精品解析：福建龙岩初级中学2026-2027学年九年级第一学期数学练习（一）

2026-2027学年第一学期练习（一） 九年级数学 时间：120分钟分值：150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一根为（ ） A. B. 5 C. D. 3 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 若关于的方程，满足，则这个方程必有一个根是（　　） A. B. C. D. 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解为_________． 12. 若函数是二次函数，则的取值范围______． 13. 若抛物线经过和，则该抛物线的对称轴为直线___________． 14. 请写出一个一元二次方程，使得它的两个根分别为2和，该方程可以是___________． 15. 商场销售某商品，如果每件盈利10元，每星期可卖出500件．经调查发现：每件涨价1元，每星期就少卖出20件．若该商场要保证每星期盈利6000元，则每件应涨价多少元？设该商品每件涨价元，则根据题意可列方程：___________．（不必化简） 16. 如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为，3，与轴负半轴交于点．下面四个结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④只有当时，是等腰直角三角形．那么，其中正确的结论是___________． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2）； 18. 如图，矩形ABCD是一花圃，它的一边AD利用已有的围墙（可利用的围墙足够长），另外三边所用的栅栏的总长度是20m．若矩形ABCD的面积为50m2，求AB的长度． 19. 已知二次函数． （1）开口向___________，顶点坐标为___________； （2）当___________时，函数有最___________值，为___________； （3）当时，的取值范围为___________． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足．求的值． 21. 如图，已知二次函数的图象经过、两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的顶点为E，对称轴与x轴交于点C，求四边形的面积． 22. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为正整数，且m为整数，求m的值． 23. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）用含的代数式表示和； （2）若，． ①判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； ②已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 25. 已知抛物线的图像与轴交于点，与轴交于点，且顶点坐标为，点为轴上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限抛物线上一点，且，与轴交于点，求点的横坐标； （3）点是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期练习（一） 九年级数学 时间：120分钟分值：150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，只含未知数，最高次数为，且为整式方程，是一元二次方程； 选项B：，含两个未知数，不是一元二次方程； 选项C：，含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程； 选项D：，未知数最高次数为，不是一元二次方程． 故选：A． 2. 用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可． 【详解】解：将方程整理得：x2-x-2=0， 这里a=1，b=-1，c=-2， 故选B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握求根公式． 3. 将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可进行求解． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线是． 4. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一根为（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是2 设另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可得出答案，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 6. 关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中的， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式来判断，若，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根． 7. 若关于的方程，满足，则这个方程必有一个根是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又∵把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：C． 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 9. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后整体代入求解． 【详解】解：∵，是方程的两根 ∴， ∴ ∴ ． 10. 已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元一次不等式的应用，整式加减的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及求解不等式组是解题的关键．先将，，代入，得到，，，然后根据推得，，可得，，再用作差法证明，，即得答案． 【详解】解：抛物线上有三点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理， ， ． 故选：D． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 12. 若函数是二次函数，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数． 13. 若抛物线经过和，则该抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性求解． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴该抛物线的对称轴为直线． 14. 请写出一个一元二次方程，使得它的两个根分别为2和，该方程可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设方程的两根是2和，进一步利用根与系数的关系求解即可. 【详解】解：设方程的两根是2和， ∴，， ∴，， ∴该方程为：（答案不唯一）. 15. 商场销售某商品，如果每件盈利10元，每星期可卖出500件．经调查发现：每件涨价1元，每星期就少卖出20件．若该商场要保证每星期盈利6000元，则每件应涨价多少元？设该商品每件涨价元，则根据题意可列方程：___________．（不必化简） 【答案】 【解析】 【分析】设每件应涨价x元，得出周销售量将减少件，再由盈利额等于每件盈利乘以周销售量，进一步得方程即可． 【详解】解：设每件应涨价x元， 根据题意得. 16. 如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为，3，与轴负半轴交于点．下面四个结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④只有当时，是等腰直角三角形．那么，其中正确的结论是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线可判断①正确；根据图象得，，可判断②正确；根据图象得当时，随的增大先减小，再增大可判断③错误；当△ABD是等腰直角三角形，求出，设抛物线的解析式为，代入解方程求出a的值即可判断④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点，的横坐标分别为，3 ∴二次函数的对称轴为直线 ∴，故①正确； ∵二次函数开口向上 ∴ ∴ ∵二次函数与轴负半轴交于点 ∴ ∴，故②正确； 由图象得，当时，随的增大先减小，再增大，故③错误； 如图，连接，．过点D作轴于点E ∵二次函数图象的顶点为，点A和点B关于对称轴对称 ∴ 当是等腰直角三角形时， ∵轴， ∴ ∴ ∴ ∵二次函数的图象与轴的交点，的横坐标分别为，3 ∴设二次函数解析式为 ∴将代入得， 解得 ∴只有当时，是等腰直角三角形，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 解得，． 18. 如图，矩形ABCD是一花圃，它的一边AD利用已有的围墙（可利用的围墙足够长），另外三边所用的栅栏的总长度是20m．若矩形ABCD的面积为50m2，求AB的长度． 【答案】AB的长度为5m． 【解析】 【分析】设AB的长度为xm，则BC的长度为(20－2x)m，根据矩形的面积列方程求出x即可． 【详解】解：设AB的长度为xm，则BC的长度为(20－2x)m， 由题意得：x(20－2x)=50， 解得：， 答：AB的长度为5m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 19. 已知二次函数． （1）开口向___________，顶点坐标为___________； （2）当___________时，函数有最___________值，为___________； （3）当时，的取值范围为___________． 【答案】（1）上， （2），小， （3） 【解析】 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后求解即可； （2）根据二次函数的性质求解； （3）当时，，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数中二次项系数为 ∴开口向上，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵二次函数开口向上，顶点坐标为 ∴当时，函数有最小值，为； 【小问3详解】 解：∵二次函数开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大 ∵，， 当时， ∴当时，的取值范围为． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或3， ， ． 21. 如图，已知二次函数的图象经过、两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的顶点为E，对称轴与x轴交于点C，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求得顶点E、C的坐标，然后利用坐标与图形，结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过、两点， ∴，解得， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由得顶点坐标，则， 又、， ∴四边形的面积为． 22. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为正整数，且m为整数，求m的值． 【答案】（1） 证明： ，即，且， 此方程总有两个实数根. （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：此方程可化为 于是得或， 解得， ∵此方程的两个实数根都为正整数， 为正整数，又m为整数， 或． 23. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 【答案】（1）；6 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，三角形三边关系，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子中a、b的值，再根据三角形三边关系即可解答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为6； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问3详解】 解： ， 的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数， ，即， 的最大值为10， 的周长的最大值为：． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）用含的代数式表示和； （2）若，． ①判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； ②已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 【答案】（1）， （2）①该二次函数图象的开口向上，理由如下： ∵，， ∴和异号，和同号， ∴和异号， ∵， ∴，， ∴， ∴该二次函数图象的开口向上； ②证明：由（1）可得，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 由①得，故， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）将，代入二次函数得到，计算即可得出结果； （2）①由题意可得和异号，和同号，从而得出和异号，结合得出，从而可得，即可得出结果；②由（1）可得，，表示出，从而可得，再结合，求出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 由可得， 将代入得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①该二次函数图象的开口向上，理由如下： ∵，， ∴和异号，和同号， ∴和异号， ∵， ∴，， ∴， ∴该二次函数图象的开口向上； ②略． 25. 已知抛物线的图像与轴交于点，与轴交于点，且顶点坐标为，点为轴上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限抛物线上一点，且，与轴交于点，求点的横坐标； （3）点是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， ． 【小问2详解】 令，则， ，， ， 令，则， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设点，则， ， ， 设直线：， 当，时，， ， ， 一次函数与二次函数联立得， 解得，（舍去）， 点的横坐标为． 【小问3详解】 为定值，理由如下： 如图所示， 设点，作轴于，作轴于，则，， 为的中点， 为的中位线， ，为的中点， ，， ， 将点代入抛物线， ， 化简得，， 设，，，的横坐标分别为，，，， 则， 由得，， 由得，， 为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $