北京市平谷中学2025-2026学年高三上学期第一次段考数学试题

高二数学第一学期第一次段考试题 2025.10 （满分150分，时间120分钟） 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.） 1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A. B. C. D. 2. 从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l：，则下列结论正确的是（） A. 点在直线l上 B. 直线l的一个方向向量为 C. 直线l在y轴上的截距为8 D. 直线l的倾斜角为 4. 方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若直线与直线互相平行，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 过点且与圆相切的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） ①平面； ②平面； ③三棱锥的体积不变； ④异面直线与所成角的取值范围是. A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ③④ 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案写在答题纸的相应位置上 11. 若两条直线与互相垂直，则a的值为______. 12. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则恰有一个人译出密码的概率__________. 13. 写出一个关于直线对称的圆的方程__________. 14. 已知圆和两点、（），若圆上存在一点，使得，则的最小值为______________. 15. 关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线上的点到原点的距离的最小值为 ②曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称； ③曲线上任意一点到原点的距离都不大于； ④.曲线围成的面积是； 其中，所有正确结论的序号是__________. 三､解答题：（共85分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上） 16. 空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示： （1）根据你所学的统计知识估计甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. （2）在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； 17. 如图，平面，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. （3）点到平面的距离 18. 已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 19. 某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩.为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）： A 4 4 4.5 5 5.5 6 6 B 4.5 5 6 6.5 6.5 7 7 7.5 C 5 5 5.5 6 6 7 7 7.5 8 8 （Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量； （Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为.若，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）. 20. 在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使二面角的大小确定，并求此二面角的余弦值. 条件①：；条件②：平面；条件③：平面平面. 21. 如图，四棱锥中，平面平面,//,, ,且，. （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由. 高二数学第一学期第一次段考试题 2025.10 （满分150分，时间120分钟） 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】BD 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案写在答题纸的相应位置上 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（答案不唯一，形如，） 【14题答案】 【答案】4 【15题答案】 【答案】②③④ 三､解答题：（共85分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上） 【16题答案】 【答案】（1）甲； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） 证明：因为平面，平面， 所以， 又因为,平面, 所以平面, 又因为平面, 所以, 在中,为中点， 所以, 又因为,平面, 所以平面 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 【19题答案】 【答案】（Ⅰ）该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台；（Ⅱ）；（Ⅲ）18. 【20题答案】 【答案】（1）证明：因为四边形为矩形，所以， 又平面；平面； 所以平面； 又因为，平面；平面； 所以平面； 又， 所以平面平面； （2） 选①②：二面角的平面角为的余弦值为； 选①③：二面角的平面角为的余弦值为； 选②③：二面角的大小不确定，所以选择②③不符合题意. 【21题答案】 【答案】（1）证明如下： 由，. 可得． 由，且， 可得．又． 所以． 又平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面． （2） （3）存在，理由如下： 设，． ，，. 则． 设是平面一个法向量，则，， 即 令，则． 若平面平面，则，即，. 所以，在线段上存在一点使得平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $