3.1 圆的相关概念【分层作业】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.1 圆的相关概念【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】圆、圆心、半径的概念辨析 2 【题型2】弦、直径、弧、半圆概念辨析 4 三.综合提升 7 【题型1】等圆、同心圆、等弧概念辨析 7 【题型2】利用同圆半径相等角度计算 10 【题型3】圆中线段、弧的识别 14 【题型4】简单几何说理 17 四.拓展探究 21 【题型】四点共圆（半径相等） 21 五.中考链接 27 六.自我评价 34 一.知识梳理（前置作业） 【学习要求】结合教材自主完成填空 1. 平面内，线段绕固定端点旋转一周，另一个端点运动形成的图形叫做圆。其中定点叫做______，线段叫做_______；以点为圆心的圆记作________，读作圆。 2. 圆的集合定义：圆是平面内到________的距离等于________的点的集合；________确定圆的位置，________确定圆的大小。 3. 连接圆上任意两点的线段叫做________；经过圆心的弦叫做________；________是圆中最长的弦；直径的长度等于半径的________倍。 4. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做________；________半圆的弧叫劣弧，________半圆的弧叫优弧；优弧要用________个大写字母表示。 5. 圆心相同、半径不等的圆叫做________；能够互相重合的圆叫做________；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________。 参考答案： 1. 圆心；半径； 2. 定点（圆心）；定长（半径）；圆心；半径 3. 弦；直径；直径；2 4. 半圆；小于；大于；三 5. 同心圆；等圆；等弧 二.基础巩固 【题型1】圆、圆心、半径的概念辨析 1．（25-26九年级下·河北邢台·开学考试）下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 解：A、只确定圆的圆心，不可以确定圆； B、只确定圆的半径，不可以确定圆； C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆； D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆； 故选：C． 2．（25-26六年级上·全国·单元复习）用圆规画一个半径为3的圆，小明的操作步骤如下：①把圆规有针尖的脚放在纸上；②将圆规两脚分开，使两脚间距离为3；③用手按住有针尖的脚，同时转动有笔芯的脚一周．但最终画出的图形不是标准的圆，最可能的原因是（   ） A．步骤①中没有确定固定的点作为圆心 B．步骤②中两脚间距离不是3 C．步骤③中转动时没有保持有针尖的脚固定 【答案】C 【分析】本题考查了用圆规画圆的正确方法：用圆规画圆时，有针尖的脚要固定不动；旋转圆规时，两脚间的距离要保持不变，据此逐项判断即可求解． 解：A、步骤①中把有针尖的脚放在纸上，准确，选项不符合题意； B、题目中明确说明步骤②将两脚间距离定为3，所以该选项不符合题意； C、步骤③中转动时若没有保持有针尖的脚固定，圆心位置不断变化，就无法画出标准的圆，这是最可能的原因． 故选：C 3．（25-26九年级上·全国·课前预习）以为半径可以画________个圆；以点为圆心可以画________个圆；以点为圆心，以为半径可以画________个圆． 【答案】 无数 无数 1 【分析】根据圆的概念和性质分析即可． 解：以为半径，没有确定圆心，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，没有确定半径，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，以为半径可以画1个圆． 故答案为：无数，无数，1 【点拨】本题考查了圆的基本概念，掌握圆的基本概念是解题的关键． 4．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了圆的定义和性质，解题的关键是掌握圆的定义和性质． 根据圆的定义和性质进行解答即可． 解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； 故答案为：②③． 【题型2】弦、直径、弧、半圆概念辨析 1．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测）下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 【答案】B 【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可． 此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念． 解：A、弦不一定是直径，原命题是假命题，不符合题意； B、直径是弦，是真命题，符合题意； C、弧不一定是半圆，原命题是假命题，不符合题意； D、半圆一定是弧，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C．长度相等的弧是等弧 D．直径未必是弦 【答案】B 【分析】根据等弧、优弧、劣弧及圆的定义逐项进行判断即可． 解：A、当两个半圆的半径不相等时，其弧不相等，故说法错误； B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，说法正确； C、在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧，故说法错误； D、直径是圆中最长的弦，故说法错误． 故选：B． 【点拨】本题考查了圆的有关定义，关键是了解等弧及半圆的定义，优弧与劣弧的定义． 3．（第14讲对称图形—圆（全章复习与测试）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版））（1）图①中有___________条弧，分别为___________； （2）写出图②中的一个半圆___________；劣弧：___________；优弧：___________． 【答案】 2； , ； ； ； ． 【分析】（1）根据弧的定义求解可得； （2）根据半圆、劣弧、优弧概念求解可得． 解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ； 故答案为：2， , ； （2）写出图②中的一个半圆 ； 劣弧： ；优弧：． 故答案为： ； ；． 【点拨】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握优弧、半圆、劣弧的概念． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，图中__________是直径，__________是弦，以为端点的劣弧有____________________，以为端点的优弧有____________________．    【答案】 ，， ，，，， ，，， 【分析】根据圆的基本概念进行作答即可． 解：如图，图中是直径，，，是弦，以为端点的劣弧有，，，，，以为端点的优弧有，，，． 故答案为：；，，；，，，，；，，，． 【点拨】本题考查了圆的基本概念，正确掌握圆的基本概念相关内容是解题的关键． 三.综合提升 【题型1】等圆、同心圆、等弧概念辨析 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．劣弧一定比优弧短 B．面积相等的圆是等圆 C．长度相等的弧是等弧 D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等 【答案】B 【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可． 解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意； B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意； C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意； D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中． 3．（25-26九年级上·河南商丘·期中）下列说法中正确的有______（填序号）． ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆； ④面积相等的两个圆是等圆． 【答案】①③④ 【分析】根据圆的基本定义判断即可． 解：①直径是圆中最大的弦，故正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧一定是等弧，故错误； ③半径相等的两个圆是等圆，故正确； ④面积相等的两个圆半径相等，则两个圆是等圆，故正确； 故答案为：①③④． 【点拨】此题考查了圆的基本定义的掌握，正确理解圆的基本定义是解题的关键． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）下列说法中正确的有__（填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点拨】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 【题型2】利用同圆半径相等角度计算 1．（2026·湖北荆门·三模）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，，则，即可求解． 解：， ∴． ∵， ∴，， ∴． 2．（2026·山西晋中·一模）如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由得，由，根据两直线平行，内错角相等得，再由求出，然后根据即可求解． 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 【答案】/65度 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）及圆的半径相等的性质，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，结合直角三角形内角和逐步推导相关角度． 先计算出的度数；由圆的半径相等得，求出的度数；进而求出的度数；再结合求出的度数． 解：连接，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，与x轴相切，与y轴相交于点、，那么点A的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，三线合一，勾股定理，点的坐标，掌握相关知识点是解题的关键． 过点A作轴于点D，作轴于点E，根据、，求得的长度，即可求解． 解：如图，过点A作轴于点D，作轴于点E， 、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ∵与x轴相切， ， ， 点A坐标是． 故答案为：． 【题型3】圆中线段、弧的识别 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，为半圆的一条弦（非直径），连结、，分别以、为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点，连结，交于点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，由，，可得为线段的垂直平分线，即可判断；根据三线合一即可判断；由已知不能确定与圆的半径是否相等，即无法确定是否是等边三角形，即可判断；掌握线段线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 解：∵，， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴为线段的垂直平分线， ∴，，故选项正确； ∵，， ∴， 即，故选项正确； ∵由已知不能确定与圆的半径是否相等， ∴无法确定是否是等边三角形， 即无法确定是否等于，故选选不一定正确； 故选：． 2．（2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、圆的基本概念、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，利用平行线的性质得到，得出，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案． 解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， 正方形的边长为． 故选：B． 【题型4】简单几何说理 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（﹣5，0）为圆心，13为半径作弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为_____． 【答案】． 【分析】连接AB，由题意知：OA=5，AB=13，利用勾股即可求得OB的长，本题即可求解． 解：如图，连接AB， 由题意知：OA=5，AB=13， ∴OB=， ∴B． 故答案为：． 【点拨】本题考查的圆的半径以及勾股定理，添加辅助线AB以及正确利用勾股定理进行计算是解题的关键． 2．（2026·安徽六安·一模）如图，将圆形纸片折叠后，弧恰好经过圆心O，则的度数为_______． 【答案】/120度 【分析】本题考查折叠的性质，解直角三角形，设点的对称点为，连接，交与点，根据折叠的性质，得到垂直平分，得到，等边对等角，求出的度数即可． 解：设点的对称点为，连接，交与点， 由折叠的性质可知：垂直平分， ∴， 由题意，得：， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为； 故答案为：． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，为直径．求证． 【答案】证明：连接． ∵都是的直径， ∴，． 又∵ ， ∴， ∴， ∴． 【分析】因为都是的直径，所以，．结合对顶角相等的条件，证明和全等．由全等三角形对应角相等，得到内错角相等，根据平行线的判定定理即可证得． 解：略 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）求证：任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．（要求自行画草图，写出已知、求证再证明） 【答案】已知：设的直径为，直线为直线l； 求证：直线l是的对称轴； 证明：设P为上任意一点，作P关于直线l的对称点， 直线l是直径所在的直线， 圆心O在直线l上， 是P关于直线l的对称点， 直线l垂直平分线段， 半径， 在上， 是上任意一点，其关于直线l的对称点也在上， 直线l是的对称轴． 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质写出已知、求证进而证明即可． 解：略 四.拓展探究 【题型】四点共圆（半径相等） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内接三角形，为直径，过点C作，垂足为D．设，． （1）分别用a，b表示，． （2）和的长之间有什么关系？由此你能得到怎样的关于a，b的不等式？ 【答案】（1），；（2）当且仅当时等号成立 【分析】（1）先求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可； （2）根据垂线段最短的性质，可得，当且仅当与重合时等号成立，再将的表达式代入求解即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据垂线段最短的性质，可得，当且仅当与重合时等号成立， 将的表达式代入得： 当且仅当时等号成立． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当弦在靠近点C的一侧时；当弦在靠近点D的一侧时；连接、，由直径为10得出半径为5，根据线段比得出的长，由，由勾股定理得出长，再用勾股定理求长． 解：分以下两种情况： 当弦在靠近点C的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当弦在靠近点D的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，弦的长为或． 3．（24-25九年级上·山西忻州·阶段检测）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【答案】，，，四个点在同一个圆上． 证明：四边形是矩形， ，，， ， 、、、四点在以圆心长为半径的同一个圆上． 【分析】根据矩形的性质得到，，，进而说明即可证明． 解：略 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 【答案】证明：如图，连接矩形的对角线、，交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴点、、、四点在以为圆心，为半径的同一个圆上． 【分析】连接矩形的两条对角线，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，推导出四个顶点到对角线交点的距离相等，再根据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”的圆的定义，即可证明四点共圆． 解：略 5．（重难点02“四点共圆”模型-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版））已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． （1）线段与有何关系．说明理由； （2）延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 【答案】（1）且． 证明：、分别是、的中点， ，， ， 又，， ， ，， 在直角中，， ， ， ； （2） 连接． ，，， ， ， 在直角中，， ， ， ，，，在以为圆心、长为半径的圆上． 【分析】（1）证明，证据全等三角形的对应边相等，以及直角三角形的两锐角互余即可证明相等且互相垂直； （2）证明，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，，，四点到的距离相等，即可证得四点共圆． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 2．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，点A在半径为2的上， ，以为边作等边，则的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系与三点共线，作出恰当的辅助线是解题的关键． 由可证可得，在中， ，推导出当点B，点O，点H三点共线时， 有最大值为，即可求解． 解：如图，作，交于H，连接． ∵ 是等边三角形， ∴，． 是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 在中， ， 当点B，点O，点H三点共线时，有最大值为， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选D． 二、填空题 3．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知，以点为圆心，的长为半径画圆，交轴正半轴于点，则线段的长度等于___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与圆的半径性质，熟练掌握“利用勾股定理计算线段长度、结合圆的半径相等确定点的坐标”是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再结合圆的半径相等得到的长度，进而确定点的坐标，最后用勾股定理计算的长度． 解：∵ ，， ∴ ，． 在中，． ∵ 以为圆心，为半径画圆， ∴ ． ∵ ， ∴ ，即． 在中， ． 故答案为：． 三、解答题 5．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 6．（2026·江苏南京·中考真题）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 【答案】（1）证明：连接、、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即， （2）的半径为5 【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即， （2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5． 解：（1）略 （2）解：设求的半径为， 由（1）可知， ∴为中点，为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵ ∴， 解得， ∴的半径为5． 【点拨】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 综合提升 □顺利 □有困难 拓展探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 圆的相关概念【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】圆、圆心、半径的概念辨析 2 【题型2】弦、直径、弧、半圆概念辨析 3 三.综合提升 4 【题型1】等圆、同心圆、等弧概念辨析 4 【题型2】利用同圆半径相等角度计算 5 【题型3】圆中线段、弧的识别 6 【题型4】简单几何说理 7 四.拓展探究 8 【题型】四点共圆（半径相等） 8 五.中考链接 10 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 【学习要求】结合教材自主完成填空 1. 平面内，线段绕固定端点旋转一周，另一个端点运动形成的图形叫做圆。其中定点叫做______，线段叫做_______；以点为圆心的圆记作________，读作圆。 2. 圆的集合定义：圆是平面内到________的距离等于________的点的集合；________确定圆的位置，________确定圆的大小。 