精品解析：辽宁丹东市第十九中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026．10．9丹东19中第一次月考数学试卷 答卷时间: 120分钟 满分值: 120分 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分) 1. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（ ） A. cm B. cm C. 2cm D. cm 5. 某款玩偶的原价为元，如果经过两次降价后售价为元，且每次降价的百分率都是，那么下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 8. 如图，已知在中，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M， N两点，作直线分别交，于点 E，F，连接和， 若，，以下4个结论正确的个数是 （ ） ①四边形是菱形， ②，③，④若点 P是直线上的一个动点，则的最小值是7． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知，则________． 12. 如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ． 13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 15. 如图， 在中，， 点D以每秒2个单位长度的速度由点 B向点A运动，同时点 E以每秒1个单位长度的速度由点 C向点 B运动，当点 D停止运动时，点E也随之停止．设运动时间为 t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，则_________． 三、解答题(本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算 （1）(公式法) （2）(因式分解法)． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 19. 某服装店销售一款恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）设每件恤降价元，则每天的销售量为 件(请用含的代数式表示)； （2）在上述的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件恤应降价多少元? 20. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 21. 请阅读下列材料：，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简，得，故所求方程为，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程为：________； 22. 【初步感知】 （1）如图1，和是等腰直角三角形， ，， 连接，，构建“手拉手”模型(如图1)，判断 与的数量关系，并证明 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，，直接写出 与 的数量关系是： ； 【类比分析】 （3）如图3，是等腰直角三角形， ，，点D为边 上一点(不与点A重合)，以为边作正方形 (点 C、D、E、F逆时针排列)，连接，证明：， 【变式拓展】 （4）在等腰直角三角形中， ，，点 E为边 上一点， D是平面内一点，且 ， ，若 ， ，直接写出的长为 ． 23. 已知， 一次函数的几组对应值如表： x 0 1 y 12 9 6 3 （1）选取部分数据求一次函数的表达式； （2）我们把 叫做关于m的“亲密函数”．两个函数组成的图像记为G．当时， ①直接写出 的“亲密函数”解析式，并写出自变量取值范围． ②图像G与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B．与直线交于点C，写出 ，， ，， ，， ③过点 作垂直于y轴的直线l，直线l与图像G分别交于点 M、N，若点 N在点 M的右侧，且，求 t 的值， （3）若直线 与图像G有两个交点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026．10．9丹东19中第一次月考数学试卷 答卷时间: 120分钟 满分值: 120分 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分) 1. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方，即可求解． 【详解】解：∵ 移项得， 配方：两边加1（一次项系数2的一半的平方），得 即 故选B． 2. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 3. 根据表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标解答即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴一元二次方程的一个根的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标是解答本题的关键． 4. 用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（ ） A. cm B. cm C. 2cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，D为边的中点， ∴ 故选：B 5. 某款玩偶的原价为元，如果经过两次降价后售价为元，且每次降价的百分率都是，那么下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据降价规则，两次降价均在前一次价格基础上进行，逐步推导两次降价后的售价，即可得到正确方程． 【详解】解：玩偶原价为元，每次降价的百分率为， 第一次降价后的售价为元， 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再次降价，降价百分率仍为， 第二次降价后的售价为， 可得方程． 6. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴； 无法得到，； 故只有选项D正确. 7. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 【答案】C 【解析】 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 8. 如图，已知在中，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理的应用．能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．根据相似三角形的判定定理（有两角分别相等的两个三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似）逐个进行判断即可． 【详解】解：根据和，而无法证明，故A符合要求； ， 又， ，故B不符合要求； ∵，， ∴，故C不符合要求； ∵，， ∴，故D不符合要求； 故选：A． 9. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 10. 如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M， N两点，作直线分别交，于点 E，F，连接和， 若，，以下4个结论正确的个数是 （ ） ①四边形是菱形， ②，③，④若点 P是直线上的一个动点，则的最小值是7． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据作图过程可知：是的垂直平分线，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形；在中，利用勾股定理可得，进而求出的长，根据菱形的面积求出；勾股定理求出，利用菱形的面积求出的长，根据是的垂直平分线，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设交于点 四边形是矩形， ，，， ∴，， 由作法得：是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故①正确； 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴， ，故②错误； 又∵， ∴；故③正确； 是的垂直平分线， ∴， ∴， 即的最小值是4，故④错误； 综上：正确的是①③，共2个． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将，，都用参数表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解： ， ． 12. 如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据菱形及直角三角形的性质求出的长，再用勾股定理求的长，进而求出，即可解答． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，， ，， ， ， 菱形的面积为． 13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 14. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．对于方程，两根之和为，据此作答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：3． 15. 如图， 在中，， 点D以每秒2个单位长度的速度由点 B向点A运动，同时点 E以每秒1个单位长度的速度由点 C向点 B运动，当点 D停止运动时，点E也随之停止．设运动时间为 t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， 点运动到点所用时间为（秒）， ∵， ∴当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，则， ∴， 解得； 综上. 三、解答题(本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算 （1）(公式法) （2）(因式分解法)． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 解得. 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 18. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 19. 某服装店销售一款恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）设每件恤降价元，则每天的销售量为 件(请用含的代数式表示)； （2）在上述的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件恤应降价多少元? 【答案】（1） （2）每件恤应降价6元 【解析】 【分析】（1）根据“每件恤每降价1元，每天可多卖出2件”计算即可； （2）利用每天销售该恤获得的利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：每天的销售量为件 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要尽量减少库存， ∴． 答：每件恤应降价6元． 20. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 21. 请阅读下列材料：，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简，得，故所求方程为，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程为：________； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，熟练掌握“换根法”是解题的关键： （1）设所求方程的根为，则：，得到，把代入原方程，化简即可； （2）设所求方程的根为，则：，得到，把代入原方程，化简即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则：， ∴， 把代入原方程，得：，即：； 故答案为：． 【小问2详解】 设所求方程的根为，则：， ∴， 把代入原方程，得： 整理得：； 故答案为：． 22. 【初步感知】 （1）如图1，和是等腰直角三角形， ，， 连接，，构建“手拉手”模型(如图1)，判断 与的数量关系，并证明 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，，直接写出 与 的数量关系是： ； 【类比分析】 （3）如图3，是等腰直角三角形， ，，点D为边 上一点(不与点A重合)，以为边作正方形 (点 C、D、E、F逆时针排列)，连接，证明：， 【变式拓展】 （4）在等腰直角三角形中， ，，点 E为边 上一点， D是平面内一点，且 ， ，若 ， ，直接写出的长为 ． 【答案】（1）， 证明：和是等腰直角三角形，，   ，，，， ， 在和中，， ， （2） （3）证明：连接，如下图所示， 四边形是正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ， 在和中，，， ， ， ； （4）或 【解析】 【分析】（1）等腰直角三角形两直角边相等，同角的余角相等，用证明即可； （2）用勾股定理进一步变形得到，又，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得到，对应边成比例； （3）正方形的每个内角都是直角，每条对角线平分一组对角，利用（2）证明三角形相似的办法证明，相似的两个三角形对应角相等； （4）分为点D在内部和外部两种情况，过点D作，在内部时，用两角相等的两个三角形相似得到，得到，设，则，，在和中，用勾股定理得到，，求出x即可，在外部时，用两角相等的两个三角形相似得到，从而得到，代值求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和是等腰直角三角形， ，，，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在和中，，， ， ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 在等腰直角三角形， ，， ， 当点D在内部时，过点D作如下图所示， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 令，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：，， 或， 当点D在外部时，过点D作如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 综上所述，的长为或． 23. 已知， 一次函数的几组对应值如表： x 0 1 y 12 9 6 3 （1）选取部分数据求一次函数的表达式； （2）我们把 叫做关于m的“亲密函数”．两个函数组成的图像记为G．当时， ①直接写出 的“亲密函数”解析式，并写出自变量取值范围． ②图像G与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B．与直线交于点C，写出 ，， ，， ，， ③过点 作垂直于y轴的直线l，直线l与图像G分别交于点 M、N，若点 N在点 M的右侧，且，求 t 的值， （3）若直线 与图像G有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）①函数的“亲密函数”解析式为：，自变量取值范围 ②，， ③ （3） 【解析】 【分析】（1）将和代入，解二元一次方程组即可； （2）①根据定义写出表达式和自变量取值范围； ②写出图像G的表达式，分别令，，求出x的值，得到点A和点B坐标，将，代入，得出点C坐标； ③分别令，，解出x的值，得到点M和点N坐标，点M横坐标和点N横坐标的差就是的值，代入求解即可； （3）分别联立和，和，解出x的值，即可得到m的取值范围． 【小问1详解】 解：将和代入得：， 解得：， 所以一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 ①函数的“亲密函数”解析式为：，自变量取值范围； ②图像G为：， 令，解得， 令，解得， 当时，代入，得， 所以点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为； ③由题意可得：直线l的解析式为：，直线l与图象G交点M和N， 令，解得， 令，解得， 所以点M坐标为，点N坐标为， 且，解得， ， 解得； 【小问3详解】 与右段相交，联立和，即，解得， 与左段相交，联立和，即，解得， 若直线 与图像G有两个交点，则m需要比图像左段交点横坐标大，不超过图像右段交点横坐标， 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $