第1节空间向量及其运算与基本定理专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

湖南省平江县颐华学校高二数学选择性必修一作业 第1节 空间向量及其运算与基本定理（命题细目表） 题号 题型 考查考点 难度系数 分值 能力层次 1 单项选择 空间向量的线性运算（平行四边形法则与三角形法则）（改编自2024年新课标Ⅱ卷） 0.80 5 理解 2 单项选择 数乘向量与三点共线的判定（改编自2024年全国甲卷） 0.76 5 理解 3 单项选择 共线向量定理求参数（改编自2024年全国乙卷） 0.72 5 理解 4 单项选择 用一组基底表示向量（中点模型）（改编自2024年北京卷） 0.68 5 掌握 5 单项选择 共面向量定理的辨析（改编自2024年天津卷） 0.62 5 理解 6 单项选择 用基底表示向量的线性运算（改编自2024年浙江卷） 0.60 5 掌握 7 单项选择 点在平面内的充要条件（系数和为 1）（改编自2023年新高考Ⅰ卷） 0.56 5 掌握 8 单项选择 空间基底与线性无关的判定（改编自2023年新高考Ⅱ卷） 0.52 5 掌握 9 多项选择 空间向量线性运算的基本性质（改编自2023年全国甲卷） 0.58 6 理解 10 多项选择 共线向量定理与共面向量定理的辨析（改编自2023年全国乙卷） 0.55 6 理解 11 多项选择 共线、共面与空间基底的判定（改编自2023年北京卷） 0.52 6 掌握 12 填空 向量的线性运算与系数合并（改编自2023年天津卷） 0.72 5 了解 13 填空 三点共线的充要条件（改编自2023年浙江卷） 0.62 5 理解 14 填空 三向量共面的系数关系（线性相关）（改编自2022年新高考Ⅰ卷） 0.48 5 掌握 15 解答 空间向量的线性运算与化简（改编自2022年新高考Ⅱ卷） 0.68 13 理解 16 解答 向量运算与四点共面的判定（改编自2022年全国甲卷） 0.62 15 理解 17 解答 基底、共面与线性表示（改编自2022年全国乙卷） 0.55 15 掌握 18 解答 位置向量相减求边向量、三点共线的证明（改编自2022年北京卷） 0.50 17 掌握 19 解答 共面向量定理的综合应用（点在平面内的判定与证明）（改编自2022年浙江卷） 0.42 17 应用 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高二数学选择性必修一作业 第1节 空间向量及其运算与基本定理 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．在平行六面体 中，化简 ，其结果等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 先看底面：在平行四边形 中，由平行四边形法则得 ；再由三角形法则，把侧棱 平移到 （二者相等），得 。所以原式 ，选 A。 【考点】空间向量的线性运算（平行四边形法则与三角形法则）（改编自2024年新课标Ⅱ卷） 【方法总结】共起点的两个向量优先用平行四边形法则合成，再加入第三个向量；平行六面体中 与 是相等向量，这是把“侧面斜棱”转成“从 A 直接到 ”的关键。 【难度系数】0.80（能力层次：理解） 2．已知空间三点 O，A，B 不共线，点 P 满足 ，则（   ） A. O，A，P 三点共线 B. A，B，P 三点共线 C. O，B，P 三点共线 D. A，B，O，P 四点共面但不一定共线 【答案】B 【解析】 把已知式两边同时减去 ： ，即 。这说明 与 是共线向量，且它们有共同的起点 A，所以 A，B，P 三点共线，选 B。 【考点】数乘向量与三点共线的判定（改编自2024年全国甲卷） 【方法总结】判断“点在直线上”，就是看以同一点为起点、分别指向该点与直线上已知点的两个向量是否共线：（ 倍也是共线）。 【难度系数】0.76（能力层次：理解） 3．已知 ， 不共线，，，若 与 共线，则实数 等于（   ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 两向量共线，就是其中一个能写成另一个的实数倍。设 ，则 ，移项整理得 。因为 ， 不共线，所以两边的系数必须分别为 0： 且 ，解得 ，，选 C。 【考点】共线向量定理求参数（改编自2024年全国乙卷） 【方法总结】把两个向量都用同一组不共线向量表示后，共线等价于“对应系数成比例”。这里把 a，b 当作“坐标系”，比较系数即可，注意 中 t 已经求出，绝不能把系数当成 t。 【难度系数】0.72（能力层次：理解） 4．在四面体 中，M 为棱 的中点，N 为棱 的中点，则在基底 下， 等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 把 O 作为公共起点，由中点公式得 ， 。于是 ，选 B。 【考点】用一组基底表示向量（中点模型）（改编自2024年北京卷） 【方法总结】用“位置向量法”处理线段中点：（终点位置向量减起点位置向量），中点对应系数为。注意减号作用于括号内每一项，OB、OC 都要变号。 【难度系数】0.68（能力层次：掌握） 5．已知 ， 不共线，且 ，则（   ） A. 向量 共面 B. 向量 共线 C. 向量组 可以作为空间的一组基底 D. 向量 与 共线 【答案】A 【解析】 由 知 可以由 线性表示，按共面向量定理， 三向量共面，A 正确。再看 D：若 与 共线，则存在实数 使 ，即 。因 不共线，故 且 ，显然矛盾，D 错误。三向量共面说明三者线性相关，不能作为基底，C 错误； 不共线，故 B 也错误。选 A。 【考点】共面向量定理的辨析（改编自2024年天津卷） 【方法总结】三个向量中只要有一个能由另外两个线性表示，它们就共面（线性相关），此时必不能作基底；反之，三个不共面的向量才能作基底。判别“共线”时把式子整理成 再比较系数。 【难度系数】0.62（能力层次：理解） 6．已知 为空间的一组基底，，，则 等于（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 先代入再合并： ，选 D。 【考点】用基底表示向量的线性运算（改编自2024年浙江卷） 【方法总结】在固定基底下表示向量，只需按分配律去括号，再把 、、 的系数分别相加。易错点： 应得 （系数为 1，常被漏写）。 【难度系数】0.60（能力层次：掌握） 7．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 外一点，点 M 满足 。若点 M 在平面 内，则 等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为 O 在平面 外，所以 不共面。此时“点 M 在平面 ABC 内”等价于 关于 的系数之和为 1： ，所以 ，选 B。 【考点】点在平面内的充要条件（系数和为 1）（改编自2023年新高考Ⅰ卷） 【方法总结】只要 O 不在平面 ABC 内，则 M 在平面 ABC 内 ⟺ 位置向量按 OA、OB、OC 分解时系数和为 1（仿射组合）。若去掉“O 在平面外”这个条件，表示法不唯一，结论就不再等价。 【难度系数】0.56（能力层次：掌握） 8．已知 是空间的一个基底，则下列向量组中，不能作为空间的一组基底的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 三个向量能作为空间基底，等价于它们线性无关。A：设 ，整理得 。由 是基底得 ，，，三者相加得 ，代回即得 ，线性无关，能作基底。B：设 ，即 ，同理得 ，能作基底。D：设 ，即 ，得 ，，能作基底。C：因为 ，取三个系数都为 1（不全为零）就能使线性组合为零，三向量线性相关，不能作为空间的基底，选 C。 【考点】空间基底与线性无关的判定（改编自2023年新高考Ⅱ卷） 【方法总结】判定基底 判定线性无关：设 ，用已知基底 、、 归并系数，得到关于 x、y、z 的方程组——只有零解则无关。若三个向量的和恰好为零向量（如 、、），可立即断定相关。 【难度系数】0.52（能力层次：掌握） 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9．关于空间向量的线性运算，下列结论正确的是 A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 C. 空间中任意两个非零向量一定共线 D. 若 （），则 【答案】ABD 【解析】 A：这是数乘运算中“零积”的基本结论，符号相反的两个实数也满足 （此时 必须为零向量），故 A 正确。B：向量加法满足消去律，两边同时加上 得 ，B 正确。