3.1 圆的相关概念～3.3 圆的对称性 阶段练习 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

3.1圆的相关概念～3.3圆的对称性 阶段练习 一、选择题 1、下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆； ③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2、下列命题中，正确的是（　　） A. 圆心角相等，所对的弦相等 B. 三点确定一个圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 弦的垂直平分线必经过圆心 3、已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） 4、如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点在弧上，且不与，重合，当点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（　　） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定 5、点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ） A. B. C. D. 6、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（　　） A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm 7、如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）米 A. B. C. D. 8、如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点． 若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（　　） A. 2+1 B. +1 C. 2 D. 3 二、填空题 9、是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 10、一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 11、把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 12、如图，为直径，点C，D在上，，与交于点E，， 若，则的长为________． 13、如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA．若，则∠D的度数是_____． 14、兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 ________m． 15、如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液体的最大深度，当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了______． 16、如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的 纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____________． 17、如图，在中，，用一个圆面去覆盖， 能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 18、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点， 则BM的最大值是_____． 三、解答题 19、如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）． （1）该图中弧所在圆的圆心的坐标为______． （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径______________．（结果保留根号）； ②______． 20、如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 21、如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 22、如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 23、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺， 问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 24、如图，中，，以为半径的交于D， 求的长． 25、如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点． （1）求证：AB平分∠OAC； （2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长． 26、如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是 上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 3.1圆的相关概念～3.3圆的对称性 阶段练习 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、选择题 1、下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆； ③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误．故选：A． 2、下列命题中，正确的是（　　） A. 圆心角相等，所对的弦相等 B. 三点确定一个圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 弦的垂直平分线必经过圆心 【答案】D 解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误； B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误； D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确． 故选：D． 3、已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 4、如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点在弧上，且不与，重合，当点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（　　） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 解：∵ PAOB是扇形OMN的内接矩形,∴AB＝OP＝半径, 当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，又PA2+_PB2=AB2, 故选C. 5、点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 解：如图所示，CD⊥AB于点P． 根据题意，得AB=10cm，CD=6cm． ∴OC=5，CP=3 ∵CD⊥AB，∴CP=CD=3cm． 根据勾股定理，得OP==4cm． 故选B． 6、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（　　） A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm 【答案】B 解：取的中点M，作于点M，取上的球心O，连接， ∴， ∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴， 设，则， ∴，， 在直角三角形中， 即： 解得：； 故选：B． 7、如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】A 解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA． 根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r， 根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5 8、如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点． 若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（　　） A. 2+1 B. +1 C. 2 D. 3 【答案】D 解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′， ∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°， 又∵OA=OA′=， ∴A′B=2． ∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2． ∴△PAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3； 故选D． 二、填空题 9、是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径，∴． 10、一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 解：，，解得 或，故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ．故外接圆直径为 ．故答案为：． 11、把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 【答案】/150度 解：如图所示：连接，过点O作于点E，设圆的半径为， 由题意可得：，∴∴ ∴∴； ∴弧的度数是，故答案为： 12、如图，为直径，点C，D在上，，与交于点E，， 若，则的长为________． 解：∵，为直径， ， ∵， ， 由勾股定理得，， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 13、如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA．若，则∠D的度数是_____． 【答案】 解：连接OB， ∵BD=OA，OB=OA， ∴BD=AO=OB， ∴△OBD，△OAB都是等腰三角形， ∴ 设∠D的度数是x，则∠BAO=∠ABO=x+x=2x， 则在△AOB中，利用三角形的内角和是180度，可得： ；解得． 故答案为：． 14、兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 ________m． 【答案】4 解：根据题意得，在中，，半径， ∴，， ， ∴， 故答案是：． 15、如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液体的最大深度，当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了______． 【答案】 解：连接， 当瓶内液体没升高时，∵，球的半径为，∴，， 由题意得，∴点为的中点，∴，∴此时； 当瓶内液体升高时，则，，∴， 同理，得，∴此时； ∴当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了． 16、如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的 纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____________． 【答案】（，2） 解：过M作MN⊥BC于N，连接CM， ∵，， ∴OB=，OC=， ∴BC=， ∵MN⊥BC， ∴CN=AB=， ∴ON=， ∴M（，2）， 故答案为：（，2）． 17、如图，在中，，用一个圆面去覆盖， 能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 解：作于D，如图， ∵，∴，∴， ∵垂直平分，∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为．故答案为：． 18、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点， 则BM的最大值是_____． 【答案】7 解：如图，取中点N，连接，． ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， 即BM的最大值是7. 三、解答题 19、如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）． （1）该图中弧所在圆的圆心的坐标为______． （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径______________．（结果保留根号）； ②______． 【答案】（1） （2）①； ② 【1】如图，作线段和线段的垂直平分线，则两直线交点即为圆心， ∴由图可知圆心的坐标为． 故答案为：； 【2】①由图可知的半径． 故答案为：； ②如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 20、如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】（1）证明：∵，∴， ∴，∴． （2）证明：∵，∴，∵，∴， ∵，∴． 21、如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】（1）证明：如图，过点作于点， ∵，∴，，∴，即； （2）解：如图，连接、， ∵，∴， ∵，， ∴，，∴， 设，则，， 在中，∵，∴，解得， ∴，∴，即小圆半径的值为． 22、如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【答案】（1）证明：∵，∴， ∵点是的中点，∴， ∴， ∴，∴； （2）解：连接,设的半径为r，，则， ∵，，∴， 在中，，∴，解得，∴的半径为． 23、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺， 问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 【答案】CD=26寸． 解：连接OA， ∵AB⊥CD，且AB=10， ∴AE=BE=AB =5（寸）， 设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x ∵DE=1， ∴OE=x-1， 在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2 ， 解得：x=13 所以CD=26（寸）． 故答案为CD=26寸． 24、如图，中，，以为半径的交于D， 求的长． 【答案】 解：∵在中，， ∴， 过C作，交于点M，如图所示， ∵， ∴M为的中点， ∵，且，， ∴， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴． 25、如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点． （1）求证：AB平分∠OAC； （2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长． 解：（1）证明：连接 是弧的中点， 是等边三角形， 同理 ∴四边形是菱形， 平分 （2）解：连接 是等边三角形， 是直角三角形， 26、如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是 上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】（1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； (2)证明：过作于， ， ， ， 在和中，; ， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $