17.1 用提公因式法分解因式 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

17.1 用提公因式法分解因式 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十七章　因式分解　17.1 用提公因式法分解因式 知识地图 ① 因式分解　把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解（也叫分解因式）；结果必须是「积」。 ② 与整式乘法互逆　整式乘法：几个整式的积 → 一个多项式（和）；因式分解：一个多项式 → 几个整式的积。两者是方向相反的变形。 ③ 公因式　多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式；可以是数、单独一个字母，也可以是多项式。 ④ 确定公因式（三看）　一看系数取最大公约数；二看字母取各项都含有的相同字母；三看指数取相同字母的最低次幂。 ⑤ 提公因式法　把公因式提到括号外，写成「公因式 × 另一个因式」的形式，依据是乘法分配律的逆用 ma + mb + mc = m(a + b + c)。 ⑥ 提公因式四注意　公因式要提尽；某项与公因式相同时括号内要写 1；首项为负先提「−」号并变号；公因式是多项式时要用整体思想。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 经历从整式乘法到因式分解的逆向思考过程，理解因式分解的意义，知道它与整式乘法是互逆变形 理解 理解公因式的概念，会确定多项式各项的公因式（三看：系数、字母、指数） 掌握 掌握提公因式法，能把各项含有公因式的多项式分解因式 掌握 会处理首项系数为负、公因式是多项式、括号内需要变号等情形 应用 会用因式分解进行简便计算，会用它求代数式的值 2. 本节重难点 重点：因式分解的概念；公因式的确定；用提公因式法把多项式分解因式。 难点：理解因式分解与整式乘法的互逆关系；确定公因式时「各项都含有的相同字母的最低次幂」；首项系数为负、公因式是多项式时的处理。 二、因式分解的概念 1. 从整式乘法到因式分解 整式的乘法是把几个整式相乘，结果写成一个多项式。例如： 　　x(x + 1) = + x，　　m(a + b + c) = ma + mb + mc。 反过来，在整式的变形中，有时需要把一个多项式写成几个整式的乘积的形式。教材中就是这样提出问题的——请把下列多项式写成几个整式的积： 　　 + x = x(x + 1)，　　 − 1 = (x + 1)(x − 1)，　　 + 2x + 1 = (x + 1)2。 以 + x 为例，用面积可以看得更清楚（如图 1）。 图 1　同一个长方形：整体看是 x(x + 1)，分成两块看是 x2 + x 2. 因式分解的定义 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 注意：① 因式分解的对象是多项式；② 结果是几个整式的积；③ 每个因式都必须是整式。 3. 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是方向相反的两种变形（互逆变形）：把几个整式相乘、写成多项式，是整式乘法；把一个多项式写成几个整式的积，是因式分解。 整式的乘法 因式分解 变形方向 几个整式的积 → 一个多项式 一个多项式 → 几个整式的积 结果形式 和（多项式） 积（几个整式的乘积） 举例 m(a + b + c) = ma + mb + mc ma + mb + mc = m(a + b + c) 关系 把积乘开 把和写成积（与左边互逆） 判断一个变形是不是因式分解，关键是看右边是不是几个整式的积（并且左边是一个多项式）。 4. 辨一辨 例 1　下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. (x + 1)(x + 2) = + 3x + 2　　B. + 3x = x(x + 3) C. + 3x + 2 = x(x + 3) + 2　　D. (x + 2)2 = + 4x + 4 解：A、D 是把几个整式的积乘开，属于整式乘法；C 的右边是「和」，不是「积」的形式；B 把一个多项式写成了两个整式的积，属于因式分解。故选 B。 三、公因式 1. 公因式的概念 公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式。 例如：pa + pb + pc 的各项都含有的因式是 p，所以 p 是它的公因式。 公因式可以是数、单独一个字母，也可以是多项式（如 (b + c)）。 2. 确定公因式的方法（三看） 看什么 怎么取 示例：8 与 12ac 一看系数 取各项系数的最大公约数 8 与 12 的最大公约数是 4，系数取 4 二看字母 取各项都含有的相同字母 两项都含 a、b（c 只在第二项，不要），字母取 a、b 三看指数 取相同字母的最低次幂 a 的次数分别是 3、1，取 1；b 的次数分别是 2、3，取 2 所以公因式是 4，即 4a。 3. 找公因式 例 2　写出下列各多项式的公因式： (1) 6a + 9b；　(2) 4y − 8x；　(3) 12c − 18；　(4) 2a(b + c) − 3(b + c)。 解：(1) 系数 6、9 的最大公约数是 3，两项没有都含有的字母，所以公因式是 3； (2) 系数取 4，字母取 x、y，指数取最低次幂，所以公因式是 4xy； (3) 系数取 6，字母取 a、b，a 取最低次幂 2，b 取最低次幂 2，所以公因式是 6； (4) 两项都含有的因式是 (b + c)，所以公因式是 b + c。 四、提公因式法 1. 提公因式法的依据 图 2　提公因式法的面积模型：三个小长方形的面积和 ＝ 大长方形的面积 如图 2，用面积来理解：三个高都是 m、宽分别为 a、b、c 的小长方形，它们的面积和是 ma + mb + mc；把它们拼成一个宽为 (a + b + c)、高为 m 的大长方形，面积是 m(a + b + c)。两种算法表示同一块面积，所以 ma + mb + mc = m(a + b + c)。这就是把乘法分配律反过来用——把各项都含有的因式 m 提到括号外，就把「和」写成了「积」。 2. 提公因式法的定义与步骤 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 四步：① 找——三看定公因式；② 提——逐项除以公因式，得另一个因式；③ 写——写成乘积形式；④ 验——乘开检验。 3. 例 3（教材 P125 例 1） 例 3　把 8 + 12ac 分解因式。 解：先确定公因式。系数 8 与 12 的最大公约数是 4；两项都含有的字母是 a、b，其中 a 的最低次幂是 1，b 的最低次幂是 2，所以公因式是 4a。 　　8 + 12ac = 4a · 2 + 4a · 3bc = 4a(2 + 3bc)。 检验：把 4a(2 + 3bc) 乘开，得 8 + 12ac，与原式相同，分解正确。 4. 例 4（教材 P125 练习） 例 4　把下列各式分解因式： (1) ax − ay；　(2) − 2a；　(3) + ab；　(4) xy − + yz。 解：(1) 原式 = a(x − y)；　(2) 原式 = a(a − 2)； 　　(3) 原式 = a(a + b)；　(4) 原式 = y(x − y + z)。 五、提公因式法的常见情形 1. 某一项恰好是公因式本身——括号内要补 1 例 5　把 3 − 6xy + x 分解因式。 解：公因式是 x。最后一项 x 除以 x 得 1，括号内必须写 1，不能漏掉。 　　原式 = x · 3x − x · 6y + x · 1 = x(3x − 6y + 1)。 ★ 提醒：某一项恰好等于公因式本身时，提公因式后括号内要补 1。 2. 首项系数为负——先提「−」号，括号内各项变号 例 6　把 −24 + 12 − 28x 分解因式。 解：首项系数是负数，通常先提出「−」号，使括号内第一项的系数为正，此时公因式取 −4x。 　　原式 = −4x · 6 − 4x · (−3x) − 4x · 7 = −4x(6 − 3x + 7)。 ★ 提醒：提出「−」号后，括号内各项都要变号。 3. 公因式是多项式——用整体思想，必要时先变号 例 7　（教材 P126 例 2）分解因式： (1) 2a(b + c) − 3(b + c)；　　(2) 4(a − b)3 + 8(b − a)2。 解：(1) 把 (b + c) 看成一个整体，它正好是两项的公因式。 　　原式 = (b + c)(2a − 3)。 (2) 因为 (b − a)2 = (a − b)2，所以两项都含有公因式 4(a − b)2。 　　原式 = 4(a − b)2 · (a − b) + 4(a − b)2 · 2 = 4(a − b)2(a − b + 2)。 ★ 提醒：把 (b + c)、(a − b) 这样含有字母的式子看作一个整体，是重要的「整体思想」。 4. 综合：先把式子化成含有相同因式 例 8　分解因式：(a + b)(a − b) − a − b。 解：后两项 −a − b 可以写成 −(a + b)，于是原式的两项都含有因式 (a + b)。 　　原式 = (a + b)(a − b) − (a + b) = (a + b)(a − b) − (a + b) · 1 = (a + b)(a − b − 1)。 六、提公因式法的应用：简便计算与求值 1. 用因式分解简便计算 例 9　（教材 P125 练习）利用因式分解计算：1.992 + 1.99 × 0.01。 解：把 1.992 看成 1.99 × 1.99，两项都含有因数 1.99。 　　原式 = 1.99 × 1.99 + 1.99 × 0.01 = 1.99 × (1.99 + 0.01) = 1.99 × 2 = 3.98。 例 10　利用因式分解计算：49 × 20.25 + 52 × 20.25 − 20.25。 解：把最后一项看成 20.25 × 1，三项都含有因数 20.25。 　　原式 = 20.25 × 49 + 20.25 × 52 − 20.25 × 1 = 20.25 × (49 + 52 − 1) = 20.25 × 100 = 2025。 2. 用因式分解求代数式的值 例 11　已知 a + b = 5，ab = 3，求 b + a 的值。 解：先用提公因式法把所求式子变形，再整体代入已知式。 　　b + a = ab(a + b)，把 a + b = 5、ab = 3 代入，得原式 = 3 × 5 = 15。 七、典型例题 【基础题】 例 12　把下列各式分解因式： (1) 6b − 9a；　(2) 4 + 8z − 12xz；　(3) −8 + 6ac。 解：(1) 公因式是 3ab，原式 = 3ab(2a − 3b)； (2) 公因式是 4x，原式 = 4x(xy + 2xz − 3z)； (3) 首项系数为负，提出 −2a，原式 = −2a(4 − 3bc)。 【提升题】 例 13　分解因式：2(x + y)2 − (x + y)。 解：把 (x + y) 看作整体，它是两项的公因式（第二项可看成 (x + y) × 1）。 　　原式 = (x + y) · 2(x + y) − (x + y) · 1 = (x + y)(2x + 2y − 1)。 例 14　分解因式：(m − 2) − n(2 − m)。 解：因为 (2 − m) = −(m − 2)，所以原式的两项都含有公因式 n(m − 2)。 　　原式 = (m − 2) + n(m − 2) = n(m − 2)(n + 1)。 例 15　分解因式：3(x − y) + 12a(y − x)。 解：因为 (y − x) = −(x − y)，先化成相同整体再提公因式。 　　原式 = 3(x − y) − 12a(x − y) = 3a(x − y)(a − 4)。 【拓展题】 例 16　已知多项式 3 + mx + n 分解因式的结果为 (3x + 2)(x − 1)，求 m、n 的值。 解：把 (3x + 2)(x − 1) 乘开，得 3 − x − 2。与 3 + mx + n 比较，得 m = −1，n = −2。 八、易错清单与错解辨析 序号 易错点 正确做法 1 把结果写成「和」，如 + x 就当作分解完成 因式分解的结果必须是「积」的形式，应写成 x(x + 1) 2 提公因式后漏写 1，如 + x = x · x 某项恰为公因式本身时，括号内要写 1：x(x + 1) 3 首项系数为负时不变号 先提出「−」号，括号内各项都要变号，如 −4x(6 − 3x + 7) 4 系数只取公约数而不取最大公约数 系数据取各项系数的最大公约数，公因式要提尽 5 字母、指数取错 只取各项都含有的相同字母，且取最低次幂 6 只给部分项提公因式 必须对每一项都提取，公因式要「找全」 7 公因式是多项式时不敢提或不整体提 把 (b + c)、(m + n) 等看作整体直接提出 8 遇到 (b − a) 与 (a − b) 时忘记变号 由 (b − a) = −(a − b)，整体换号后再提公因式 附：错解辨析 下面几种错误最常见，请对照检查自己的解法。 题目 错解 错因 正确解 x2 + x x · x 某项恰为公因式本身，括号内应写 1 x(x + 1) 2 + 4x 2x(x + 4) 4x ÷ 2x = 2，括号内应是 2 2x(x + 2) b + a a(ab + ) 公因式没找全，ab 才是公因式 ab(a + b) −2 + 4x −2x(x + 2) 提出「−2x」后，括号内各项要变号 −2x(x − 2) 九、方法总结与知识结构 1. 提公因式法的一般步骤 步骤 做法 第一步：找 按「三看」确定公因式：系数取最大公约数，字母取都含有的相同字母，指数取最低次幂 第二步：提 用原多项式的每一项分别除以公因式，所得的商相加就是另一个因式（注意补 1、注意变号） 第三步：写 写成「公因式 × 另一个因式」的乘积形式，相同因式的积写成幂 第四步：验 把结果乘开，看是否与原多项式相同 2. 知识结构 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式；与整式乘法是方向相反的变形。 公因式：各项都含有的相同因式；可以是数、单独一个字母或一个多项式。 确定公因式：三看：系数取最大公约数；字母取都含有的；指数取最低次幂。 提公因式法：把公因式提到括号外，写成积的形式；依据是乘法分配律的逆用。 常见情形：公因式是单项式 / 多项式；首项为负；某项恰为公因式本身；需要变号。 主要应用：分解因式；简便计算；求代数式的值。 十、学以致用（即时自测） 1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. (x + 4)(x − 4) = − 16　　B. + x = x(x + 1) C. + 4x = x(x + 4) + 1　　D. (x + 1)2 = + 2x + 1 2. 分解因式：6 − 9ab = ______。 3. 分解因式：−4 + 8x = ______。 4. 分解因式：2m(a − b) − 6n(b − a) = ______。 5. 用简便方法计算：2026 × 998 + 2026 × 2 = ______。 参考答案 1. B（A、D 是整式乘法，C 的右边不是积的形式）。 2. 3a(2a − 3b)。　3. −4x(x − 2)。　4. 2(a − b)(m + 3n)。 5. 原式 = 2026 × (998 + 2) = 2026 × 1000 = 2026000。 解题小贴士 ① 先「三看」定公因式，再逐项相除，最后写成积的形式。 ② 遇到 (b − a) 时先化成 (a − b) 再提；公因式要「提尽」，并用「乘开」检验。 十一、知识拓展与思考 例 17　利用因式分解计算：(−2)101 + (−2)100 + 299。 解：因为 (−2)101 = −2101，(−2)100 = 2100，所以原式 = −2101 + 2100 + 299。 　　把 299 作为公因式提出：原式 = 299 × (−22 + 2 + 1) = 299 × (−1) = −299。 例 18　说明 32026 − 32025 能被 2 整除。 解：把 32025 作为公因式提出： 　　原式 = 32025 × 3 − 32025 × 1 = 32025(3 − 1) = 2 × 32025。 　　因为分解结果中含有因数 2，所以 32026 − 32025 能被 2 整除。 例 19　一个长方形的长、宽分别为 a、b，它的周长为 16、面积为 15，求 b + a 的值。 解：由周长为 16，得 2(a + b) = 16，所以 a + b = 8；由面积为 15，得 ab = 15。 　　b + a = ab(a + b) = 15 × 8 = 120。 想一想：因式分解把「和」变成了「积」，这对运算有什么帮助？（提示：积便于看出因数、便于约分，也便于判断能否被某数整除。） 十二、数学活动 活动一　公因式与最大公约数的类比 求 12 与 18 的最大公约数，是找它们都含有的公共因数中最大的一个；找多项式的公因式，也是找各项都含有的公共因式中「最完整」的那一个。12 = 2 × 2 × 3、18 = 2 × 3 × 3，最大公约数是 2 × 3 = 6；对照「三看」：系数取最大公约数，字母取都含有的，指数取最低次幂，道理是一致的。 活动二　为什么必须检验 把分解结果乘开，是检验因式分解是否正确的好办法。例如： 　　3ab(2a − 3b) = 6b − 9a，与原式相同，说明分解正确。 如果乘开的结果与原式不同，就要回到「三看」重新检查。 十三、本课技能自查 对照下表逐项自查，哪一项不清楚，就回到对应的例题再练一遍。 我应掌握的技能 对应例题 判断一个变形是不是因式分解（结果是否为「积」） 例 1 用「三看」确定多项式各项的公因式 例 2、例 4 用提公因式法分解因式（含补 1、首项为负提「−」号） 例 3、例 5、例 6、例 12 公因式是多项式、需要变号时用整体思想 例 7、例 8、例 13、例 14、例 15 由因式分解的结果求字母的值 例 16 用因式分解简便计算、说明整除 例 9、例 10、例 17、例 18 用因式分解求代数式的值 例 11、例 19 学科网（北京）股份有限公司 $