精品解析：辽宁沈阳市第七中学2026-2027学年度上学期九年级数学学科作业反馈练习

2026-2027学年度（上）九年级数学学科作业反馈练习 一．选择题（共10小题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A. B. 10 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，，代入已知值求解d即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 3. 用配方法解方程x2－6x＝5，下列变形正确的是（ ） A. (x－6)2＝41 B. (x－3)2＝4 C. (x－3)2＝14 D. (x－3)2＝9 【答案】C 【解析】 【分析】将常数项移到等式的右边，再在两边都配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】∵x2-6x=5， ∴x2-6x+9=5+9，即（x-3）2=14， 故选C． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 4. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：，相似比为， ． 5. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的性质、勾股定理是解本题的关键． 根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 于点E， ， ， ， ． 故选：A． 6. 下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的性质判断即可． 【详解】解：选项：菱形四边相等，矩形四边不一定相等； 选项：菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定互相垂直； 选项：矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等； 选项：菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角． 7. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ， ， 当时，， 方程有2个相等的实数根，满足题意． 8. 大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 10. 如图，四边形的对角线与相交于点O，且，则①；②．下列关于①②的判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】首先由、是对顶角，可得，再结合已知及相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； 在与中，只有，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误． 二．填空题（共8小题） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12. “绿色电力·与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2024年新能源汽车年销售量为690万辆，预计2026年新能源汽车年销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，则所列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据2024年和2026年这两年的销售量列出方程即可． 【详解】解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为， 由题意得，． 故答案为： 13. 关于的方程有实数根，则的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】分当时和当时（根据一元二次方程根的判别式求解）进行讨论求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴当时，即， 此时方程变为 解得， ∴有实数根， ∴符合条件； 当时，即， 在中，， ∴ ， ∵方程有实数根， ∴， ∴ 解得， ∴且， 综上所述，的取值范围为． 14. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 15. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 16. 如图，正方形边长为，点是对角线上一点，，连接，将绕点顺时针旋转，得到，的延长线与的延长线交于点，则长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，由得到是等腰三角形，从而推出和的度数，根据旋转，得到，从而推出．延长至点，使得，过点作，则，，从而得到为等腰直角三角形．设为，则可以表示出，，利用面积的两种表达式作等量关系求解，即可得到的长． 【详解】解：正方形边长为， ，，， 点在对角线上且， 是等腰三角形， ． 绕点顺时针旋转得到， ，， ， ． 如图，延长至点，使得，过点作．则，为等腰直角三角形． 在中，，． 设，则， 平分， 由角平分线的性质，， ， ， 解得，即． 17. 如图，、、是三个全等的等边三角形，点、、、在同一条直线上，连接，与、、分别相交于点、、，若的面积为2，则图中三个阴影部分的面积之和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明，，再根据全等三角形对应边相等，然后利用平行线分线段成比例定理求出，，得出，，是的中点，再由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】， ，， ， 同理可得， ，， ， ，， ， ，是的中点， ， ，相似比为：， ， ， 三个阴影部分面积． 18. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，沿所在的直线折叠，使点的对应点恰好落在边上．若和相似，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】和相似，分两种情况：①时，， 此时，CD为AB边上的高；②当时，由相似三角形角之间的关系，可以推出与，从而得到，即D为AB的中点． 【详解】解：①如图（1），当时，， ∴， 连接CD，由折叠可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 由三角形面积公式可得：， ∴， ∴； ②如图（2），当时，， 连接CD交EF于点P， 由折叠可得：， ∴， 又∵ ∴， ∴， 即， ∴， 同理， ∴； 综上所述，AD的长为 或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、翻转变换的性质，解题的关键是运用分类讨论及数形结合思想解决问题． 三．解答题（共5小题） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 一家服装店销售某种款式的衬衫，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为扩大销售、增加盈利，该店决定降价销售，在每件盈利不少于30元的前提下，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． （1）若降价4元，则平均每天销售数量为 件． （2）当每件衬衫降价多少元时，该服装店每天销售利润为950元？ 【答案】（1）23 （2）当每件衬衫降价元时，该服装店每天销售利润为950元 【解析】 【分析】（1）根据题意，降价4元，平均每天可多售出8件，即可求得答案； （2）设当每件衬衫降价x元时，该服装店每天销售利润为950元，则每件盈利元，平均每天可售出件，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：因为销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件， 所以降价4元，平均每天可多售出8件，则平均每天销售数量为（件）． 【小问2详解】 解：设当每件衬衫降价x元时，该服装店每天销售利润为950元， 根据题意得， 整理，得， ， ，， 每件盈利不少于30元， ， ， ， 答：当每件衬衫降价元时，该服装店每天销售利润为950元． 21. 已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ，， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可逐步证明，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）根据相似三角形的性质列方程求出的长，即得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在中，．，．点D从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点B运动，同时点E从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点A运动．连结，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，以、为边作正方形．设点E运动的时间为t秒． （1）的长为______； （2）点D到边的距离为______；（用含t的代数式表示） （3）当点F落在边上时，求的长； （4）连结，当直线与的边平行或垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）t （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理即可得到答案； （2）过D作于点H，由可得，即点D到边的距离是t； （3）当点F落在边上时，，由，又可得； （4）当时，由，得，，而，可得；当时，过E点作垂直于点W，由得，，又，知，故，可得；当（或）时，过点作于点，，那么，为等腰直角三角形，由，得到，即可 ；当与重合，此时，过点作于点，同上可得,由得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵．，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：过D作于点H， ， 由题意得：， ∴ ∴， ∴，即点D到边的距离是t． 【小问3详解】 解：当点F落在边上时，， ， 同（2）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：当时，如图： ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴在上， 由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵，即， ∴， 解得：， 当时，过E点作垂直于点W，如图： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当（或）时，过点作于点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当与重合，此时，过点作于点， 同上可得, ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴t的值为或或或． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． 23. 已知：如图，在中，，点在上，点在延长线上，且．过点、点分别作、的平行线，两直线交于点，连接． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是菱形； （3）延长交于点，若是中点，，求的长． 【答案】（1）证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，，根据等边对等角和三角形内角和定理可推出；再由，可证明； （2）证明，得到，，则可证明四边形是平行四边形；再证明，即可证明平行四边形是菱形； （3）延长交的延长线于点T，证明，得到；设， 则，，证明，得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴； 设，由（2）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度（上）九年级数学学科作业反馈练习 一．选择题（共10小题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A. B. 10 C. 8 D. 12 3. 用配方法解方程x2－6x＝5，下列变形正确的是（ ） A. (x－6)2＝41 B. (x－3)2＝4 C. (x－3)2＝14 D. (x－3)2＝9 4. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 12 6. 下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 7. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形的对角线与相交于点O，且，则①；②．下列关于①②的判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 二．填空题（共8小题） 11. 方程的解是______． 12. “绿色电力·与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2024年新能源汽车年销售量为690万辆，预计2026年新能源汽车年销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，则所列方程为____________． 13. 关于的方程有实数根，则的取值范围_________． 14. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 15. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 16. 如图，正方形边长为，点是对角线上一点，，连接，将绕点顺时针旋转，得到，的延长线与的延长线交于点，则长为_________． 17. 如图，、、是三个全等的等边三角形，点、、、在同一条直线上，连接，与、、分别相交于点、、，若的面积为2，则图中三个阴影部分的面积之和为_________． 18. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，沿所在的直线折叠，使点的对应点恰好落在边上．若和相似，则的长为__________． 三．解答题（共5小题） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 一家服装店销售某种款式的衬衫，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为扩大销售、增加盈利，该店决定降价销售，在每件盈利不少于30元的前提下，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． （1）若降价4元，则平均每天销售数量为 件． （2）当每件衬衫降价多少元时，该服装店每天销售利润为950元？ 21. 已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，．，．点D从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点B运动，同时点E从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点A运动．连结，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，以、为边作正方形．设点E运动的时间为t秒． （1）的长为______； （2）点D到边的距离为______；（用含t的代数式表示） （3）当点F落在边上时，求的长； （4）连结，当直线与的边平行或垂直时，直接写出t的值． 23. 已知：如图，在中，，点在上，点在延长线上，且．过点、点分别作、的平行线，两直线交于点，连接． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是菱形； （3）延长交于点，若是中点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $