辽宁省实验中学2026-2027学年高二上学期十月考试数学试题

三、解答题 15题 16题 高二上第一次月考数学答题纸   贴条码处 姓 名： 考生号： 班 级：28届 班 选择题 1  2  3  4  9  10  11   5  6  7  8  二、填空题 12． 13. 14．     fLayoutInCell1lTxid1048576dxTextLeft91440dyTextTop0dxTextRight91440dyTextBottom36000WrapText0adjustValue658fShadowOK1fLineOK1fFilled0lineWidth12700lineStyle0wzName 25fFlipH0fFlipV0shapeType2 19题 18题  17题    $2026-2027学年上学期高二年级十月考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后；用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或 在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效， 4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.点M(2,1,-2)关于平面Oxy对称的点的坐标为() A.（-2,1,-2）B.（-2,-1,-2) C.（2,-1,-2) D.（2,1,2) 2.如图所示，已知四棱锥P-ABCD,PE=PC,若B=a,D=方，AP=C,则BE等于() P 4 A+B-+心+ D.3a-16-3 a- 4 41 4 4 44 4 44 3.经过点P(1,2),且一个法向量为n=(6,8)的直线方程为() D A.3x-4y-11=0 B.3x+4y-11=0C.4x+3y-11=0 D.4x-3y+11=0 4.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，底面ABCD为正方形，∠AAB=∠AAD= 3,棱 AA=2AB,E为BC的中点，则异面直线BA与DE所成角的余弦值为() D A.15 B.15 15 c.3 5 3 D 5.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，E为BC的中点，P为DE的中点，则点P到 D 直线BB的距离为() D A.5 B.3 C.2W2 D.V13 6.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=α，则异面直 60 线AB与CD的距离() A.2 B.a C.v2 2 a D.V30 A45 6 数学试题第3页（共4页） 7.已知正方体ABCD-AB,CD中，P,Q分别为棱CD,CC上的动点，则二面角P-A4-Q的最大值为() A.30° B.45° C.60° D.90° 8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD平行四边形，过点A的平面α与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G,且 PB=2P2,PD=3PG·四棱锥P-AEPG的体积和四棱P-ABCD的体积比值为() 5 5 5 5 A.- B. C. D. 48 42 54 56 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中，正确的有() A.直线y=3x-2在y轴上的截距是-2 B.一条直线的斜率为tana,则该条直线的倾斜角为c c已知直线：a++3y+a=0,直线4恒过点（写》 D.过点P(1,2)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0 10.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，∠DAB=∠DAA=∠BA4=60°，AB=AD=AA,点M,N分别是 棱DC,CB,的中点，则下列说法中正确的有() A.MN⊥AC B.AC=AB+AD-AA D C.向量AM,BC,BB共面 D.若AB=1,则该平行六面体的高为6 11.如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC-AB,C中，D为AB的中点，则() A.CD⊥AB B B.异面直线AC,与B,C所成角的余弦值为 V② 4 C.若M,N分别为AA,BC上的点，则MN的最小值为V3 D.若点P在底面AB,C上，且AP/1平面B,CD,则点P的轨迹长度为√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图所示，二面角a-I-B为60°，A,B是棱l上的两点，AC,BD分别在半平面α，B 内，且AC⊥I,BD⊥I,AB=2,AC=3,BD=4,则CD的长 数学试题第4页（共4页） 13.已知空间向量ā=(2，-2，-1)，=(-3,0，-4)，向量ā在向量6上的投影数量为 14.边长为V5的正方形ABCD,E为AB中点，将△ADE沿DE翻折得到△ADE,记M为线段AC中点，若 在翻折过程中，记二面角A-DE-B为日， ππ 3'2 则点M到直线DE的距离的范围是 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,AB=PD=2,E, F分别为棱PA,AB的中点， (1)求异面直线BD与CE所成角的余弦值： (2)求平面CEF与平面PCD夹角的余弦值. -cC 16.(15分) 在平面直角坐标系xOy中，直线1过点M(4,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点. (1)当△AOB的面积最小时，求直线1的方程： (2)当OA+OB取得最小值时，求直线1的方程： (3)当MAB取得最小值时，求直线1的方程. 17.(15分) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,点M,N分别为PA,BC的中点，且∠BMD是二面角B-PA-D的 平面角。 (1)求证：MNI∥平面PCD: (2)求直线MW到平面PCD的距离； (3)点Q是线段MN上的动点，求直线PQ与平面PCD所成角的正弦值的最大值. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP,其中P 为动点 (1)若PC⊥AB,证明：AB⊥平面PAC: (2)在(1)的条件下，若三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积： (3)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值. 19.(17分) 如图，在斜三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=2,∠BAC=90°，侧棱AA=3,∠AAB=60°，∠AAC=0, 其中0为锐角. (1)当0=60°时，求证：A4⊥BC: (2)定义：过点A作AO垂直底面ABC于O,且O在∠BAC内部，记AO与AB、AC所成角分别为a、B, 称d= ana-tam为斜三棱柱的投影偏差率. tana+tanB (i)当0=60°时，求斜三棱柱ABC-ABC的投影偏差率d(不需证明)，并求此时平面B1AC与平面ABC夹 角的余弦值： (i)d关于0的函数解析式记为d(0),若存在两个不同的锐角8,8使得d(8)=d(02),求证：cos01·cos62 为定值，并求该定值， A B A 数学试题第4页（共4页)数学参考答案 一、单选题 14DABA 5-8 DCBA 二、多选题 9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题 12.17 5√7 13.-2 14 2 四、解答题 15.(1),侧面PCD⊥底面ABCD,侧面PCD∩底面ABCD=CD,PD⊥CD, PD⊥底面ABCD,,ADC底面ABCD,.PD⊥AD, 以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则B(2,2,0),C(0,2,0),E(1,0,1),DB=(2,2,0),CE=(1,-2,1), 卡n大w吸四-9 “异面直线BD与CE所成角的余弦值为 (6分) (2)由(1)得F(2,l,0),CF=(2,-1,0).设平面CEF的法向量为n=（x,y,z), 则厅C正=-2y+2=0令=1，则y-=2,2=3,得平面CEF的法向量为i=L23)。 i.C℉=2x-y=0, 易得平面PCD的一个法向量为m=(1,0,0), 由此可知cosm,n)= V14 14 “平面CEF与平面PCD夹角的余弦值为 (13分) 14 16.(1)解法一：易知直线1的斜率小于0.由题意，设直线1的方程为y-1=k(x-4),且k<0,则 B(0,1-4),则 1108-号“0-4-4动-4的=--16 8+1的98，当仪当l6,即=，M08的百楼水 为8，此时，直线1的方程为y-1=(x-4,即x+4y-8=0 解法二：设直线1的方程为产+=1(a>0,6>0,则4+1由1=4+之2A, 得ab≥16， a b a b 方2，即a=8,b=2时，△40B的面积S=号b取得最小值，为8，此时，直线1的 411 当且仅当4= 方程为+)=1，即x+4y-8=0. (5分) 82 当且仅当-4k,即k=号时，O4+O8取得最小值，为9，此时直线1的方程为x+2y-6=0 解法二：同(1)中的解法二 (10分) (3)解法一：由(1)的解法一可得1MAMB 当且仅当-k=- 无即太=-1时，MB取得最小值，为8此时直线7的方程为+y-5=0 解法二：由(1)的解法二知4+l,4〔a0),B0,,所以 a b |MA|BMA·lMB上-A-MB=-(a-4,-1)(-4,b-1)=4(a-4)+b-1=4a+b-17 4a-6+月7E款+经2b8,当且仪当名g即ab5西。4cB取得 a b 最小值，为8，此时直线1的方程为x+y-5=0 解法三：设∠BA0=a,MA=1MB=4,则MA-WMB= 8 sin o cosa sin a cos a sin 2a Q= ,故斜率k=1此时直线1的方程为x+y-5=0 (15分) 17.(1)取PD的中点E,连接ME、CE. 由M为PA中点，得MEAD且ME=AD: 2 由N为BC中点，得NCAD且NC=)BC=,AD,故MENC且ME=NC, 2 2 所以四边形MECN为平行四边形，因此MNIICE, (4分) 又CEc平面PCD,MNZ平面PCD,故MNI∥平面PCD. (2)连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO,则PO⊥平面ABCD, 以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. ---C D 由∠BMD为二面角B-PA-D的平面角，得BM⊥PA、DM⊥PA, 而M是PA的中点，所以PB=AB,AD=PD,所以△PAB,△PAD是等边三角形， 因为PA=2,所以AB=AD=2,高P0=2-(2}=2, P0,0,√2)，A2,0,0),B(0,V2,0),C(-√2,0,0)，D(0,-V2,0), 个小w PC=（-V2,0,-V2),CD=(V2,-V2,0,设平面PCD的法向量为i=(xy,z), -P心=-5x-2z=0,故可设平面PCD的法向金=0，L-. 多 i.CD=√2x-√2y=0 由MW∥平面PCD,直线MW到平面PCD的距离等于点M到平面PCD的距离， MP= ,02 M.n√2√6 所以直线MW到平面PCD的距离为 (9分) 2 53 (3)设2为线段MN上的动点，令MQ=tMN(t∈[0，)： 则O0=OM+M0=OM+1MN 2 设直线PQ与平面PCD所成角为O, 则sin0 PO.n 2 √2 P PO.3 PO3 mr-a9j(9- 匹-33 61 2222 此时si0取得最大值为：33.5 11 (15分) 6 18.(1)证明：在△ACD中，由AC=CD=1,∠ADC=30°得∠CAD=∠ADC=30°， 所以AD=2 4Ccos∠DAC=2×1×cos30°=V3,且∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°，即AB LAC, 因为AB L AC,PC⊥AB,PC∩AC=C,PC、ACc平面PAC, 所以AB⊥平面PAC (4分) (2)以A为原点，AB,AC分别为x轴和y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-z, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(01,0,P 3V3 022 设球心O(a,b,c),半径R, 则40-0-c0-0-R,所以+6+e-a-++e-+6-+e-i+6-+e-要-， 解得a= 2.b= 2R ,所以球0的为5元 (9分) 2 B x (3)在平面PAC中，过P作PG⊥AC于G,在平面ABC中，过G作GM⊥AC, Z 因GMOPG=G,GM,PGc平面PGM,则AC⊥平面PGM. 则ǜ》4G=5cos0-多，PG=5sm30-5, 2 A ---2-- 设∠PGM=0,0∈(0,180)，以G为原点，GM,CG分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz,则点P在平面xGz内， 则caao4a0l-oc00r5aamo） 3 所以Ci=(0,-10),CB=(L-1,o,c币- m⊥CA 设平面PAC一个法向量分别为m=(x,,),则 mLCP m.CA=-y=0 即 mC呼3 ,取x=sin8,则得m=(sin0,0,-cos0): +2名sin0=0 n⊥CB 平面PBC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则 LCP i.CB=x2-y2=0 即 ,取x2=1,则得n=1,1,-6。 (14分) 2+ 23sin0=0 sin+(cos+1)cos0 所以cos(m,n)= mn 3sin0 cos0+3 m √3cos0+1 V-3cos20+2V5c0s0+7' 2+ √3sin0 =ma+5,则应0ea0烟e(5-l5小时(， 于是cos(m,n= t -3(-V3}+23(t-5)+7V-32+831-8 15 2+ -3了，当且仅当5即25时等号立， 2 3 t 所以二面角A-CP-B的余弦值的最小值为 (17分) 19.(1)证明如下：因为AA·BC-AA(AC-AB)=AA·AC-AA·AB=.ACcos60-AA:Bcos60° =3x2x-3x2x,=0,所以AM1BC,即A41BC. (3分) 2 (2)(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，过A垂直于面ABC的直线为z轴， 建立下图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), A (1)已知∠4AB=60°，∠AAC=0=60°，A4=3, B 则=从s60-多%-440放0 己知AO与AB、AC所成角分别为C、B, 则tana=出=2cos0=l,tanB==,1 Xo %2cos0-1, 则d ltana-tan_1-1=0. tana+tanB 1+1 注：也可以直接是利用三余弦公式 (5分) 3 222 A元.元=2y=0 设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z),则 ·元=子x+y+2z=0 令x=3V2,则=(3V2,0,-7),平面ABC的法向量可取m=(0,0,1), 设平面B1AC与平面ABC夹角为P,则 csp-器-受 67 所以平面B1AC与平面ABC夹角的余弦值N (10分) 67 1 2c0s0- (i)证明如下：d(0)= tana-tanB 2cos0 4cos20-1 (12分) tana tanB 1 2c0s0+ 4cos20+1 2cos0 已知存在两个不同的锐角0,0，使得d(8)=d(02),设4=cos20,4=cos20, 则4-1_- 44+142+1 ,锐角0,02是两个不同的锐角，则42-1,44-1符号相反， 或-即0-44，+)-+46-小.化简整理得华=6 .1-44-442-1 .co.c2%=石《，g为能，角则eam月>0a4>0,cas月ea4=子 (17分)