋t＝0与抛物线y2＝8x相切，消去x得y2＋4y＋4t＝0，故Δ＝0，得t＝1，上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 2. 已知点P(4, 2)在抛物线y2＝4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使MP＋MF最小，并求此最小值．解　如图，过点M作准线l的垂线MA，垂足为A，则由抛物线的定义有MF＝MA，所以MP＋MF＝MP＋MA. 显然当P, M, A三点共线时，MP＋MF最小．此时，点M的坐标为(1, 2)，最小值为5. 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页已知抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度分别为m, n的两部分，设点A(x1, y1), B(x2, y2)．求证：例 4 [处理建议]　对于直线与抛物线相交问题，可以将直线方程与抛物线方程联立，通过韦达定理，设而不求，整体代换．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 [规范板书]　证明　(1) 若直线AB的斜率不存在，若直线AB的斜率存在，上一页返回栏目导航下一页第‹#›页过点A作AM⊥l，垂足为M，过点B作BN⊥l，垂足为N，上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 (3) 若直线AB的斜率不存在，若直线AB的斜率存在，上一页返回栏目导航下一页第‹#›页所以以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．综上，以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 [题后反思]　1. 对于恒成立问题亦可先特殊化得出结论，再证明． 2. (4)也可以利用几何法，即抛物线的定义来证明．具体如下：设线段P1P2的中点为P0.如图，过点P0, P1, P2分别向准线作垂线，垂足分别为Q0, Q1, Q2. 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页上一页返回栏目导航下一页第‹#›页已知A, B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB. (1) 求A, B两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2) 求证：直线AB过定点． [处理建议]　OA⊥OB在解析几何中，常与向量相结合，转化成x1x2＋y1y2＝0；再运用根与系数的关系进行求解．变式上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 [规范板书]　解　设A(x1, y1), B(x2, y2)(x1≠x2)． (1) 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0. 因为y1≠0, y2≠0，所以y1y2＝－4p2(定值)，从而x1x2＝4p2(定值)．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页因而直线AB过定点(2p, 0)． [题后反思]　在求证直线过定点时，一般要先写出直线方程，再确定所过的点．上一页返回栏目导航下一页第‹#›页－4 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页 2. 已知直线l过抛物线C: y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线C交于A, B两点，分别过点A, B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A1, B1，求证：以A1B1为直径的圆与直线l相切于点F. 解　设准线与x轴交于点F1，则BB1∥FF1，所以∠BB1F＝∠B1FF1. 由抛物线的定义知BB1＝BF，所以∠BB1F＝∠BFB1，从而∠B1FF1＝∠BFB1. 同理可证∠A1FA＝∠A1FF1. 因为∠AFB＝180°，上一页返回栏目导航下一页第‹#›页从而A1F⊥FB1. 设线段A1B1的中点为M，则FM＝A1M＝B1M. 又B1B＝BF, BM＝BM，所以△BB1M≌△BFM，从而∠BFM＝∠BB1M＝90°，所以以A1B1为直径的圆与直线l相切于点F. 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页课堂小结从代数或几何相结合的角度来研究抛物线的综合问题. 上一页返回栏目导航下一页第‹#›页由题意知|x＋4|＝＋2，且x>－4，则x＝x0, y＝，所以(2y)2＝16x，即y2＝4x. 当P, M, Q三点共线时，(MP＋MQ)min＝PQ＝4，此时yM＝1，从而xM＝. 因此，当M时，MF＋MP的最小值为4. [规范板书]　解　设P(x, y)为抛物线y2＝2x上任意一点，点P到l的距离为d，则d＝. 由得y2＋2y－2t＝0. 令Δ≥0，可得t≥－，所以x＋y＋4≥，故d≥＝，即dmin＝.当且仅当x＋y＝－时，d取最小值．由解得即当点P的坐标为时，d有最小值. 解法2：由平面区域知识可得x＋y＋4>0，故d＝. 又x＝，故d＝＝≥＝.　当y＝－1时，x＝. 即当点P的坐标为时，d有最小值. 即当点P的坐标为时，d有最小值. 由得y2＋2y＋2m＝0，所以Δ＝4－8m＝0，得m＝. 此时直线l′的方程为x＋y＋＝0，l与l′的距离d＝＝. 由得从而距离A最近的点P的坐标为(1, ±)，此时PAmin＝. 所以d＝＝. (1) y1y2＝－p2, x1x2＝； (2) AB＝x1＋x2＋p； (3) ＋＝； (4) 以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝. 综上，y1y2＝－p2, x1x2＝. 则y1y2＝－p2, x1x2＝，显然成立．则设直线AB的斜率为k，且直线AB过焦点F，所以直线AB的方程为y＝k. 联立消去x并整理，得y2－y－p2＝0，则y1y2＝－p2. (2) 由题意得抛物线的准线l的方程为x＝－. 则AB＝AF＋BF＝AM＋BN＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p. 综上，＋＝. 则＋＝＝＝＝. 则由(1)和(2)，得m＋n＝x1＋x2＋p＝＋p＝， mn＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝，所以＋＝＝. (4) 若直线AB的斜率不存在，则抛物线的焦点F为圆心，半径为p，若直线AB的斜率存在，则圆心坐标为. 由(1)和(3)，得＝，半径为＝. 又圆心到准线的距离为＋＝，由抛物线的定义知P1F＝P1Q1, P2F＝P2Q2，则P1P2＝P1F＋P2F＝P1Q1＋P2Q2. 又因为P1Q1∥P0Q0∥P2Q2, P1P0＝P0P2，所以P0Q0＝(P1Q1＋P2Q2)＝P1P2，从而P0Q0是以P1P2为直径的圆的半径，且P0Q0⊥l，故该圆与准线相切．因为y＝2px1, y＝2px2，所以·＋y1y2＝0. 从而直线AB: y－y1＝(x－x1)，所以y＝x＋y1－ (2) 因为y＝2px1, y＝2px2，所以y－y＝2p(x1－x2)，因为＝，所以kAB＝，＝x＋＝x－＝(x－2p)， 1. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦AB的两个端点分别为A(x1, y1), B(x2, y2)，则的值一定等于______. 所以∠A1FB1＝∠A1FF1＋∠B1FF1＝∠AFF1＋∠BFF1＝90°， $

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