3. 连接圆上任意两点的线段叫做________；经过圆心的弦叫做________；________是圆中最长的弦；直径的长度等于半径的________倍。 4. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做________；________半圆的弧叫劣弧，________半圆的弧叫优弧；优弧要用________个大写字母表示。 5. 圆心相同、半径不等的圆叫做________；能够互相重合的圆叫做________；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________。 二.基础巩固 【题型1】圆、圆心、半径的概念辨析 1．（25-26九年级下·河北邢台·开学考试）下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 2．（25-26六年级上·全国·单元复习）用圆规画一个半径为3的圆，小明的操作步骤如下：①把圆规有针尖的脚放在纸上；②将圆规两脚分开，使两脚间距离为3；③用手按住有针尖的脚，同时转动有笔芯的脚一周．但最终画出的图形不是标准的圆，最可能的原因是（   ） A．步骤①中没有确定固定的点作为圆心 B．步骤②中两脚间距离不是3 C．步骤③中转动时没有保持有针尖的脚固定 3．（25-26九年级上·全国·课前预习）以为半径可以画________个圆；以点为圆心可以画________个圆；以点为圆心，以为半径可以画________个圆． 4．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【题型2】弦、直径、弧、半圆概念辨析 1．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测）下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C．长度相等的弧是等弧 D．直径未必是弦 3．（第14讲对称图形—圆（全章复习与测试）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版））（1）图①中有___________条弧，分别为___________； （2）写出图②中的一个半圆___________；劣弧：___________；优弧：___________． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，图中__________是直径，__________是弦，以为端点的劣弧有____________________，以为端点的优弧有____________________．    三.综合提升 【题型1】等圆、同心圆、等弧概念辨析 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．劣弧一定比优弧短 B．面积相等的圆是等圆 C．长度相等的弧是等弧 D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等 3．（25-26九年级上·河南商丘·期中）下列说法中正确的有______（填序号）． ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆； ④面积相等的两个圆是等圆． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）下列说法中正确的有__（填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【题型2】利用同圆半径相等角度计算 1．（2026·湖北荆门·三模）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西晋中·一模）如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，与x轴相切，与y轴相交于点、，那么点A的坐标是________． 【题型3】圆中线段、弧的识别 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，为半圆的一条弦（非直径），连结、，分别以、为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点，连结，交于点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． B． C． D． 2．（2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【题型4】简单几何说理 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（﹣5，0）为圆心，13为半径作弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为_____． 2．（2026·安徽六安·一模）如图，将圆形纸片折叠后，弧恰好经过圆心O，则的度数为_______． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，为直径．求证． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）求证：任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．（要求自行画草图，写出已知、求证再证明） 四.拓展探究 【题型】四点共圆（半径相等） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内接三角形，为直径，过点C作，垂足为D．设，． （1）分别用a，b表示，． （2）和的长之间有什么关系？由此你能得到怎样的关于a，b的不等式？ 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 3．（24-25九年级上·山西忻州·阶段检测）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 5．（重难点02“四点共圆”模型-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版））已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． （1）线段与有何关系．说明理由； （2）延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，点A在半径为2的上， ，以为边作等边，则的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 二、填空题 3．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 4．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知，以点为圆心，的长为半径画圆，交轴正半轴于点，则线段的长度等于___________． 三、解答题 5．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 6．（2026·江苏南京·中考真题）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 综合提升 □顺利 □有困难 拓展探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $