河南省南阳市宛城区茶庵乡第一初级中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

二次根式素质调研 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列各式是二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知实数满足，则等于(    ) A. B. C. D. 4.估计的值应在(    ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 5.函数的自变量的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 6.已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 7.二次根式化简的结果是(    ) A. B. C. D. 8.若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.当时，代数式的值是(    ) A. B. C. D. 10.如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.计算：______． 12.使分式有意义的的取值范围是______． 13.等式成立的条件是______． 14.若、都是实数，且，则_____． 15.三角形的三边长分别为、、，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式现已知三边长为，，则的面积为______． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分计算： ； ． 17.本小题分计算：． 18.本小题分 【阅读理解】先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式在进行二次根式计算时利用有理化因式有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】 写出的一个有理化因式：______； 化去式子分母中的根号 ______； 化去式子分子中的根号： ______；直接写结果 【拓展应用】 求的最大值． 19.本小题分阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：           ，           ； 若，且、、均为正整数，求的值； 化简下列各式： ． 20.本小题分材料：著名数学家数华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． 如图，将一个边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于，的等式：          ． 如图，将一个棱长为的正方体木块挖去一个棱长为的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：           ，将等式右边因式分解，即           ； 根据以上探究的结果，请类比上述探究过程，解答下列问题：计算： 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意可得， 可以任意取值，即可以为负值， 不一定是二次根式，不符合题意； ， 不是二次根式，不符合题意； ， ， 是二次根式符合题意；是三次根式，故D选项不符合题意； 故选：． 根据二次根式定义逐个判断即可得到答案． 本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的条件． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式和完全平方式，求代数式的值解题的关键是熟练掌握非负数的性质：若两个非负数的和为，这两个数均为，从而求得和的值，代入代数式求值． 【解答】 解：根据题意得，，，  解得，，    故选A． 4.【答案】  【解析】解：原式 ． ， ， 即， ， 故选：． 根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算无理数的大小便可． 本题主要考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，关键是熟记二次根式的乘法法则． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 要使函数有意义，则根式里被开方数不小于，分母不为，列出不等式解出答案． 【解答】 解：要使函数有意义， 则 解得． 故选D． 6.【答案】  【解析】解：， A、当时，，所以与不是同类二次根式； B、当时，，所以与是同类二次根式； C、当时，，所以与不是同类二次根式； D、当时，，所以与不是同类二次根式． 故选：． 把选项中的数分别代入二次根式进行化简，然后看被开方数是否是即可． 本题主要考查了同类二次根式的判断，注意同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式的概念及化简，注意二次根式的结果为非负数．二次根式有意义，隐含条件，利用二次根式的性质化简． 【解答】 解：有意义， ， 原式． 故选A． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次根式的乘法，二次根式有意义的条件正确理解根式乘法的性质，注意性质运用的条件是解决本题的关键．根据二次根式的运算性质，即可解答． 【解答】 解：根据题意，得，， 解得． 故选B． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了二次根式的性质与化简以及绝对值的性质．此题难度适中，注意确定各项的符号是解此题的关键．首先由，即可将原式化简，然后由，去绝对值符号，继而求得答案． 【解答】 解：， ， 故选A． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次次根式的混合运算以及数式的规律问题，找出是解题的关键． 认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可． 【解答】 解：代入计算可得，，，，， 所以，原式． 故选A． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确运用二次根式的乘除运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】 解：原式 ． 故答案为：． 12.【答案】且  【解析】解：根据题意知， 解得且， 故答案为：且． 根据被开方数大于等于，分母不等于及非零数的零指数幂列式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式的乘法法则，理解二次根式有意义的条件是关键．根据二次根式的除法法则成立的条件：且，即可确定． 【解答】 解：根据题意得： 解得：． 故答案是． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件及代数式求值，能根据二次根式有意义的条件求出的值是解答此题的关键先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值代入进行计算即可． 【解答】 解：， ， 解得， ， ． 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次根式的应用，三角形的面积公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【解答】 解：， 若一个三角形的三边长分别为，，， 不妨设，，， 则其面积是：， 故答案为． 16.【答案】解：原式 ； 原式 ； 原式 ．  【解析】先化简二次根式，再合并即可； 先化简二次根式，再合并即可； 先化简二次根式，再进行二次根式的乘除法． 本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 17.【答案】解：原式 ．  【解析】先计算除法，并化简绝对值，再合并，即可求解． 本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 18.【答案】    【解析】解：， 的有理化因式是； ； ； 由题意得：， 解得， ， 当时，值最大， 即值最大， 此时， 的最大值是． 仿照阅读材料即可得出答案； 将式子分母有理化即可； 将式子分子有理化即可； 先求出，把化为形式，确定最大值即可． 本题考查了分母有理化运算、二次根式的非负性及解不等式组． 19.【答案】【小题】   【小题】 ， ， 、、均为正整数， ，或，， 当，时，； 当，时，； 即的值为或； 【小题】 设， 则 ， ．   【解析】  利用完全平方公式展开可得到用、表示出、； 【详解】设其中、、、均为整数， 则有，； 故答案为：，；   利用中结论得到，利用、、均为正整数得到，或，，然后利用计算对应的值；   设，两边平方得到，然后利用中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到的值． 20.【答案】【小题】 【小题】   【小题】 ， ．   【解析】  运用两种不同的方法表示剩下的面积，即可得到等式； 【详解】解：剩下的部分面积为：， 也可以表示为：， 可得一个关于，的等式． ．   运用两种不同的方法表示剩下的体积，即可得到等式，再根据要求因式分解即可． 剩下部分的体积为：， 也可以表示为：， ， 将等式右边因式分解为： ．   利用中等式，把算式进行分解，再计算即可． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $