辽宁锦州市第四中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学 一、选择题：木题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为() A.ax2+bx+c=0 B.x2-4=(x+3)2 C.x2+3-5=0 D.3x(x-4)=0 2.观察表格，估算一元.二次方程x2一x一1=0的近似解： 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2-x-1 -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程x2一x一1=0的一个近似解x的范围是( A.1.4<x<1.5 B.1.5<x<1.6 C.1.6<x<1.7 D.1.7<x<1.8 3.给出下列判断，正确的是() A.四个角相等的四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 4.若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是() A.k<1 B.k<1且k≠0 C.k≠0 D.k>1且k≠0 5.我国古代数学著作新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一 段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等问方、圆径各若干？”其大意是： 现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为252平方步，只知道正方形田 地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为 多少步？设：正方形田地的边长为x步，根据题意可列方程为( ) 第1页，共7页 A.x2+x2=252 2 B.x2+x(号2=252 C.x2+πx2=252 D.4x+πx=252 6.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点请 你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是() A.AB=CD B.AC⊥BD C.CD=BC D.AC=BD D H A F C 第6题 第7题 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E在BC上，连接AE将 △ABE沿AE折叠，使AB的对应线段AF经过点C.若BC=13,BD=24,则CF的 长为() A.2 B C.3 D 8.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4, 则CE的长为( A.1 B.5 C.2W2 D.V10 E D 第8题 第9题 第2页，共7页 9.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，任意K为半径画弧，交AB,AD千 点F,G,再分别以点F,G为圆心，大于FG的长为半径画弧，两弧交于点H,形 射线AH交BC于点E,连接DE.若AB=4,BC=7,DE=√7，则AE的长为() A.5 B.2W13 C.2V14 D.4V5 10.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2一10x+m=0 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为) A.V3 B.2W3 C.√14 D.2W14 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知关于x的一元二次方程x2-3x+k-2=0的一个根是-1，则 k= 12.已知a,B是方程x2-3x4=0的两个实数根，则a2-3a+B的值 为 13.九年级(1)班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪 念，全班学生共写了870份留言如果全班有x名学生，根据题意， 列出方程为 14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是斜边AC的中点，DE⊥BC, 垂足为E若DE=3,AC=6√5，则AE的长是 15.如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,点E在边AD上，点F在边BC上， 且AE=CF,连接CE,DF,则CE+DF的最小值为 B B 第14题 第15题 第3页，共7页 三、计算题：木大题共4小题，共16分。 16.用适当的方法解下列方程： (1)x2=8x+2(配方法) (2)x(x-2)=3x-6. (3)3x2-5x+1=0. (4)x2-10x+16=0. 四、解答题：本大题共6小题，共49分 17.（本题6分) 已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+1=0. (1)若该方程总有两个实数根，求m的取值范围： (2)若x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根， 且x+x22=29,求m的值。 第4页，共7页 18.(本题6分) 如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=CD,AB/ICD.若四边 形EBOA是菱形. (1)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若∠E=60°，AB=2,求四边形ABCD的面积. E 19.(本题8分) 阅读材料：我们都知道a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2, 于是，-2x2+40x+5=-2(x2-20x)+5 =-2(x2-2·x·10+102-102)+5 =-2[(x-10)2-100]+5 =-2(x-10)2+205. 又因为a2≥0，所以(x-10)2≥0， -2(x-10)2≤0，-2(x-10)2+205≤205， 所以-2x2+40x+5有最大值205. 解决问题：如图，某农户准备用长34米的铁栅栏围成一边靠墙的长方形羊圈 ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG.设AB=x米. A D E (1)请用含x的代数式表示BC的长 第5页，共7页 (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S,试用含x的代数式表示S,并计算当x=5时S的值； (3)试求出山羊活动范围面积S的最大值 20.(本题8分) 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为(-5,4) 点B,C在x轴上，点D在y轴上. (1)写出点B的坐标 (2)动点P以每秒1个单位长度的速度从点0出发，沿射线0B方向运动，设点P运 动的时间为t秒，连接PD,BD,当△PBD的面积为3时，求e的值： (3)点M在X轴上，平面内是否存在点N,使以A、C、M、N为顶点的四边形为 矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。 B 21.(本题8分) 沈阳故宫，被誉为“一朝发祥地，三代帝王都”，位于辽宁省沈阳市，如今凭 借科技加持与文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛 宴。 (1)据统计；2026年暑期假期第一天沈阳故宫接待游客约5万人次，假期第三天 接待游客达7.2万人次，求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率， (2)某商店推出古城联名手办，每个手办的成本为5元，当售价为10元时，平均 每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个.若要使每天销 售的手办获利1800元，则每个手办的售价应为多少元？ 第6页，共7页 22.（本题13.分) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4,D为BC边上的一个动点。 以CD为边作等边△CDE,DE与AC相交于P,连接AE,将等边&CDE绕点C旋 转。 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D是BC的中点时，求证四边形ABDE是菱形； (②)如图2，当点D恰好落在AC上时，此时点D与点F重合，连接BD,若B、D、 E三点共线，求△ADE的面积： (3)如图3，在等边aCDE在旋转的过程中，BD所在的直线与AC相交于点P,当 ∠DPE=150时，若DP=√2，PE=2W3,求线段AP的长度. 第7页，共7页