C：空间中两个非零向量的方向是任意的，例如正方体三条棱所在方向的向量两两不共线，故 C 错误。D：因为 ，两边同乘 得 ，D 正确。选 ABD。 【考点】空间向量线性运算的基本性质（改编自2023年全国甲卷） 【方法总结】向量运算与实数运算「形似但不同」：加法、数乘满足交换律、结合律、分配律与消去律；但「共线」需要方向相同或相反，不能由「都是非零向量」推出。判断命题真假时优先找反例（如零向量、正方体棱方向）。 【难度系数】0.58（能力层次：理解） 10．关于空间向量的共线与共面，下列判断正确的是 A. 若 不共线，则 与 也不共线 B. 空间中任意三个向量都可以作为空间的一组基底 C. 若 共面，则存在不全为零的实数 ，使 D. 若 （），则 A，B，C，P 四点共面 【答案】ACD 【解析】 A：反设 与 共线，则存在实数 使 ，即 。由 不共线得 且 ，于是 且 ，矛盾，故 A 正确。B：只有三个不共面的向量才能作基底，如三个向量共面时就不行，B 错误。C：三向量共面即三者线性相关，按定义存在不全为零的系数使线性组合为零向量，C 正确。D：由共面向量定理， 能由不共线向量 线性表示，说明 与 共面，而三者有公共点 A，故 A，B，C，P 四点共面，D 正确。选 ACD。 【考点】共线向量定理与共面向量定理的辨析（改编自2023年全国乙卷） 【方法总结】共线用“存在实数 t 使两向量成 t 倍”，共面用“能由两个不共线向量线性表示”。证明“不共线”常用反证法：设共线后比较系数必然矛盾。要注意共面向量定理中“两个向量不共线”这一前提。 【难度系数】0.55（能力层次：理解） 11．已知 ，， 是空间向量，则下列结论正确的是 A. 若 与 共线， 与 共线，则 与 一定共线 B. 若 不共面，则其中任意两个向量都不共线 C. 若 不共线，则 与 共面的充要条件是存在实数 ，使 D. 若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】 A：当 时， 与 共线、 与 共线都成立（零向量与任意向量共线），但 与 可以任意，如取 ， 为两条不共线的方向向量，则结论不成立，故 A 错误。B：若其中某两个向量共线，则三者必共面，与不共面矛盾，故任意两个都不共线，B 正确。C：这正是共面向量定理，条件与结论互相推出，C 正确。D：设 ，整理得 。由 是基底，得 ，，，解得 ，线性无关，可作基底，D 正确。选 BCD。 【考点】共线、共面与空间基底的判定（改编自2023年北京卷） 【方法总结】三个向量的线性组合为零向量时，先按已知基底归并系数，再解方程组。特别记住“零向量与任意向量共线”这一约定是 A 的陷阱所在；而 、、 型向量组仍线性无关，是常考结论。 【难度系数】0.52（能力层次：掌握） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知 ， 为非零向量，，，则 = ______（用 ， 表示）。 【答案】 【解析】 整体代入后去括号： 。 【考点】向量的线性运算与系数合并（改编自2023年天津卷） 【方法总结】把 p、q 当作整体代入，再用分配律去括号，最后按 a、b 分别合并系数，注意括号前是负号时每一项都要变号。 【难度系数】0.72（能力层次：了解） 13．已知空间三点 A，B，C 共线，O 为空间任意一点，且 ，则实数 = ______。 【答案】 【解析】 A，B，C 三点共线，等价于存在实数 ， 使 且 （此时 的起点 C 落在直线 上）。与已知式比较系数得 ，所以 。 【考点】三点共线的充要条件（改编自2023年浙江卷） 【方法总结】三点共线对应“仿射组合系数和为 1”，四点共面对应“系数和为 1 且基准三向量不共面”，这是同一套判据在不同维数下的形式，应与“向量共线”的系数成比例区分开。 【难度系数】0.62（能力层次：理解） 14．已知 为空间的一组基底，，，。若 共面，则 应满足的关系为 ______；特别地，当 ， 时， = ______。 【答案】； 【解析】 三向量共面，说明存在实数 ， 使 。按基底 比较系数得 。由前两式解得 ，代入第三式： ，故三者满足的关系为 。当 ， 时，。 【考点】三向量共面的系数关系（线性相关）（改编自2022年新高考Ⅰ卷） 【方法总结】三向量共面 其中一个是另两个的线性组合 以它们为列构成的方程组有非零解。解题套路是设 ，按已知基底比较系数得到关于 、 的方程，再消去 、 得到 x、y、z 的约束关系。 【难度系数】0.48（能力层次：掌握） 四、解答题（共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知 ，， 为空间向量，化简：。 【答案】 【解析】 解：按分配律逐项去括号： 再按同一个向量合并系数： 。所以原式 。 【考点】空间向量的线性运算与化简（改编自2022年新高考Ⅱ卷） 【方法总结】化简向量式“先展开、再归并”：去括号时留意符号（ 得 ），最后按 a、b、c 分别合并同类项，不要漏掉系数为 1 或 的项。 【难度系数】0.68（能力层次：理解） 16．（15 分）已知空间四点 O，A，B，C，其中 A，B，C 不共线，。(1) 化简 ；(2) 若 ，判断 A，B，C，D 四点是否共面，并说明理由。 【答案】(1) ；(2) A，B，C，D 四点共面（OD 关于 OA、OB、OC 的系数之和为 1）。 【解析】 (1) 由三角形法则， ，即首尾相接回到起点，结果为 。(2) 因为 A，B，C 不共线，所以 不共面， 关于它们的表示是唯一的。考查系数之和： 。由共面向量定理的推论，当 按 分解的系数之和为 1 时，点 D 位于平面 内，所以 A，B，C，D 四点共面。说明：也可以把结论写成 由 线性表示： ，再由 与 的线性组合整理成 的组合即可。 【考点】向量运算与四点共面的判定（改编自2022年全国甲卷） 【方法总结】①首尾相接的向量和必为零向量（用三角形法则）。②判断“点在平面内”的标准动作：把该点的位置向量按平面内三点分解，看系数之和是否为 1。③写解析时要说明 OA、OB、OC 不共面，表示法唯一，这是使用该判据的前提。 【难度系数】0.62（能力层次：理解） 17．（15 分）已知 是空间的一组基底，，，。(1) 判断 三个向量是否共面，并说明理由；(2) 若共面，用 表示 。 【答案】(1) 三向量共面；(2) 【解析】 (1) 观察三个向量的表达式，把前两个相加： ，恰好等于 。即 ，说明 能由 线性表示，所以 三向量共面。(2) 由(1)直接得到 。补充说明：也可以设 ，按基底 比较系数得 ，。 【考点】基底、共面与线性表示（改编自2022年全国乙卷） 【方法总结】判断三向量共面优先“观察能否凑成线性组合”，比直接解方程组快得多；凑不出来再设 按基底比较系数。注意 (2) 要求“用 a，b 表示 c”，答案必须写成 ，不能写成坐标形式。 【难度系数】0.55（能力层次：掌握） 18．（17 分）已知 ， 不共线，，，。(1) 求 （用 ， 表示）；(2) 判断 A，B，C 三点是否共线；若共线，写出 与 的关系。 【答案】(1) ，；(2) A，B，C 三点共线，且 【解析】 (1) 用终点位置向量减起点位置向量： 。(2) 由(1)的结果，把 中的公因式提出： 。所以 与 是共线向量，且都过公共点 B，故 A，B，C 三点共线。 【考点】位置向量相减求边向量、三点共线的证明（改编自2022年北京卷） 【方法总结】求边向量的固定动作是“终点减起点”，得到向量后用已知的不共线向量表示。判断三点共线，只需看两个共起点（或首尾相接）的向量是否成实数倍；若成 倍，说明两向量方向相反、长度成比例，仍共线。 【难度系数】0.50（能力层次：掌握） 19．（17 分）已知空间三点 A，B，C 不共线，O 为空间任意一点，点 P 满足 。(1) 求 关于 的系数之和，并说明点 P 的位置特征；(2) 若 ，且 A，B，C，D 四点共面，证明 ；(3) 在(2)的条件下，若 ，求 的值，并判断 O，A，B，C，D 五点是共面。 【答案】(1) 系数之和为 1，点 P 在平面 内；(2) 因 A，B，C，D 共面且 A，B，C 不共线，由共面向量定理推论，OD 关于 OA、OB、OC 的系数之和必为 1；(3) ，A，B，C，D 四点共面，但 O，A，B，C，D 五点不一定共面。 【解析】 (1) 系数之和为 。由共面向量定理的推论， 关于 的系数之和为 1，说明点 P 在平面 内。(2) 因为 A，B，C，D 四点共面，且 A，B，C 不共线，所以 可由 线性表示。设 ，即 。整理得 。由于 A，B，C 不共线， 不共面，表示法唯一，与已知式比较系数得 ，，，所以 。(3) 由(2)得 ，所以 。因为系数之和为 1，所以点 D 在平面 内，A，B，C，D 四点共面；但题设只说 O 是“空间任意一点”，若 O 不在平面 内，则五点不共面，故 O，A，B，C，D 五点不一定共面（仅当 O 也落在平面 内时才共面）。 【考点】共面向量定理的综合应用（点在平面内的判定与证明）（改编自2022年浙江卷） 【方法总结】本题是“点在平面内”判据的正反两用：正向由系数和为 1 断定 P 在平面内，反向由四点共面推出系数和为 1。证明的关键是“OA、OB、OC 不共面 表示法唯一”，据此才能比较系数。第(3)问要看清“四点共面”与“五点共面”的差别——多一个 O，结论就未必成立。 【难度系数】0.42（能力层次：应用） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高二数学选择性必修一作业 第1节 空间向量及其运算与基本定理 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．在平行六面体 中，化简 ，其结果等于（   ） A. B. C. D. 2．已知空间三点 O，A，B 不共线，点 P 满足 ，则（   ） A. O，A，P 三点共线 B. A，B，P 三点共线 C. O，B，P 三点共线 D. A，B，O，P 四点共面但不一定共线 3．已知 ， 不共线，，，若 与 共线，则实数 等于（   ） A. B. C. D. 2 4．在四面体 中，M 为棱 的中点，N 为棱 的中点，则在基底 下， 等于（   ） A. B. C. D. 5．已知 ， 不共线，且 ，则（   ） A. 向量 共面 B. 向量 共线 C. 向量组 可以作为空间的一组基底 D. 向量 与 共线 6．已知 为空间的一组基底，，，则 等于（   ） A. B. C. D. 7．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 外一点，点 M 满足 。若点 M 在平面 内，则 等于（   ） A. B. C. D. 8．已知 是空间的一个基底，则下列向量组中，不能作为空间的一组基底的是（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9．关于空间向量的线性运算，下列结论正确的是 A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 C. 空间中任意两个非零向量一定共线 D. 若 （），则 10．关于空间向量的共线与共面，下列判断正确的是 A. 若 不共线，则 与 也不共线 B. 空间中任意三个向量都可以作为空间的一组基底 C. 若 共面，则存在不全为零的实数 ，使 D. 若 （），则 A，B，C，P 四点共面 11．已知 ，， 是空间向量，则下列结论正确的是 A. 若 与 共线， 与 共线，则 与 一定共线 B. 若 不共面，则其中任意两个向量都不共线 C. 若 不共线，则 与 共面的充要条件是存在实数 ，使 D. 若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知 ， 为非零向量，，，则 = ______（用 ， 表示）。 13．已知空间三点 A，B，C 共线，O 为空间任意一点，且 ，则实数 = ______。 14．已知 为空间的一组基底，，，。若 共面，则 应满足的关系为 ______；特别地，当 ， 时， = ______。 四、解答题（共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知 ，， 为空间向量，化简：。 16．（15 分）已知空间四点 O，A，B，C，其中 A，B，C 不共线，。(1) 化简 ；(2) 若 ，判断 A，B，C，D 四点是否共面，并说明理由。 17．（15 分）已知 是空间的一组基底，，，。(1) 判断 三个向量是否共面，并说明理由；(2) 若共面，用 表示 。 18．（17 分）已知 ， 不共线，，，。(1) 求 （用 ， 表示）；(2) 判断 A，B，C 三点是否共线；若共线，写出 与 的关系。 19．（17 分）已知空间三点 A，B，C 不共线，O 为空间任意一点，点 P 满足 。(1) 求 关于 的系数之和，并说明点 P 的位置特征；(2) 若 ，且 A，B，C，D 四点共面，证明 ；(3) 在(2)的条件下，若 ，求 的值，并判断 O，A，B，C，D 五点是共面。 学科网（北京）股份有限公司 $