3.3.2 第1课时 抛物线的几何性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，通过手电筒聚光情境导入，系统呈现标准方程、焦点、准线等性质，结合自我诊断题巩固基础，构建从情境到理论再到应用的学习支架。 其亮点在于融合直观想象、数学运算与逻辑推理，如太阳灶问题培养建模能力，题型分类总结代数法与几何法提升解题逻辑。学生能提升直观想象和运算能力，教师可借助分层练习和规律方法高效教学。

3.3.2　抛物线的几何性质 第三章　圆锥曲线与方程 1 课标要求 1.了解抛物线的简单几何性质（直观想象）. 2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用（数学运算、逻辑推理）. 第1课时　抛物线的几何性质 第三章　圆锥曲线与方程 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 　　一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒 里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？ 【问题】　上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px（p ＞0） y2＝－2px（p ＞0） x2＝2py（p ＞0） x2＝－2py（p ＞0） 图形 性 质 焦点 F F F F 准线 x＝ ⁠ x＝ ⁠ y＝ ⁠ y＝ ⁠ － － 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 标准方程 y2＝2px（p ＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p ＞0） x2＝－2py（p＞0） 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 ⁠轴 ⁠轴 顶点 O ⁠ 性 质 离心率 e＝ ⁠ 开口方向 向 ⁠ 向 ⁠ 向 ⁠ 向 ⁠ x　 y　 （0，0） 1 右 左 上 下 提醒：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越 大，反之，开口越小. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴. （　√　） （2）抛物线y＝－ x2的准线方程是x＝ . （　×　） （3）抛物线是中心对称图形. （　×　） √ × × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与准线的距离为3的抛物线的标准 方程为（　　） A. x2＝±6y B. y2＝±6x C. x2＝±12y D. y2＝±12x 解析：　由题意设抛物线方程为x2＝±2py（p＞0），且 ＝3，所以p ＝6，因此抛物线的标准方程为x2＝±12y. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P是抛物线上一点，若PF＝3，则P点 的横坐标为 ⁠. 解析：由抛物线方程可得2p＝4，即p＝2，则PF＝xP＋ ＝xP＋1＝3，解 得xP＝2. 2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 12 题型一　由抛物线几何性质求标准方程 （链接教科书第116页练习3题）（1）在平面直角坐标系xOy中，有一 定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦 点，则该抛物线的标准方程是 ⁠； 解析：线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为（ ， 0），∴抛物线的焦点为（ ，0），∴其标准方程是y2＝5x. y2＝5x 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线 及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线方程. 解：设抛物线方程为y2＝2ax（a≠0），点P（x0，y0）. 因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6， 因为点P到准线距离为10，所以｜x0＋ ｜＝10.　① 因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0.　② 由①②，得 或 或 或 所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 由抛物线的几何性质求标准方程的方法 （1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知 数； （2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准 距，从而得到抛物线的标准方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过 A，B的抛物线方程是（　　） A. y2＝ x B. y2＝－ x C. y2＝± x D. y2＝± x 解析：设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.又A（± ， ）（取点A在x轴上方），则有 ＝± a，解得a＝± ，所以抛物线方程为y2＝± x. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直 线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程. 解：椭圆的方程可化为 ＋ ＝1， 其短轴在x轴上， 所以抛物线的对称轴为x轴， 所以设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）或y2＝－2px（p＞0）. 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即 ＝3，所以p＝6， 所以所求抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　由抛物线标准方程研究几何性质 （链接教科书第116页练习4题）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为 F，其准线与双曲线 － ＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角 形，则p＝ ⁠. 解析：如图，在等边△ABF中，DF＝p，BD＝ p，则B点坐标为 .又点B在双曲线上，故 － ＝1.解得p＝6. 6 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 由抛物线标准方程研究几何性质的要点 （1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负； （2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于 对称轴； （3）定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通 径）长为2p（p＞0）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若OA＝OB，且△AOB的面 积为16，则∠AOB＝（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：由OA＝OB，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A（－a， ），B（a， ），则S△AOB＝ ×2a× ＝16，解得a＝4，所以AB＝ 8，OA＝OB＝4 ，所以∠AOB＝90°. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　抛物线的实际应用 （链接教科书第115页例2）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（　　） A. 0.5 m B. 1 m C. 1.5 m D. 2 m √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），集光板端点A（1，0.25），代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F（0，1）.所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 解决抛物线实际应用问题的五个步骤 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2026·苏州月考）苏州市“东方之门”是由两 栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造 型是“东方之门”的立意基础，“门”的内侧曲 线是抛物线的一部分，如图①.两栋建筑之间有 一条长60 m的连桥AB，在该抛物线两侧距连桥 150 m处各有一窗户，两窗户的水平距离CD＝30 m，如图②.则此抛物线顶点O到连桥AB的距离为（　　） A. 180 m B. 200 m C. 220 m D. 240 m √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由题意设D（15，h）（h＜0），B（30，h－150），则 解得 所以此抛物线顶点O到连桥AB的距离为50＋150＝200（m），故选B. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 焦点坐标为（－1，0） C. 准线方程为x＝1 D. 对称轴为x轴 解析：　易知抛物线y2＝－2x的开口向左，故A中说法错误；焦点坐标 为（－ ，0），故B中说法错误；准线方程为x＝ ，故C中说法错误；对 称轴为x轴，故D中说法正确.故选D. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线 方程是（　　） A. y2＝8x B. y2＝－8x C. y2＝8x或y2＝－8x D. x2＝8y或x2＝－8y 解析：依题意设抛物线方程为y2＝±2px（p＞0）.因为焦点与原点之间的距离为2，所以 ＝2，所以2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的 坐标为 ⁠. 解析：设抛物线的焦点为F，原点为O，P（x0，y0），由条件及抛物线 的定义知，PF＝PO，又F（ ，0），所以x0＝ ，所以 ＝ ，所以y0 ＝± . （ ，± ） 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 如图是抛物线形拱桥，设水面宽AB＝18米，拱顶距离水面8米，一货船 在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF. 若CD＝9米，那么DE不超过多 少米才能使货船通过拱桥？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的 直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标 系，则B（9，－8）. 设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）. ∵B点在抛物线上，∴81＝－2p·（－8），∴p＝ ， ∴抛物线的方程为x2＝－ y. 当x＝ 时，y＝－2，即DE＝8－2＝6. ∴DE不超过6米才能使货船通过拱桥. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 31 1. 若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝（　　） A. － B. － C. －4 D. －2 解析：　因为抛物线y＝ax2的方程可化为x2＝ y，所以准线方程为y＝ － ，由题意可知－ ＝1，解得a＝－ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在 抛物线上，且AF＝2，∠OFA＝120°，则p＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　过点A作AM垂直抛物线的准线，垂足为M，过点F作FN⊥AM于点N，由于AF＝2，∠OFA＝120°，则∠NFA＝30°，故AN＝1.又AM＝AF＝2，则MN＝2OF＝p＝AM－AN＝1，故p＝1.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的 焦点为F，则直线AF的斜率为（　　） A. － B. －1 C. － D. － 解析：　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－ ，且点A（－2，3） 在准线上，所以 ＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为 （2，0），故直线AF的斜率k＝ ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 在同一坐标系中，方程 ＋ ＝1与ax＋by2＝0（a＞b＞0）的曲线大 致是（　　） 解析：　由a＞b＞0，则方程 ＋ ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，方程 ax＋by2＝0可化为y2＝－ x，由于－ ＜0，则方程表示焦点在x轴上开口 向左的抛物线. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线 的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p＝（　　） A. B. 解析：设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知AF＝AD＝p，则（ ）2＋p2＝1，解得p＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕点M（1，1）到抛物线y＝ax2（a≠0）的准线的距离为2，则 a的值可以为（　　） A. B. － C. D. － 解析：抛物线y＝ax2（a≠0）的准线方程为y＝－ ，因为点M（1，1）到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，所以｜1＋ ｜＝2，解得a＝ 或a＝－ . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线距离的最小 值为 ⁠. 解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴ ＝6，又抛物线上的点到准 线距离的最小值为 ，∴抛物线上的点到准线距离的最小值为6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 已知点（x，y）在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋ y2＋3的最小值 是 ⁠. 解析：因为点（x，y）在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，因为z＝x2＋ y2 ＋3＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，所以当x＝0时，z最小，最小值为3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点， 顶点A到抛物线的焦点F的距离等于 ，则△AOB的面积为 　3 　. 解析：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关 于抛物线的对称轴（x轴）对称，不妨设A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）， 则B（x0，－y0）.由AF＝x0＋ ＝ ，解得x0＝3，∴y0＝ ，∴△AOB 的边长AB＝2y0＝2 ，∴△AOB的面积为 ×2 ×3＝3 . 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 〔一题多解〕已知点M到点F（－2，0）的距离比点M到直线x＝3的 距离小1. （1）求点M的轨迹方程； 解：法一 设M（x，y），由题意知 ＋1＝｜x－3｜， 当x≥3时，可化为 ＝x－4，整理得，y2＝－12（x－1） （舍去）， 当x＜3时，可化为 ＝2－x，整理得，y2＝－8x （x≤0）， 故点M的轨迹方程为y2＝－8x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二 由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线x＝2的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，x＝2为准线的抛物线， 故点M的轨迹方程为y2＝－8x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求线段MF中点Q的轨迹方程. 解：设Q（x，y），M（x0，y0）， 则 所以 又 ＝－8x0，故（2y）2＝－8（2x＋2），即y2＝－4（x＋1），所以线 段MF中点Q的轨迹方程为y2＝－4（x＋1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡 远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形 状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚 度忽略不计）（　　） A. 5 cm B. 6 cm C. 7 cm D. 8.25 cm √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立 直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py （p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25，解 得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到 碗底的垂直距离为h（cm），则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，解得42＝4（h－3），解得h＝7.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕（2026·盐城月考）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准 线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为 H，若 ＝3 ，则（　　） A. ｜ ｜＝ B. ｜ ｜＝4 C. ｜ ｜＝3｜ ｜ D. ｜ ｜＝4｜ ｜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），准线l为x＝ －1，设准线l与x轴交于点M，∵ ＝3 ，由△ABH与 △AFM相似得： ＝ ＝ ，∵MF＝2，∴BH＝ ×2＝ ，即｜ ｜＝ ，故A错误；由抛物线定义得BF＝BH， ∴AF＝3BF＝3BH＝4，即｜ ｜＝4，｜ ｜＝3｜ ｜， 故B、C正确，D错误，故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. （2026·扬州质检）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动 点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积 为 ⁠. 解析：据题意知，△PMF为等边三角形时，PF＝PM，所 以PM垂直抛物线的准线，设P（ ，m），则M（－1， m），则等边三角形边长为1＋ ，因为F（1，0），所以 由PM＝FM，得1＋ ＝ ，解得m2＝12，所以等边三角形边长为4，其面积为4 . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知抛物线y2＝8x. （1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； 解：抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为（0，0），（2，0），x＝－2，x轴，x≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，OA＝OB，若 焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 解：如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，设垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心，则OF＝ OM. 因为F（2，0），所以OM＝ OF＝3， 所以M（3，0），故设A（3，m），代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝ 2 或m＝－2 ， 所以A（3，2 ），B（3，－2 ）， 所以OA＝OB＝ ，所以△OAB的周长为2 ＋4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $