精品解析：河南省南阳市南召县2026-2027学年九年级上学期数学第一次作业练习

2026年秋期九年级数学第一次作业练习 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算与的结果相同的是（ ） A. B. C. D. 8. 是下列哪个一元二次方程的根（    ） A. B. C. D. 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 10. 若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 6或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是___（只需填一个）． 12. 已知一个直角三角形两直角边的长分别为和，则其斜边的长为_____ 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14. 设是方程的两个实数根，则的值为___________． 15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下面关于“倍根方程”的说法，正确的有______（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若（其中）是“倍根方程”，则； ③若p，q满足，则关于x的方程是“倍根方程”． 三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 用配方法解方程：． 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 19. 已知关于x的方程．求证：无论 m取任何实数时，方程恒有实数根． 20. 阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 21. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22. 阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a， b（）满足 则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：已知实数a，b满足，且，则_____，_____． （2）思维拓展：已知实数a，b满足且，求下列各式的值；②． （3）拓展应用：已知实数m，n满足且，直接写出的值_____． 23. 如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接，． （1）当______时，P，Q两点间的距离为． （2）四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，求t的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期九年级数学第一次作业练习 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、不能合并，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 4. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程化为标准形式，常数项为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴常数项为， 故选：C． 5. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，可通过移项后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故选：D． 7. 下列运算与的结果相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．运用分配律和根式乘法规则计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：C． 8. 是下列哪个一元二次方程的根（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．中，，符合题意； 故选：D． 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式进行解答即可． 【详解】解：由题意，可知， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 10. 若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 6或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是___（只需填一个）． 【答案】﹣2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵|x|≤3， ∴﹣3≤x≤3． ∵x为整数，∴x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3． 分别代入可知，只有x=﹣2，3时为整数． ∴使为整数的x的值是﹣2或3（填写一个即可）． 故答案为： 12. 已知一个直角三角形两直角边的长分别为和，则其斜边的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：斜边的长为． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 14. 设是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ； 故答案为． 15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下面关于“倍根方程”的说法，正确的有______（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若（其中）是“倍根方程”，则； ③若p，q满足，则关于x的方程是“倍根方程”． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】①是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出②中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，③根据，得出，解方程即可判断对错． 【详解】解：①方程的解为，，此方程不是倍根方程，此结论错误； ②∵是倍根方程，且， ∴或， ∴或， ∵，此结论正确． ③关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由如下： ∵， ∴方程可变为：方程， 解方程得：， ∴，此结论正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键． 三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，利用配方法，将方程左边配成完全平方式，右边化为常数，再求解． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得，． 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 解：甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确， 故答案为：不正确；不正确； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 19. 已知关于x的方程．求证：无论 m取任何实数时，方程恒有实数根． 【答案】证明：当时，原方程为，解得，此时原方程有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 则 ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 综上所述，无论 m取任何实数时，方程恒有实数根． 【解析】 【分析】当时，原方程为，此时原方程有实数根；当时，原方程为一元二次方程，可得，则原方程有两个不相等的实数根． 【详解】略 20. 阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，本题是阅读型，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，， ， ． 21. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为 （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽 为，则车棚的长， 根据题意可得 ， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； 【小问2详解】 略 22. 阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a， b（）满足 则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：已知实数a，b满足，且，则_____，_____． （2）思维拓展：已知实数a，b满足且，求下列各式的值；②． （3）拓展应用：已知实数m，n满足且，直接写出的值_____． 【答案】（1）1； （2）①5；② （3）1 【解析】 【分析】（1）由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可； （2）①由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系求出的值，再把所求式子通分，并代入求值即可；②把所求式子因式分解得到，再代入求值即可； （3）根据题意可证明可以看作一元二次方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得，； 【小问2详解】 解：①由题意得，可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴； ②∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵，即，且， ∴可以看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 23. 如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接，． （1）当______时，P，Q两点间的距离为． （2）四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，求t的值； 【答案】（1）0.6 （2）当时，四边形为矩形 （3）当为等腰三角形时，的值为或或 【解析】 【分析】（1）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，，那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值； （2）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形，建立方程，解方程即可求解； （3）由题意得：，，，作于，则四边形是矩形，则，根据勾股定理可得，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：设出发秒后、两点间的距离是 则，，作于，则四边形是矩形， 由矩形性质可知：，， 则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意舍去， 则：当时，、间的距离是； 故答案为：0.6； 【小问2详解】 四边形的形状有可能为矩形； 理由：由（1）知，， 当四边形为矩形，则， 即， 解得：． 即：当时，四边形为矩形． 【小问3详解】 由题意得：，，， 作于，则四边形是矩形，则， 则， 当时，，解得：； 当时，，解得：，（舍去）； 当时，为的中点，则，即：，解得：； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，一元二次方程，解答本题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $