2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中学情自测（前3章）

2026—2027苏科版九年级数学上学期期中学情自测（前3章） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （本卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：前3章 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．6 C． D． 3．已知反比例函数，则下列结论正确的是（   ） A．点 在它的图象上 B．其图象分别位于第一、三象限 C．随的增大而减小 D．时，随的增大而增大 4．如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 7．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 8．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．若是方程的一个根，则a的值等于______． 10．已知a，b是方程的两个根，则__________． 11．已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 12．反比例函数的比例系数是______． 13．为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 14．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 15．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 16．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． （第13题） （第14题） （第16题） 17．如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 18．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． （第17题） （第18题） 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 21．已知y与成反比例函数关系，且当时，．求y与x之间的函数关系式． 22．如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． (1)作圆心和的中点． (2)连接，交于点，若，，求的半径． 23．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 25．如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； (1)求弦与弦的长． (2)求的长． 26．在一元二次方程的探究性学习中，为研究方程根与系数的变化规律，总结特殊方程的变换特征，现给出全新定义：对于一元二次方程，保持一次项系数不变，互换二次项系数与常数项得到的新方程，称为原方程的倒换系数方程．请结合该定义，完成下列探究问题： (1)方程的“倒换系数方程”是________；若是的“倒换系数方程”的解，则________． (2)若是一元二次方程的根，求证：是其“倒换系数方程”的根． (3)已知是一元二次方程的“倒换系数方程”的一个实数根，求的值． 27．如图，点A为反比例函数图象上的一动点，连接，过点O作的垂线，且（点B在第一象限），点B的横纵坐标分别为，求证：是一个定值． 28．问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： (2)若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： (3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027苏科版九年级数学上学期期中学情自测（前3章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A C B C A 1．C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程展开得，即，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中，没有规定，当时，该方程不是一元二次方程． 2．A 【分析】将点代入即可求解． 【详解】解：由题意得：． 3．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点不在它的图象上，故不符合题意； 、由得，，此函数图象分别位于第二、四象限，故不符合题意; 、由得，，在每一象限内，随的增大而增大，故不符合题意； 、当时，随的增大而增大，故符合题意； 故选：． 4．A 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 5．C 【分析】增长率问题，一般用“增长后的量增长前的量（1+增长率）”进行计算．如果游客人数的年平均增长率为x，根据2015年约为12万人次，则2016年约为万人次，2017年约为万人次，结合“2017年约为17万人次”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意，可得． 6．B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， 解得：且． 7．C 【分析】根据两个函数图象经过的象限，分别判断和的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、反比例函数的图象经过第一、三象限，则，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，不符合题意； B、反比例函数的图象经过第二、四象限，则，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，不符合题意； C、反比例函数的图象经过第一、三象限，则，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，符合题意； D、反比例函数的图象经过第二、四象限，则，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，不符合题意． 8．A 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 9．2 【分析】根据方程的根的定义，将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 10． 【分析】将所求分式通分转化为用两根之和与两根之积表示的形式，再利用根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 11． 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 12． 【分析】根据反比例函数的定义及意义，对于反比例函数 (k≠0)，自变量是x，函数值是y，k则是比例系数，依此即可解答. 【详解】∵反比例函数=， ∴反比例函数的比例系数是. 故答案为. 【点睛】此题考查反比例函数的定义，解题关键在于掌握其定义. 13．40 【分析】设反比例函数解析式为，结合图象上的点求出，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将点代入解析式得：， 解得：， 反比例函数解析式为， 当时，则，解得：， 即若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是米/天． 14．5 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 15． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ， 16．或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 17．4 【分析】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 18．/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 19．(1)， ． (2)， ． 【分析】利用公式法即可求出方程的两根． 【详解】（1）解：化为一般式为 ， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ． （2）解：， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ． 20．(1) 证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：设是方程的两个根， 则，， 不妨设， ∴把代入方程得：， 故， 整理，得， 或， 当时，， 解得，此时方程的另一个根为； 当时， 解得， 此时方程的另一个根为． 21． 【分析】设y与x之间的函数关系式为，进一步利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意，得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 22．(1)如图，点和点即为所求， (2) 【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂径定理的逆定理可得，，使用勾股定理计算出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知，点是的中点， ∴， ∴， 在中，． 23．(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 24．(1)， (2)或 【分析】（1）首先求出，然后代入求出；然后联立和求出或6，然后将代入即可得到； （2）找出图象中直线在反比例函数图象上方时x的范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 25．(1)， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出；根据圆周角定理得到°，再根据角平分线定义得，则，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得； （2）作于，由（1）可得是等腰直角三角形，进而可得，，利用勾股定理求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：是的直径， ， 在中， ， 是的直径， ， 的平分线交于点， 是等腰直角三角形， （2）如图，作于， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 在中， ， ． 26．(1)； (2)证明：∵是一元二次方程的根， ∴， 一元二次方程的“倒换系数方程”是， 将代入“倒换系数方程”左边，得 ， ∴能使方程的左右两边相等，是方程的根， ∴是一元二次方程的“倒换系数方程”的根 (3) 【分析】（1）先按定义互换二次项系数与常数项写出“倒换系数方程”，再把代入待求参数的“倒换系数方程”，解方程即得； （2）先由是原方程的根得，再把代入其“倒换系数方程”左边，通分后分子恰为，可得其等于0，即可得证； （3）先写出“倒换系数方程”，由根的定义得，进而得，再将所求式前两项提取化为，整体代入即可消去． 【详解】（1）解：原方程中，，，“倒换系数方程”是； 的“倒换系数方程”是， 将代入，得 ， 解得； （2）略 （3）解：∵一元二次方程的“倒换系数方程”是，是该方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 27． 证明：如图所示，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ∴， ∴是一个定值为4． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及反比例函数图象的性质进行求解即可． 【详解】略 28．(1)推导过程如下： ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴在中，可得，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) (3)，理由如下： 如下图，将绕点逆时针旋转得到，连接，同理可得：点在上， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，进而可得为等腰直角三角形，由勾股定理可得，进而可知，然后结合，，即可证明结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，易得，进而可得；证明为等腰直角三角形，可得，结合，即可获得答案； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，结合旋转的性质以及翻折的性质，易得，进而由勾股定理可得，进一步可得；证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径，为的中点， ∴，， 如下图，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴在上， ∵， ∴， ∴； （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $