专题1.2 空间向量基本定理专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.2 空间向量基本定理 考点预览 考点一 空间向量基本定理与基底 考点二 用基底表示空间向量 考点三 共线、共面的基底判定（系数法） 考点四 用基底求模与数量积 考点五 正交分解与垂直、平行的向量证明 一、知识填空 1．空间向量基本定理 （1）如果三个向量 不共面，那么对空间中任一向量 ，存在 的有序实数组 ，使得 。 （2）定理中的三个向量必须 ；有序实数组 是 的。 2．基底与基向量 （1）若三个向量 不共面，则把 叫做空间的一个 ， 都叫做 。 （2）空间中任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底；一个基底的基向量有 个。 （3）零向量 （填“能”或“不能”）作为基向量。 3．正交分解 （1）如果空间的一个基底的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常记作 。 （2）把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 4．用基底表示向量 （1）用基底表示向量的关键是 法则：把目标向量放入三角形或平行四边形中，再用基底线性表示。 （2）若 是 的中点，则 ；若 是 的重心，则 。 5．共线、共面的基底表达 （1） 三点共线（ 为空间任一点） 存在 使 ，此时系数之和为 。 （2） 四点共面（ 为空间任一点， 不共线），且 。 自检自纠： 1．（1）唯一 （2）不共面；唯一 2．（1）基底；基向量 （2）不共面；3 （3）不能 3．（1）两两垂直；1 （2）垂直 4．（1）三角形 （2）； 5．（1）；1 （2）1 二、考点专练 考点一 空间向量基本定理与基底 方法与技巧： 1. 识别信号：题干出现“基底”“基向量”“能否构成基底”等字眼，或辨析基本定理的表述。 1. 操作流程：三向量是基底 三向量不共面。判定“不能构成基底”，只需说明其中一个向量可由其余两个线性表示（即三向量共面）。 1. 技巧·口诀：“三个不共面，才把基底当；零向量上场，基底就泡汤”。 1. 易错点：零向量不能作为基向量；两两不共线的三个向量仍可能共面；基底与基向量的顺序无关。 【例题精讲】 1．下列命题正确的是（　　） A．空间中任意三个向量都能构成一个基底 B．空间中三个不共面的向量一定能构成一个基底 C．两个向量也可以构成空间的一个基底 D．基底中可以含有零向量 【答案】B 【详解】由空间向量基本定理，只有三个不共面的向量才能作为基底，A 错、B 正确；空间基底必须含有 3 个不共面的向量，C 错；零向量与任意向量共面，不能作为基向量，D 错。故选 B。 2．若 是空间的一个基底，则下列向量中能与 一起构成基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】、、 都可由 线性表示，与 共面；只有 不在 确定的平面内，故 不共面，能构成基底。故选 C。 【变式训练】 1．已知 是空间的一个基底，则下列各组向量中不能构成基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】C 中 可由 线性表示，三向量共面，不能构成基底；A、B、D 三组均可验证不共面，能构成基底。故选 C。 2．下列命题中为真命题的是（　　） A． 可以作为一个基向量 B．空间中三个两两不共线的向量一定能构成一个基底C．若 不共面，则 不共面 D．空间中任意两个不共线的向量都能构成基底 【答案】C 【详解】零向量不能作基向量，A 假；三向量两两不共线仍可能共面，B 假；设 ，整理得 ，由 不共面得 ，解得 ，故三向量不共面，C 真；基底需三个向量，D 假。故选 C。 3．已知 是空间的一个基底，则向量 在该基底下表示系数的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】，系数之和为 。故选 C。 【巩固练习】 1．下列关于基底的说法正确的是（　　） A．单位正交基底的三个基向量两两垂直且都是单位向量 B．三个两两不共线的向量一定构成基底 C．基底中可以含有零向量 D．空间中任意四个向量都能构成基底 【答案】A 【详解】单位正交基底要求三个基向量两两垂直且都是单位向量，A 正确；三个向量两两不共线仍可能共面，B 错；零向量不能作基向量，C 错；基底由三个向量构成，D 错。故选 A。 2．若 是空间的一个基底，则 （　　） A．一定能构成基底 B．一定不能构成基底 C．只有当 时才能构成基底 D．无法判断 【答案】A 【详解】对基底中的向量作非零倍数伸缩不改变向量的不共面性，故 仍不共面，一定能构成基底。故选 A。 3．若 是空间的一个基底，则下列向量组中能构成基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、B 中三个向量都在 确定的平面内，共面；D 中三个向量共线；只有 C 中 不共面，能构成基底。故选 C。 4．已知 是空间的一个基底，向量 ，则 在基底 下的表示系数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得表示系数为 。故选 A。 5．若 是空间的一个基底，则 （　　） A．一定能构成基底 B．一定不能构成基底 C．无法确定 D．只有当 两两垂直时才是基底 【答案】A 【详解】由 不共面可证 不共面，故一定能构成基底。故选 A。 6．已知 是空间的一个基底，且 ，若 ，则（　　） A． B． C． 中至少有一个为 D．以上都不对 【答案】A 【详解】由基底中向量不共面及表示的唯一性，，故 。故选 A。 7．下列说法错误的是（　　） A．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 B．基底确定后，空间任一向量在该基底下的表示是唯一的 C．若三个向量中有两个共线，则它们一定不能构成基底 D．空间中任意三个向量都可以作为基底 【答案】D 【详解】三个共面的向量不能构成基底，A、C 正确；由基本定理，基底确定后表示唯一，B 正确；D 中若三向量共面就不能作为基底，D 错误。故选 D。 8．已知 不共线，，则 （　　） A．是空间的一个基底 B．不能构成基底 C．无法判断 D．只有当 时才是基底 【答案】B 【详解】 可由 线性表示，三向量共面，不能构成基底。故选 B。 考点二 用基底表示空间向量 方法与技巧： 1. 识别信号：给出平行六面体、四面体、正方体等几何体，要求用已知向量（基底）表示目标向量。 1. 操作流程：所有目标向量都放进三角形，反复使用 、；遇到中点、重心、分点用数乘表示。 1. 技巧·口诀：“找三角形、首尾接；中点取一半，重心取三分”。 1. 易错点：分解时要沿已知方向走；分点向量 中 与点的位置要对应（ 靠近 时 小）。 【例题精讲】 1．在平行六面体 中，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．在四面体 中， 为 的中点，若 ，用 表示 。 【答案】 【详解】因为 为 的中点，所以 ，故 。 【变式训练】 1．在平行六面体 中，， 是 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 为体对角线 的中点，故 。故选 A。 2．在四面体 中， 是 的重心，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 为 的中点，则 。因 在 上且 ，故 。故选 A。 3．在正方体 中，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．在平行六面体 中，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．在四面体 中， 为 的中点， 为 的中点，则 用 可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 3．在平行六面体 中，， 是 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．已知 是基底，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．在四面体 中， 为 的中点， 在 上且 ，则 用 可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 6．在平行六面体 中，， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．已知 是基底，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．在正方体 中，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 考点三 共线、共面的基底判定（系数法） 方法与技巧： 1. 识别信号：题目含“三点共线”“四点共面”“系数和”等条件，或需由向量关系判断点是否共线、共面。 1. 操作流程：共线用 ；共面用 且 （ 为空间任一点， 不共线）。 1. 技巧·口诀：“系数和为一，四点共面；系数和为零，向量是零”。 1. 易错点：使用 判定共面时，要求 三点不共线，且三个向量必须以同一个点 为起点。 【例题精讲】 1． 三点共线， 为空间任意一点，，则 （　　） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】A 【详解】 三点共线，故存在 使 ，即 ，于是 。故选 A。 2．已知 四点共面， 为空间任意一点，，则 （　　） A．-4 B．4 C．-6 D．6 【答案】A 【详解】由四点共面得 ，故 。故选 A。 【变式训练】 1．若 ，则（　　） A． 四点共面 B． 三点共线 C． 在平面 外 D．无法判断 【答案】A 【详解】系数和 ，且 不共线，故 四点共面。故选 A。 2．已知 三点不共线， 为空间任一点，，则“ 四点共面”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当 三点不共线时， 四点共面 ，两个条件互相推出。故选 C。 3．已知 ，，则（　　） A． 三点共线 B． 三点不共线 C． 共线 D．无法判断 【答案】A 【详解】，故 且有公共点 ，所以 三点共线。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，则（　　） A． 三点共线 B． 三点不共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】A 【详解】，，故 三点共线。故选 A。 2．若 四点共面， 为空间任一点，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 3．下列条件中，能判定 三点共线的是（　　） A． B． 且 不共线 C． D． 【答案】A 【详解】A 中 说明两向量共线且有公共点 ，三点共线；B 中两向量不共线，三点不共线；C 只说明长度相等；D 只说明垂直。故选 A。 4．已知空间四点 不共面，若 ，则（　　） A． 四点共面 B． 四点共面 C． 与 不共面 D． 在直线 上 【答案】A 【详解】系数和 ，且 不共线，故 四点共面。故选 A。 5．已知 三点不共线， 为平面 外一点，若 且 在平面 内，则 （　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】A 【详解】由 在平面 内得 ，故 。故选 A。 6．已知 ，，，且 不共面，则（　　） A． 不共面 B． 共面 C． 共线 D．无法判断 【答案】A 【详解】设 ，得 ，由不共面得 ，解得 ，故 不共面。故选 A。 7．下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 三点共线 B．若 三点共线，则 C．若 ，则 一定共面 D．共面的四个向量一定可以构成基底 【答案】A 【详解】A 中由 知两向量共线且有公共点 ，三点共线，正确；三点共线时 ，未必相等，B 错；C 缺少“ 不共线”的前提，错；共面向量不能构成基底，D 错。故选 A。 8．已知 三点共线， 为空间任一点，，则 （　　） A．-1 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】由 三点共线得 ，故 。故选 A。 考点四 用基底求模与数量积 方法与技巧： 1. 识别信号：已知基向量的模与夹角，求目标向量的模、数量积或夹角。 1. 操作流程：先把目标向量用基底表示，再用 展开，利用 求模。 1. 技巧·口诀：“求模先平方，展开再开方；求角记公式 ”。 1. 易错点： 与 不同（前者是数，后者无意义）； 中的交叉项别漏。 【例题精讲】 1．已知 ，则 （　　） A． B． C．3 D．7 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．已知 ，求 与 。 【答案】， 【详解】；，故 。 【变式训练】 1．已知 是单位向量，，则 （　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故夹角为 。故选 A。 3．已知 是两两夹角为 的单位向量，则 （　　） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，则 （　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 3．若 ，则 （　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 4．已知单位向量 满足 ，则 （　　） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 5．已知 ，则 （　　） A．-11 B．11 C．-5 D．5 【答案】A 【详解】，原式 。故选 A。 6．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，，故夹角为 。故选 A。 7．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】。故选 A。 考点五 正交分解与垂直、平行的向量证明 方法与技巧： 1. 识别信号：题目涉及垂直、平行的判定，或给出单位正交基底要求表示、求值、证明。 1. 操作流程：垂直 ；平行（共线） 。用基底表示后代入计算。 1. 技巧·口诀：“要证垂直，点积为零；要证平行，找倍数关系；单位正交基，两两点积零”。 1. 易错点：零向量与任意向量的数量积为 ，故 不能推出一定垂直（需 都非零）。 【例题精讲】 1．已知单位向量 满足 ，则 （　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．设 是单位正交基底，，，则 （　　） A．1 B．2 C．3 D．-1 【答案】A 【详解】单位正交基底下 ，，故 。故选 A。 【变式训练】 1．设 是单位正交基底，，则 （　　） A． B．14 C． D．6 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．已知 ，若 与 垂直，则 （　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】，由 得 。故选 A。 3．已知 两两垂直，且 ，则 （　　） A． B．14 C．6 D． 【答案】A 【详解】两两垂直故交叉项为 ，，故 。故选 A。 【巩固练习】 1．若 ，则（　　） A． 或 或 B． C． 共线 D．以上都不对 【答案】A 【详解】 可能是 ，可能是 ，也可能是 ；只有当 都非零时才一定垂直。故选 A。 2．设 为单位正交基底，，，则 （　　） A．-1 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，则 （　　） A． B．5 C． D．13 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 4．已知 ，若 ，则 （　　） A．4 B．-4 C．2 D． 【答案】A 【详解】，由 得 。故选 A。 5．设 是单位正交基底，，则 （　　） A．3 B．9 C． D．5 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 6．下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【详解】 时可能有零向量，A 错；两向量垂直则数量积必为 ，B 正确；模相等推不出向量相等，C 错；由 只能得 ，不能得 ，D 错。故选 B。 7．已知空间四边形 中，，，求证：。 【答案】 【详解】设 。由 得 ，即 ；由 得 ，即 。于是 ，故 。 8．设 是单位正交基底，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故夹角为 。故选 A。 三、达标检测 1．下列说法正确的是（　　） A．空间中任意三个向量都能构成基底 B．空间任意三个不共面的向量都可以构成基底 C．零向量可以作为基向量 D．基底中的向量一定两两垂直 【答案】B 【详解】由空间向量基本定理，三个不共面的向量才能构成基底，B 正确；A 错在“任意”；C 零向量不能作基向量；D 基向量只要求不共面，不要求两两垂直。故选 B。 2．在平行六面体 中，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 是空间的一个基底，则下列向量组中不能构成基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】D 中 可由 线性表示，三向量共面，不能构成基底；A、B、C 三组均不共面，能构成基底。故选 D。 4．若 四点共面， 为空间任一点，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 5．已知 ，则 （　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 6．已知单位向量 的夹角为 ，则 （　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 7．设 是单位正交基底，，则 （　　） A．3 B．9 C． D．5 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 8．若 ，则一定有（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【详解】 时，可能 ，可能 ，也可能 ，故 A、B、C 都不能“一定”成立。故选 D。 9．已知 不共线，，则 （　　） A．是空间的一个基底 B．不是基底 C．无法判断 D．只有当 时才是基底 【答案】B 【详解】 可由 线性表示，三向量共面，不能构成基底。故选 B。 10．已知 ，求 和 。 【答案】， 【详解】；，故 。 11．在四面体 中， 是 的中点， 是 的重心，若 ，用 表示 。 【答案】 【详解】，，故 。 12．已知 ，， 为 的中点，求 。 【答案】 【详解】，，故 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 空间向量基本定理 考点预览 考点一 空间向量基本定理与基底 考点二 用基底表示空间向量 考点三 共线、共面的基底判定（系数法） 考点四 用基底求模与数量积 考点五 正交分解与垂直、平行的向量证明 一、知识填空 1．空间向量基本定理 （1）如果三个向量 不共面，那么对空间中任一向量 ，存在 的有序实数组 ，使得 。 （2）定理中的三个向量必须 ；有序实数组 是 的。 2．基底与基向量 （1）若三个向量 不共面，则把 叫做空间的一个 ， 都叫做 。 （2）空间中任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底；一个基底的基向量有 个。 （3）零向量 （填“能”或“不能”）作为基向量。 3．正交分解 （1）如果空间的一个基底的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常记作 。 （2）把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 4．用基底表示向量 （1）用基底表示向量的关键是 法则：把目标向量放入三角形或平行四边形中，再用基底线性表示。 （2）若 是 的中点，则 ；若 是 的重心，则 。 5．共线、共面的基底表达 （1） 三点共线（ 为空间任一点） 存在 使 ，此时系数之和为 。 （2） 四点共面（ 为空间任一点， 不共线），且 。 二、考点专练 考点一 空间向量基本定理与基底 方法与技巧： 1. 识别信号：题干出现“基底”“基向量”“能否构成基底”等字眼，或辨析基本定理的表述。 1. 操作流程：三向量是基底 三向量不共面。判定“不能构成基底”，只需说明其中一个向量可由其余两个线性表示（即三向量共面）。 1. 技巧·口诀：“三个不共面，才把基底当；零向量上场，基底就泡汤”。 1. 易错点：零向量不能作为基向量；两两不共线的三个向量仍可能共面；基底与基向量的顺序无关。 【例题精讲】 1．下列命题正确的是（　　） A．空间中任意三个向量都能构成一个基底 B．空间中三个不共面的向量一定能构成一个基底 C．两个向量也可以构成空间的一个基底 D．基底中可以含有零向量 2．若 是空间的一个基底，则下列向量中能与 一起构成基底的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 是空间的一个基底，则下列各组向量中不能构成基底的是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题中为真命题的是（　　） A． 可以作为一个基向量 B．空间中三个两两不共线的向量一定能构成一个基底 C．若 不共面，则 不共面 D．空间中任意两个不共线的向量都能构成基底 3．已知 是空间的一个基底，则向量 在该基底下表示系数的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【巩固练习】 1．下列关于基底的说法正确的是（　　） A．单位正交基底的三个基向量两两垂直且都是单位向量 B．三个两两不共线的向量一定构成基底 C．基底中可以含有零向量 D．空间中任意四个向量都能构成基底 2．若 是空间的一个基底，则 （　　） A．一定能构成基底 B．一定不能构成基底 C．只有当 时才能构成基底 D．无法判断 3．若 是空间的一个基底，则下列向量组中能构成基底的是（　　） A． B． C． D． 4．已知 是空间的一个基底，向量 ，则 在基底 下的表示系数是（　　） A． B． C． D． 5．若 是空间的一个基底，则 （　　） A．一定能构成基底 B．一定不能构成基底 C．无法确定 D．只有当 两两垂直时才是基底 6．已知 是空间的一个基底，且 ，若 ，则（　　） A． B． C． 中至少有一个为 D．以上都不对 7．下列说法错误的是（　　） A．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 B．基底确定后，空间任一向量在该基底下的表示是唯一的 C．若三个向量中有两个共线，则它们一定不能构成基底 D．空间中任意三个向量都可以作为基底 8．已知 不共线，，则 （　　） A．是空间的一个基底 B．不能构成基底 C．无法判断 D．只有当 时才是基底 考点二 用基底表示空间向量 方法与技巧： 1. 识别信号：给出平行六面体、四面体、正方体等几何体，要求用已知向量（基底）表示目标向量。 1. 操作流程：所有目标向量都放进三角形，反复使用 、；遇到中点、重心、分点用数乘表示。 1. 技巧·口诀：“找三角形、首尾接；中点取一半，重心取三分”。 1. 易错点：分解时要沿已知方向走；分点向量 中 与点的位置要对应（ 靠近 时 小）。 【例题精讲】 1．在平行六面体 中，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．在四面体 中， 为 的中点，若 ，用 表示 。 【变式训练】 1．在平行六面体 中，， 是 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 2．在四面体 中， 是 的重心，，则 （　　） A． B． C． D． 3．在正方体 中，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．在平行六面体 中，，则 （　　） A． B． C． D． 2．在四面体 中， 为 的中点， 为 的中点，则 用 可表示为（　　） A． B． C． D． 3．在平行六面体 中，， 是 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 是基底，，，则 （　　） A． B． C． D． 5．在四面体 中， 为 的中点， 在 上且 ，则 用 可表示为（　　） A． B． C． D． 6．在平行六面体 中，， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 是基底，，则 （　　） A． B． C． D． 8．在正方体 中，，则 （　　） A． B． C． D． 考点三 共线、共面的基底判定（系数法） 方法与技巧： 1. 识别信号：题目含“三点共线”“四点共面”“系数和”等条件，或需由向量关系判断点是否共线、共面。 1. 操作流程：共线用 ；共面用 且 （ 为空间任一点， 不共线）。 1. 技巧·口诀：“系数和为一，四点共面；系数和为零，向量是零”。 1. 易错点：使用 判定共面时，要求 三点不共线，且三个向量必须以同一个点 为起点。 【例题精讲】 1． 三点共线， 为空间任意一点，，则 （　　） A．1 B．0 C．-1 D．2 2．已知 四点共面， 为空间任意一点，，则 （　　） A．-4 B．4 C．-6 D．6 【变式训练】 1．若 ，则（　　） A． 四点共面 B． 三点共线 C． 在平面 外 D．无法判断 2．已知 三点不共线， 为空间任一点，，则“ 四点共面”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 ，，则（　　） A． 三点共线 B． 三点不共线 C． 共线 D．无法判断 【巩固练习】 1．已知 ，则（　　） A． 三点共线 B． 三点不共线 C． 三点共线 D． 三点共线 2．若 四点共面， 为空间任一点，，则 （　　） A． B． C． D． 3．下列条件中，能判定 三点共线的是（　　） A． B． 且 不共线 C． D． 4．已知空间四点 不共面，若 ，则（　　） A． 四点共面 B． 四点共面 C． 与 不共面 D． 在直线 上 5．已知 三点不共线， 为平面 外一点，若 且 在平面 内，则 （　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 6．已知 ，，，且 不共面，则（　　） A． 不共面 B． 共面 C． 共线 D．无法判断 7．下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 三点共线 B．若 三点共线，则 C．若 ，则 一定共面 D．共面的四个向量一定可以构成基底 8．已知 三点共线， 为空间任一点，，则 （　　） A．-1 B．1 C．2 D．-2 考点四 用基底求模与数量积 方法与技巧： 1. 识别信号：已知基向量的模与夹角，求目标向量的模、数量积或夹角。 1. 操作流程：先把目标向量用基底表示，再用 展开，利用 求模。 1. 技巧·口诀：“求模先平方，展开再开方；求角记公式 ”。 1. 易错点： 与 不同（前者是数，后者无意义）； 中的交叉项别漏。 【例题精讲】 1．已知 ，则 （　　） A． B． C．3 D．7 2．已知 ，求 与 。 【变式训练】 1．已知 是单位向量，，则 （　　） A． B．3 C． D．5 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 是两两夹角为 的单位向量，则 （　　） A． B．3 C． D．6 【巩固练习】 1．已知 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 2．已知 ，则 （　　） A．1 B． C．2 D． 3．若 ，则 （　　） A． B． C．5 D． 4．已知单位向量 满足 ，则 （　　） A． B．4 C． D．3 5．已知 ，则 （　　） A．-11 B．11 C．-5 D．5 6．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D．2 考点五 正交分解与垂直、平行的向量证明 方法与技巧： 1. 识别信号：题目涉及垂直、平行的判定，或给出单位正交基底要求表示、求值、证明。 1. 操作流程：垂直 ；平行（共线） 。用基底表示后代入计算。 1. 技巧·口诀：“要证垂直，点积为零；要证平行，找倍数关系；单位正交基，两两点积零”。 1. 易错点：零向量与任意向量的数量积为 ，故 不能推出一定垂直（需 都非零）。 【例题精讲】 1．已知单位向量 满足 ，则 （　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 2．设 是单位正交基底，，，则 （　　） A．1 B．2 C．3 D．-1 【变式训练】 1．设 是单位正交基底，，则 （　　） A． B．14 C． D．6 2．已知 ，若 与 垂直，则 （　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．已知 两两垂直，且 ，则 （　　） A． B．14 C．6 D． 【巩固练习】 1．若 ，则（　　） A． 或 或 B． C． 共线 D．以上都不对 2．设 为单位正交基底，，，则 （　　） A．-1 B．1 C．0 D．3 3．已知 ，则 （　　） A． B．5 C． D．13 4．已知 ，若 ，则 （　　） A．4 B．-4 C．2 D． 5．设 是单位正交基底，，则 （　　） A．3 B．9 C． D．5 6．下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 7．已知空间四边形 中，，，求证：。 8．设 是单位正交基底，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．下列说法正确的是（　　） A．空间中任意三个向量都能构成基底 B．空间任意三个不共面的向量都可以构成基底 C．零向量可以作为基向量 D．基底中的向量一定两两垂直 2．在平行六面体 中，，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 是空间的一个基底，则下列向量组中不能构成基底的是（　　） A． B． C． D． 4．若 四点共面， 为空间任一点，，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 （　　） A． B． C．4 D． 6．已知单位向量 的夹角为 ，则 （　　） A． B．3 C． D．1 7．设 是单位正交基底，，则 （　　） A．3 B．9 C． D．5 8．若 ，则一定有（　　） A． B． C． D．以上都不对 9．已知 不共线，，则 （　　） A．是空间的一个基底 B．不是基底 C．无法判断 D．只有当 时才是基底 10．已知 ，求 和 。 11．在四面体 中， 是 的中点， 是 的重心，若 ，用 表示 。 12．已知 ，， 为 的中点，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $