18.5 分式方程 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

18.5 分式方程 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十八章　分式　18.5 分式方程 知识地图 ① 分式方程　分母中含有未知数的方程叫做分式方程；判断只看原方程本身。 ② 基本思路　去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。 ③ 三个步骤　一化（去分母）→ 二解（解整式方程）→ 三检验（代入最简公分母）。 ④ 增根　使最简公分母为 0 的根是增根，它不是原方程的根，原方程无解。 ⑤ 产生原因　去分母时两边同乘了一个可能为 0 的整式。 ⑥ 实际应用　审、设、列、解、验、答；既要验根，又要验是否符合实际意义。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 理解分式方程的概念，知道分母中含有未知数的方程叫做分式方程，能正确判断一个方程是不是分式方程 理解 了解解分式方程可能产生增根的原因，知道解分式方程必须检验 掌握 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，会去分母把它化为整式方程 掌握 会检验一个数是不是原分式方程的增根，会根据检验结果写出原方程的解或无解 应用 能列分式方程解决工程、行程等实际问题，并会检验所得结果是否符合实际意义 2. 本节重难点 重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法——去分母把分式方程转化为整式方程。 难点：理解产生增根的原因，以及为什么检验是解分式方程必不可少的一步。 二、分式方程的概念（第 1 课时） 1. 从实际问题引出新方程 前面我们学过一元一次方程、二元一次方程，它们的分母中都不含未知数，统称为整式方程。先看下面这个问题（教材 P164）： 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等。江水的流速为多少？ 设未知数：设江水的流速为 v km/h。 顺流、逆流速度：顺流速度 = (30 + v) km/h，逆流速度 = (30 − v) km/h。 列方程：由「两次航行所用时间相等」，得　 = 。 观察：这个方程的未知数 v 出现在了分母中，它与我们学过的整式方程不一样。 2. 分式方程的概念 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 整式方程：分母中不含未知数的方程叫做整式方程（一元一次方程、二元一次方程都是整式方程）。 ★ 判断要点：只看原方程本身的分母中有没有未知数，不能先化简再判断。例如 = 2 中分母含 x，它就是分式方程。 图 1　分母中是否含有未知数，是区分分式方程与整式方程的唯一标准 3. 辨一辨 判断下列方程是不是分式方程（只看原方程）： 方程 是不是分式方程 理由 = 3 是 分母中含未知数 x = 3x 不是 分母 2 是数，不含未知数 + x = 2 是 分母中含未知数 x x = 6 不是 分母 5 是数，未知数在分子 三、解分式方程（第 1 课时） 1. 基本思路：去分母 解分式方程的关键是「去分母」：把方程两边的分母去掉，使它变成一个我们熟悉的整式方程。这里用到的工具是等式的基本性质——方程两边同乘一个式子，等式仍然成立。 图 2　解分式方程的流程：先去分母化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验 2. 一般步骤（一化二解三检验） ① 化：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。 ② 解：解这个整式方程，求出它的解。 ③ 检验：把整式方程的解代入最简公分母：不为 0 就是原方程的解；为 0 就不是原方程的解（此时原方程无解）。 ④ 写解：根据检验的结果，写出原分式方程的解，或写「原分式方程无解」。 ★ 提醒：解分式方程必须检验，这一步不能省。 3. 例 1（教材 P165 例） 解方程： = 。 解：方程两边乘 x(x − 3)，得　2x = 3(x − 3)。 　　去括号，得　2x = 3x − 9。移项、合并，得　x = 9。 检验：当 x = 9 时，x(x − 3) = 9 × 6 = 54 ≠ 0。 所以，原分式方程的解为 x = 9。 4. 例 2（教材 P166 例） 解方程： − 1 = 。 解：方程两边乘 (x − 1)(x + 2)，得 　　x(x + 2) − (x − 1)(x + 2) = 3。 　　去括号，得　 + 2x − ( + x − 2) = 3，即　x + 2 = 3。 　　解得　x = 1。 检验：当 x = 1 时，(x − 1)(x + 2) = 0 × 3 = 0。 因此 x = 1 不是原分式方程的解，原分式方程无解。 四、增根：产生的原因与检验（第 1 课时） 1. 什么是增根 增根：去分母后整式方程的根，如果使最简公分母为 0，那么它不是原分式方程的根。这样的根叫做原方程的增根。 产生的原因：去分母时，方程两边同乘了一个可能为 0 的整式（最简公分母）。当它为 0 时，方程两边实际上乘了 0，解的范围被扩大了。 结论：增根一定使最简公分母为 0；反过来，使最简公分母为 0 的根一定是增根。 2. 用例 2 体会增根 在例 2 中，去分母后得到的整式方程的解是 x = 1，而 x = 1 恰好使最简公分母 (x − 1)(x + 2) 等于 0，所以它是增根，必须舍去，原分式方程无解。 想一想：如果把 x = 1 直接写进原方程，会出现什么情况？ 代入原方程： − 1 = ，左边第一个分式的分母 1 − 1 = 0，式子没有意义。 ★ 所以：增根本质上使原方程中的某个分母为 0，它当然不能是原方程的解。 五、分式方程的实际应用（第 2 课时） 1. 列分式方程解应用题的步骤 列分式方程解应用题的步骤，与列整式方程解应用题基本相同，一共六步：审、设、列、解、验、答。 图 3　列分式方程解应用题：六步走，并且要做「双重检验」 ① 审：审清题意，找出已知量和未知量。 ② 设：设未知数（通常是设所求量为 x）。 ③ 列：找出等量关系，列出分式方程。 ④ 解：解这个分式方程。 ⑤ 验：双重检验——既要检验解是不是原方程的根（不是增根），又要检验它是否符合实际意义（如时间、长度、人数都必须是正数）。 ⑥ 答：写出答案，注意不要漏掉单位。 常用的等量关系： 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常把工作总量设为 1）。 行程问题：路程 = 速度 × 时间；顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 − 水流速度。 2. 例 3（教材 P167 例）　工程问题 两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？ 解：设乙队单独施工 1 个月完成总工程的 。 　　甲队半个月完成总工程的 ，乙队半个月完成总工程的 。 　　依题意，得　 + + = 1。 　　方程两边乘 6x，得　2x + x + 3 = 6x，解得　x = 1。 　　检验：当 x = 1 时，6x = 6 ≠ 0，所以 x = 1 是原分式方程的解，且符合题意。 答：乙队单独施工 1 个月就能完成全部工程，而甲队 1 个月只完成总工程的 ，所以乙队的施工速度快。 3. 例 4（教材 P168 例）　行程问题 某列列车平均提速 v km/h。用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km。提速前列车的平均速度是多少？ 解：设提速前这次列车的平均速度为 x km/h。 　　提速前行驶 s km 所用时间为 h； 　　提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，行驶 (s + 50) km 所用时间为 h。 　　根据行驶时间相等，得　 = 。 　　方程两边乘 x(x + v)，得　s(x + v) = x(s + 50)，即　sx + sv = sx + 50x，所以　x = 。 　　检验：由 v、s 都是正数，得 x = 时，x(x + v) ≠ 0。 答：提速前这次列车的平均速度为 km/h。 六、典型例题（基础题） 例 5　两边都是分式（交叉相乘型） 解方程： = 。 解：方程两边乘 (x + 1)(x − 1)，得　3(x − 1) = 5(x + 1)。 　　去括号，得　3x − 3 = 5x + 5，移项、合并，得　−2x = 8，所以　x = −4。 　　检验：当 x = −4 时，(x + 1)(x − 1) = (−3) × (−5) = 15 ≠ 0。 所以，原分式方程的解为 x = −4。 例 6　一边是整式型 解方程： = 。 解：方程两边乘 x(x − 2)，得　x = 3(x − 2)。 　　去括号，得　x = 3x − 6，移项、合并，得　−2x = −6，所以　x = 3。 　　检验：当 x = 3 时，x(x − 2) = 3 × 1 = 3 ≠ 0。 所以，原分式方程的解为 x = 3。 例 7　解完发现是增根（无解） 解方程： = 。（提示： − 1 = (x + 1)(x − 1)） 解：因为 − 1 = (x + 1)(x − 1)，所以最简公分母是 (x + 1)(x − 1)。 　　方程两边乘 (x + 1)(x − 1)，得　2(x + 1) = 4。 　　去括号、移项，得　2x = 2，所以　x = 1。 　　检验：当 x = 1 时，(x + 1)(x − 1) = 2 × 0 = 0。 　　所以 x = 1 是增根，原分式方程无解。 例 8　右边整式项也要乘（易漏乘） 解方程： + 1 = 。 解：方程两边乘 (x + 1)，得　2x + (x + 1) = 3。 　　★ 注意：这里的「+ 1」也要乘 (x + 1)，不能漏乘。 　　去括号、合并，得　3x + 1 = 3，所以　3x = 2，x = 。 　　检验：当 x = 时，x + 1 = ≠ 0。 所以，原分式方程的解为 x = 。 例 9　一边含整式项 解方程： + 2 = 。 解：方程两边乘 (x − 3)，得　1 + 2(x − 3) = x − 4。 　　去括号，得　1 + 2x − 6 = x − 4，即　2x − 5 = x − 4，所以　x = 1。 　　检验：当 x = 1 时，x − 3 = −2 ≠ 0。 所以，原分式方程的解为 x = 1。 例 10　列分式方程解决生产问题 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同。现在平均每天生产多少台机器？ 解：设现在平均每天生产 x 台机器，则原计划每天生产 (x − 50) 台。 　　根据「所需时间相同」，得　 = 。 　　方程两边乘 x(x − 50)，得　600(x − 50) = 450x。 　　去括号，得　600x − 30 000 = 450x，移项、合并，得　150x = 30 000，所以　x = 200。 　　检验：当 x = 200 时，x(x − 50) = 200 × 150 = 30 000 ≠ 0，且 x = 200 符合题意。 答：现在平均每天生产 200 台机器。 七、典型例题（提升题） 例 11　先去分母，再判断增根 解方程： − = 1。 解：因为 − 4 = (x + 2)(x − 2)，所以最简公分母是 (x + 2)(x − 2)。 　　方程两边乘 (x + 2)(x − 2)，得　 − 16 = (x + 2)(x − 2)。 　　展开、整理，得　 + 4x − 12 = − 4，所以　4x = 8，x = 2。 　　检验：当 x = 2 时，(x + 2)(x − 2) = 4 × 0 = 0。 　　所以 x = 2 是增根，原分式方程无解。 例 12　工程问题（工效提高） 某市为治理污水，需要铺设一段全长为 300 m 的污水排放管道。铺设了 120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，后来每天的工效比原计划增加 20%，结果共用 30 天完成这一任务。求原计划每天铺设管道的长度。 解：设原计划每天铺设管道 x m，则后来每天铺设管道 1.2x m。 　　根据「共用 30 天」，得　 + = 30。 　　化简，得　 + = 30，即　 = 30。 　　方程两边乘 x，得　270 = 30x，所以　x = 9。 　　检验：当 x = 9 时，1.2x = 10.8 ≠ 0，且 x = 9 符合题意。 答：原计划每天铺设管道 9 m。 例 13　工程问题（含倍数关系） 甲队单独完成一项工程所需天数是乙队的 1.5 倍。两队合作 12 天可以完成这项工程，求甲、乙两队单独完成各需要多少天。 解：设乙队单独完成需要 x 天，则甲队单独完成需要 1.5x 天。 　　根据「两队合作 12 天完成」，得　 + = 1。 　　方程两边乘 1.5x，得　18 + 12 = 1.5x，即　30 = 1.5x，所以　x = 20。 　　检验：当 x = 20 时，1.5x = 30 ≠ 0，且 x = 20 符合题意。则 1.5x = 30。 答：甲队单独完成需要 30 天，乙队单独完成需要 20 天。 例 14　行程问题（先后出发、同时到达） A、B 两地相距 30 km。甲骑自行车从 A 地出发，1 h 后乙骑摩托车也从 A 地出发，结果两人同时到达 B 地。已知摩托车的速度是自行车速度的 3 倍，求两人的速度。 解：设自行车的速度为 x km/h，则摩托车的速度为 3x km/h。 　　自行车比摩托车多用 1 h，得　 − = 1。 　　方程两边乘 3x，得　90 − 30 = 3x，即　60 = 3x，所以　x = 20，3x = 60。 　　检验：当 x = 20 时，3x = 60 ≠ 0，且 x = 20 符合题意。 答：自行车的速度是 20 km/h，摩托车的速度是 60 km/h。 例 15　含参数：已知方程无解，求参数 若关于 x 的分式方程 = 无解，求 m 的值。 解：方程两边乘 (x − 2)，得　x − 3 = m，所以　x = m + 3。 　　整式方程 x = m + 3 对任何 m 都有解，所以原方程无解只能是「解是增根」这种情况。 　　令最简公分母 x − 2 = 0，得 x = 2，即　m + 3 = 2，所以　m = −1。 答：m = −1。 例 16　含参数：已知方程有增根，求参数 若关于 x 的分式方程 = 1 有增根，求 m 的值。 解：方程两边乘 (x − 3)，得　2x + m = x − 3。 　　移项、合并，得　x = −m − 3。 　　因为原方程有增根，所以 x = −m − 3 使最简公分母 x − 3 = 0，即　−m − 3 = 3。 　　所以　m = −6。 答：m = −6。 例 17　整式项是 −1 的去分母 解方程： − 1 = 。 解：方程两边乘 (x + 2)，得　2x − (x + 2) = 4。 　　★ 注意：「− 1」乘 (x + 2) 得 −(x + 2)，括号不能丢。 　　去括号、合并，得　x − 2 = 4，所以　x = 6。 　　检验：当 x = 6 时，x + 2 = 8 ≠ 0。 所以，原分式方程的解为 x = 6。 例 18　行程问题（时间单位换算） 某校学生去距离学校 15 km 的博物馆参观。一部分学生骑自行车先走，过了 40 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车速度的 3 倍，求自行车和汽车的速度。 解：设自行车的速度为 x km/h，则汽车的速度为 3x km/h。 　　40 min = h。根据「同时到达」，得　 − = 。 　　方程两边乘 3x，得　45 − 15 = 2x，即　30 = 2x，所以　x = 15，3x = 45。 　　检验：当 x = 15 时，3x = 45 ≠ 0，且 x = 15 符合题意。 答：自行车的速度是 15 km/h，汽车的速度是 45 km/h。 八、易错清单与错解辨析 1. 高频失分点 易错点 典型错解 正确做法 判断时先化简 把 = 2 化简成 x + 1 = 2，判成整式方程 看原方程：分母中含 x，它是分式方程 忘记检验 解得 x = 1 就直接写「原方程的解是 x = 1」 代入最简公分母为 0，x = 1 是增根，原方程无解 去分母时漏乘 − 1 = 中，把 −1 漏乘 每一项都要乘：x(x + 2) − (x − 1)(x + 2) = 3 分子没加括号 去分母后写成 x − 1(x + 2)，符号、系数全错 分子是多项式时要加括号：(x − 1)(x + 2) 把增根当解 解出 x = 1 后仍写「原方程的解为 x = 1」 该根使最简公分母为 0，应舍去，写「原方程无解」 漏检验实际意义 求出速度为负值、人数为分数仍照答 时间、长度、人数等必须为正，不合题意的解要舍去 2. 错解辨析 【题 1】解分式方程 = 。 错解：两边乘 (x − 2)，得 x = 2。所以原方程的解是 x = 2。 （错因：没有检验。x = 2 使最简公分母为 0，它是增根。） 正解：两边乘 (x − 2)，得 x = 2。检验：当 x = 2 时，x − 2 = 0， 　　　所以 x = 2 是增根，原分式方程无解。 【题 2】解分式方程 = 。 错解：两边乘 (x + 1)(x − 1)，得 2(x + 1) = 4，解得 x = 1。所以原方程的解是 x = 1。 （错因：把增根当成了原方程的解。） 正解：两边乘 (x + 1)(x − 1)，得 2(x + 1) = 4，解得 x = 1。检验：当 x = 1 时， 　　　(x + 1)(x − 1) = 0，所以 x = 1 是增根，原分式方程无解。 九、方法总结与知识结构 1. 知识结构 分式方程 概念 分母中含有未知数的方程 只看原方程，不能先化简 解法 ① 去分母　② 解整式方程　③ 检验　④ 写解 一化二解三检验；检验必不可少 增根 使最简公分母为 0 的整式方程的根 舍去该根；原分式方程无解 实际应用 审、设、列、解、验、答 双重检验；答案要带单位 2. 解题方法与步骤 ① 认清方程：看原方程的分母中有没有未知数，判断它是不是分式方程。 ② 找最简公分母：分母能分解因式的先分解因式，再确定最简公分母。 ③ 去分母：方程两边同乘最简公分母；每一项都要乘，分子的多项式要加括号。 ④ 解整式方程：按一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并、系数化为 1）求解。 ⑤ 检验：把解代入最简公分母，为 0 就舍去（是增根）。 ⑥ 写结论：写出原方程的解，或写「原分式方程无解」。 ⑦ 实际问题：还要检验所得结果是否符合实际意义，答话不要漏单位。 十、学以致用（即时自测） 1. 判断下列方程哪些是分式方程（只看原方程）：① = 1；② = 1；③ = 。 2. 解方程： = 。　　　3. 解方程： = 。 4. 解方程： − 2 = 。　　　5. 甲、乙两地相距 30 km，某人骑摩托车从甲地到乙地，出发 20 min 后，一辆汽车也从甲地到乙地，结果两车同时到达。已知汽车的速度是摩托车的 1.5 倍，求摩托车的速度。 参考答案与提示 1. ①③ 是分式方程（分母中含未知数）；② 的分母 3 是数，不是分式方程。 2. 两边乘 x(x + 1)：3(x + 1) = 2x，解得 x = −3；检验 x(x + 1) ≠ 0，所以 x = −3。 3. 两边乘 (x + 1)(x − 1)：x + 1 = 2，解得 x = 1；检验 (x + 1)(x − 1) = 0，所以 x = 1 是增根，原方程无解。 4. 两边乘 2x：2(x + 1) − 4x = 1，解得 x = ；检验 2x ≠ 0，所以 x = 。 5. 设摩托车速度为 x km/h，则汽车为 1.5x km/h，20 min = h。由 − = 得 x = 30。答：摩托车的速度是 30 km/h。 十一、课后巩固（对接教材 P169 习题 18.5） 教材 P169 的习题 18.5 是本节的配套练习，请先独立完成，再对照本节例题自查：分式方程的概念看「二、2」；解法看例 1、例 2、例 5~例 9、例 11、例 17；增根与参数看例 15、例 16；实际应用看例 3、例 4、例 10、例 12~例 14、例 18。 1. 解方程： = 。 2. 解方程： = + 2。 3. 解方程： + 3 = 。 4. 解方程： = 。 5. 某服装厂准备加工 400 套演出服。在加工完 160 套后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务。求原来每天加工多少套演出服。 6. 一项工程，甲队单独施工 30 天完成。甲队先施工 6 天后，乙队加入，两队又合作了 12 天完成。问乙队单独施工需要多少天？ 参考答案与提示 1. 两边乘 x(x + 2)：5x = 3(x + 2)，解得 x = 3；检验 x(x + 2) ≠ 0，所以 x = 3。 2. 两边乘 (x − 1)：x = 3 + 2(x − 1)，解得 x = −1；检验 x − 1 ≠ 0，所以 x = −1。 3. 两边乘 (x − 2)：1 + 3(x − 2) = x + 1，解得 x = 3；检验 x − 2 ≠ 0，所以 x = 3。 4. 两边乘 (x + 1)(x − 1)：4 = 2(x + 1)，解得 x = 1；检验 (x + 1)(x − 1) = 0，所以 x = 1 是增根，原方程无解。 5. 设原来每天加工 x 套，得 + = 18，即 = 18，解得 x = 20。答：原来每天加工 20 套。 6. 设乙队单独施工需要 x 天，得 + + = 1，即 + = 1，解得 x = 30。答：乙队单独施工需要 30 天。 十二、本课技能自查 技能点 自我评价 对应例题 判断一个方程是不是分式方程 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 二、3；十、1 解可化为一元一次方程的分式方程 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 1、2、5、6、8、9、17 检验与增根的判断 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 2、7、11；八、2 含参数（无解、有增根）问题 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 15、例 16 列分式方程解工程问题 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 3、10、12、13；十一、5、6 列分式方程解行程问题 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 4、14、18；十、5 十三、分式方程与整式方程的联系（化归） 解分式方程的基本思路是「化归」：把不熟悉的分式方程，转化为熟悉的整式方程来解。去分母是「化」的手段，检验是「化」之后必不可少的收尾。两者的对比见下表。 对比项 分式方程 整式方程（以一元一次方程为例） 分母中是否含未知数 含 不含 举例 = 2x − 3 = 5 解题思路 先去分母，「化」为整式方程再解 按去括号、移项、合并、系数化为 1 求解 是否必须检验 必须检验，防止出现增根 一般不必专门检验 解的情况 可能有唯一解，也可能无解（增根舍去） 一般有唯一解 两者的联系 去分母得到整式方程；解出后要回到原方程检验 是分式方程「化归」的目标 ★ 提醒：「化归」之后一定要检验，这是分式方程与整式方程最大的不同，也是本课失分最多的地方。 ★ 小结：判断看分母，求解先化分母，最后回到分母检验——「一看、二分、三检验」，三句话记住本节。 学科网（北京）股份有限公司 $